Статистика радиоактивного распада (96
..pdfМосковский государственный технический университет
имени Н. Э. Баумана
И. Н. Фетисов
СТАТИСТИКА РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА
Методические указания к выполнению лабораторной работы Я-64
по курсу общей физики
Под редакцией Г.В. Балабиной
Москва Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
2009
УДК 539.16 ББК 22.383
Ф451
|
Рецензент Е.К. Кузьмина |
|
Фетисов И. Н. |
Ф451 |
Статистика радиоактивного распада : метод. указания к |
лабораторной работе Я-64 по курсу общей физики / |
И.Н. Фетисов ; под ред. Г.В. Балабиной. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 20 с. : ил.
Рассмотрены радиоактивные превращения, закон распада и его статистические закономерности (распределение Пуассона). Дано описание методик проверки распределения Пуассона и радиометрического определения содержания калия в веществе.
Для студентов 2-го курса.
УДК 539.16 ББК 22.383
Учебное издание
Фетисов Игорь Николаевич
Статистика радиоактивного распада
Редактор О.М. Королева
Корректор Л.Н. Петрова Компьютерная верстка И.А. Марковой
Подписано в печать 20.10.2009. Формат 60 84/16. Усл. печ. л. 1,4. Изд. № 12. Тираж 100 экз. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009
2
Цель работы – ознакомление с радиоактивностью, изучение статистических закономерностей распада (распределения Пуассона), радиометрическое определение содержания калия, расчет статистических погрешностей измерения.
Теоретическая часть
1. Радиоактивные превращения
Атомы состоят из ядра и электронной оболочки. Линейные размеры атома около 10–10 м, а ядра – на 4–5 порядков меньше. Ядра состоят из протонов и нейтронов (нуклонов). Между нуклонами действуют ядерные силы притяжения. Протон имеет положительный элементарный заряд 1,6 · 10–19 Кл, а нейтрон – не заряжен. Масса нуклона примерно в 1840 раз больше массы электрона. Химические элементы различаются количеством протонов Z, изменяющимся от 1 для водорода до 94 для плутония. Число Z называют зарядовым числом, или порядковым номером элемента. Количество нуклонов в ядре (массовое число) обозначают A. Ядро элемента X
записывают в виде ZA X , например, ядро гелия 42 He. Атомы одного и
того же химического элемента, различающиеся числом нейтронов, называются изотопами. Например, для водорода известны три изо-
топа: 11H , 12 H и 13 H.
Некоторые ядра (радионуклиды) самопроизвольно (спонтанно) испускают частицы, превращаясь в другое ядро (А. Беккерель, 1896). Это явление получило название «радиоактивность» [1, 2]. Распадающееся ядро называют материнским, а образующееся после распада – дочерним. Некоторые дочерние ядра стабильны, другие радиоактивны.
К основным радиоактивным превращениям относятся - и - распады.
Альфа-распад. При -распаде ядро (обычно тяжелое) испускает ядро гелия, называемое -частицей. Схему -распада представляют в виде
ZA X 42 He + ZA 42 Y
где X и Y – символы химических элементов.
3
Например, превращение радона в полоний происходит по схеме
22286 Rn 42Не+ 21884 Ро
Квантовая механика объясняет -распад туннельным эффектом – проникновением -частицы через потенциальный барьер на
поверхности ядра, образующийся под действием сил ядерного притяжения нуклонов и электрического отталкивания протонов.
Бета-распады. При -распадах в ядре происходит превращение нейтрона в протон, электрон и электронное антинейтрино e :
n p + 01 e + e ,
или превращение протона в нейтрон, позитрон и нейтрино: p n + 01 e + e.
При этом число нуклонов в ядре не изменяется, а зарядовое число изменяется на 1. Известны три разновидности -распада:
электронный -распад ( –-распад), который протекает по схеме
A X A |
1 |
Y+ |
0e + |
e |
, |
(1) |
|
Z |
Z |
|
1 |
|
|
при этом электрон и антинейтрино покидают ядро;позитронный -распад ( +-распад). В этом случае ядро ис-
пускает позитрон и электронное нейтрино:
AZ X AZ 1 Y+ 01e + e .
Позитрон является античастицей электрона, имеющей такую же массу, но противоположные по знаку электрический заряд, лептонный заряд и магнитный момент [1];
электронный захват – захват ядром собственного орбитального электрона, чаще с ближайшей K-оболочки:
A X + |
0e A |
1 |
Y+ |
. |
(2) |
|
Z |
1 |
Z |
e |
|
|
При этом в ядре протон и электрон превращаются в нейтрон и нейтрино
p + 01e n+ ve.
4
Нейтрино и антинейтрино – электрически незаряженные частицы, различающиеся знаком лептонного заряда. Масса покоя этих частиц много меньше массы электрона (этот вопрос физики изучают в настоящее время). Нейтрино чрезвычайно слабо взаимодействует с веществом, поэтому его можно зарегистрировать только в специальных опытах.
При распаде выделяется определенная для данного нуклида энергия в интервале примерно от 20 кэВ до 17 МэВ, что на 3–6 порядков больше энергии химических реакций. Эта энергия делится между продуктами распада таким образом, чтобы выполнялся закон сохранения импульса. (Электрон-вольт – энергия, приобретаемая
частицей с элементарным зарядом в электрическом поле с разностью потенциалов 1 В; 1 эВ = 1,6 · 10–19 Дж.)
Атомное ядро, состоящее из двух и более нуклонов, может находиться в состояниях с различными дискретными значениями внутренней энергии. Состояние с минимальной энергией называется основным, а с большей энергией – возбужденным. Ядро перед распадом находится в основном состоянии, а дочернее ядро может оказаться как в основном, так и в возбужденном состояниях. В последнем случае практически мгновенно после распада дочернее ядро переходит в основное состояние, испуская один или несколько фотонов большой энергии, называемых -квантами. Энергия
-квантов на 4–6 порядков больше энергии фотонов видимого света, равной примерно 2 эВ.
Радионуклиды подразделяют на естественные и искусственные. Принципиального различия между ними нет. Естественными радионуклидами являются семейства урана и тория, калий и др. Природный калий состоит из смеси трех изотопов – двух стабильных и радиоактивного 40K, доля которого = 1,18 10–4. Калий в 89 % слу-
чаев испытывает –-распад (см. (1)), превращаясь в стабильный кальций:
40 K 40 |
Са + |
0e + |
e |
. |
(3) |
|
19 |
20 |
|
1 |
|
|
В 11 % случаев происходит электронный захват (см. (2)):
40 K + |
0e 40Ar + v |
+ . |
(4) |
||
19 |
1 |
18 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Ядро аргона образуется в возбужденном состоянии и испускает-квант с энергией 1,46 МэВ, переходя в основное (нерадиоактив-
ное) состояние (рис. 1). Электроны распада имеют максимальную энергию Emax = 1,3 МэВ. Таким образом, на 100 распадов испускает-
ся в среднем 89 электронов и 11 -квантов. В случае распада (3) приборы регистрируют электроны, а распады (4) обнаруживают по-излучению.
Рис. 1. Схема распада изотопа 40K
Содержание калия в земной коре составляет 2,5 %. Наиболее важные минералы – это сильвин KCl, сильвинит (K, Na)Cl и др. В заметном количестве калий содержится в слюде, древесной золе, продуктах питания. За счет радиоактивного распада калия земля получает заметное количество внутренней теплоты. Калий играет важную роль в жизнедеятельности животных и растений; его используют в качестве удобрения. Калий, присутствующий в теле человека, вносит заметный вклад в дозу естественного облучения. Соли калия – доступный и безопасный источник слабой радиоактивности.
6
2. Закон радиоактивного распада
Каждое радиоактивное превращение – случайное событие. Однако для большого числа распадов наблюдается закономерность: убывание по экспоненциальной зависимости количества нераспавшихся ядер. Закон распада имеет следующее теоретическое объяснение.
Пусть в момент времени t имеется большое число N одинаковых нераспавшихся ядер. За время dt распадается в среднем dN ядер:
dN = Ndt, |
(5) |
где – вероятность распада ядра в единицу времени, называемая
постоянной распада.
Среднее число распадов за единицу времени
A dN |
N |
(6) |
dt |
|
|
называется активностью препарата.
Единица активности – беккерель (Бк), один беккерель соответствует одному распаду в секунду. Внесистемная единица активности – кюри, 1 Ки = 3,7 · 1010 Бк (такова активность 1 г радия).
Приращение числа нераспавшихся ядер за время dt (см. (5)):
dN = – Ndt. |
|
Интегрируя это выражение, получаем |
|
N = N0 exp (– t), |
(7) |
где N0 – число нераспавшихся ядер в момент времени t = 0.
Соотношение (7) выражает закон радиоактивного распада:
число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспоненциальной зависимости. Активность, пропорциональная числу нераспавшихся атомов (см. (6)), убывает по такому же закону:
A = A0 exp (– t), |
(8) |
где A0 = N0 – начальная активность. Опыты подтверждают зависимость (8).
Время жизни радионуклида характеризуют средним временем жизни 1/ и периодом полураспада, за который распадается половина ядер:
T = (ln 2) / = 0,693 / = 0,693 .
7
Запишем закон распада через период полураспада:
|
|
0,693t |
(9) |
|
N(t) = N0exp |
T |
; |
||
|
|
|
|
|
A(t) = A0exp |
|
0,693t |
(10) |
|
|
T |
. |
||
|
|
|
|
Рис. 2. Убывание радиоактивности со временем
Убывание активности показано на рис. 2. Для различных радионуклидов период полураспада изменяется от менее микросекунды до 1018 лет. Период полураспада калия-40 T равен 1,3 · 109 лет.
3.Статистика радиоактивного распада
Вфизике, технике и различной практической деятельности встречаются измерения, в которых подсчитывают число событий, происходящих случайно, но в определенном среднем темпе, например число радиоактивных распадов. При этом результат измерения выражается целым числом.
8
При измерении радиоактивности счетчиком Гейгера заряженные частицы пролетают через счетчик. Каждый пролет сопровождается электрическим импульсом, которые подсчитывают. Пусть за
время t получено N импульсов. Многократно повторяя опыт, получают различные целые числа Ni: N1, N2, …, Nk, изменяющиеся случайным образом. Из результатов большого числа k измерений найдем среднее число зарегистрированных частиц (не целое число)
N = |
1 |
Ni. |
(11) |
|
k |
|
|
Величина N / t характеризует скорость распада, она пропор-
циональна активности (см. (6)).
Зарегистрированное в однократном измерении значение N имеет случайное отклонение от интересующей нас величины N . Вероятность P(N) того, что в результате одного измерения зарегистрируем N импульсов при среднем N , дается распределением Пуассона [3]:
P(N ) |
N N exp |
N |
. |
(12) |
N ! |
|
|||
|
|
|
|
Анализ распределения Пуассона показывает, что среднеквадратическое отклонение результата измерения N от среднего N
составляет |
|
|
= |
N 1/2. |
(13) |
Если число N достаточно большое (десятки, сотни или больше), то в (13) вместо среднего можно подставить результат однократного измерения N:
N . |
(14) |
Для иллюстрации распределения Пуассона рассмотрим гистограммы на рис. 3. Для случая N = 0,8 (рис. 3, а) с наибольшей
вероятностью результат одного измерения N будет равен нулю или единице, с меньшей вероятностью – двум и с очень малой вероят-
ностью – трем или больше. При таких малых N распределение асимметрично.
9
Рис. 3. Распределение Пуассона:
а – при N = 0,8; б – при N = 9
Однако по мере увеличения N распределение Пуассона ста-
новится все более симметричным и стремится к распределению Гаусса с тем же средним значением и среднеквадратическим отклонением. Напомним, что распределение Гаусса часто описывает случайный разброс результатов измерения непрерывных величин [4]. На рис. 3, б, где вертикальными линиями показано распределение
Пуассона для N = 9, а кривой представлено распределение Гаусса
для N = 9 и = N 1/ 2 , видно, что оба распределения близки.
Таким образом, при измерении радиоактивности статистическую (случайную) погрешность можно найти из одного измерения, а
10