К расчету критических скоростей вращения ротора торцового асинхронного двигателя (80
..pdf105
УДК 621.(Я : 534.1
К РАСИНУ КРИТИЧЕСКИХ СКОРОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ШТОРА ТОЩЭЮН) АСИНШЖЮГО аДШРОДБИГАШШ
В.И.Загрядцкий, Е.Т.Кобяков В последние годы вопросам проектирования торцовмг асинхрон
ных электрических машин уделяется все большее внимание |
в |
связи |
с их конструктивный и эксплуатациинньми достоинстаами |
/ I , |
2 , 3 / . |
Палые аксиальные размеры электрических машин этого |
класса |
|
и стремление конструкторов к еще большему их уменьшению |
приводят |
к тому, что расстояние между опорными подшипниками ротора сокра щается, а следовательно, возрастает вероятность возникновения недопустимо больших колебаний его торцовой поверхности.
Между тем допуск на торцовое биение ротора должен быть до - статочно жестким. Это связано с тем, что осевой зазор между рабо чими поверхностями ротора и статора по соображениям высоких экс - плуатационных показателей электрической машины должен быть мини - ыальньы, а контакт между этими поверхностями при вращении ротора недопустим, т . к . последний неизбежно приводит к "прилипанию" ра - бочих поверхностей ротора и статора.
На опасность этого явления указано в статье / 4 / , где обраща ется внимание в связи с этим на необходимость повышения жесткости ротора и его динамической устойчивости.
Конструктивные мероприятия, направленные на устранение воз можности возникновения этого специфичного для машин торцового ти па явления, были разработаны авторами при проектировании опытного образца торцового асинхронного электродвигателя.
Вместе с тем расчетно-теоретическая база, необходимая кон - структору для успешного решения задач проектирования и повышения надежности торцовой электрической машины, в соответствующей лите ратуре не получила достаточного развития. Поэтому, несмотря на обширную библиографию, посвященную проблеме колебаний роторов / 5 / , вопросы практической реализации методов теории колебаний примени тельно к электрическим машинам торцового типа являются достаточно актуальными.
Исходя из этого, в предлагаемой работе на основе анализа свободных колебаний жесткого ротора на линейно-упругих опорах разработана методика расчета его критических скоростей вращения, которая, отличаясь простотой и доступностью, позволяет конструк - тору с помощью полученных здесь расчетных зависимостей легко
обосновать выбор конструктивных параметров торцового асинхрон ного электродвигателя и опенить опасность возникновения резона нсных явлений в машине еще на стадии проектирования.
Задача о свободных колебаниях жесткого ротора на податли вых опорах уже рассматривалась в монографии / б / . Однако в ней даны лишь указания по формирование уравнения частот, а развер нутых расчетных зависимостей для определения собственных часто* не приводится. Причем в качестве основных переменных величин , описывающих движение ротора, использовались координаты концов ротора.
, В работе / 7 / анализ свободных колебаний жесткого ротора не проводился, но получено уравнение для отыскания его критических скоростей в случае прямой синхронной прецессии. Другие формы движения, а так*е возможные частные случаи не рассматривались.
Приступая к изложению и обосновании предлагаемой методики,, при указанных ниже допущениях, будем руководствоваться методами теоретической механики / 8 / .
Ротор торцовой асинхронной машины с достаточным основанием , можно рассматривать как жесткий и осесимметричный, принимая во внимание форму и реальные соотношения размеров его конструкти вных элементов.
Его опорные узлы будем считать изотропными, что для машины торгового типа представляется достаточно близким к реальности.
При малых радиальных смещениях опорных шипов ротора зависи мости между соответствующими силами и перемещениями принимаем линейными:
где /? f , Я2 |
- реакции опор, |
С, |
и |
С^ |
- статические коэффициен |
||
ты жесткости |
опор, £" (Z,- |
радиальные перемещения опорных сече - |
|||||
ний ротора. |
|
|
|
|
|
|
|
При анализе свободных колебаний считаем, что неуравновешен |
|||||||
ные массы на роторе отсутствуют, |
а |
его |
ось в начальном состоя -- |
||||
нии вертикальна |
и совпадает |
с |
осью подшипников 0&в (рис.1). |
||||
Влияние внешнего трения |
в рассматриваемой задаче определе - |
||||||
кия критических |
скоростей |
вращения ротора не учитывается, что |
отвечает общепринятым допущениям / 9 / .
Продольные перемещения центра масс С при анализе попереч шх колебаний ротора обычно такке не учитываются / 5 / . Поэтому свободные осевые колебания ротора в данной задаче не оассматтж
< составлению уравнений движения жесткого рсжора
I* .
РисЛ
веется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
йа рис. I вестями ротор кассой ffl |
показан в произвольный |
||||||||||
ыомеЮТ времени |
С |
и обнесен к Н^ЮДВУЛНОЙ системе осей коор - |
||||||||||
данагг ОхЛХ* |
Цричеи ось Oz,a |
направлена по оси подшипников, |
||||||||||
а оси 0иа |
и |
0&в в |
случае изотропных онор могут быть вьйраны |
|||||||||
произвольно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
О полояеяик ротора |
в пространства можно судить по полоаени» |
||||||||||
а естко связанной с ним систега осей СхУ£, |
имеющей начало |
в |
||||||||||
пентре тяаести |
0 |
ротора. Оси СхСч.С& направлены по главным |
||||||||||
центральным осям ннерши |
ротора. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Осевые момешы инерции масс ротора, соответствующе |
этим |
||||||||||
осям, |
обозначим *<%;<>/,'£• 3 силу |
осевой симметрии J^Ju |
|
> |
||||||||
|
Расстояния центра тяаести |
С |
от |
опорных сечений А |
|
и $ |
||||||
ротора обозначены на рис. ИХ к о |
еоогвегстэвнно. Причем Q +S~C |
|||||||||||
где |
-О |
- расстояние между опорами ротора вдоль оси 0z0 . |
' |
|||||||||
|
Как известно из |
курса теоретической мехаииш / 8 / , двиаение |
||||||||||
твердого |
тела в общем случае |
MOZCHO рассматривать состоящим из |
||||||||||
поступательного движения |
вместе с полюсом и движения вокруг по |
|||||||||||
люса, |
как вокруг неподвижной точки. Б связи |
с этим свяжем с цен |
||||||||||
тром масс |
С |
поступательно движущуюся |
систему осей Cxfy |
Zft |
no |
отношению к которой полоаеяие ротора в результате вращательного
двикения можно определить углами Эйлера |
*f , \Ь, Q , |
где |
f |
- |
|||||||||
угол собственного вращения, |
^ |
- угол прецессии и |
В |
- |
угол |
||||||||
нутадаи. Положительные направденияя отсчета углов |
показаны |
на |
|||||||||||
рис. I |
стрелками. |
|
|
С |
относительно оси Oz0 |
|
|
|
|||||
|
Смещение центра |
масс |
|
определяет |
|||||||||
ся координагами |
Хос |
« Уос • Вертикальную координату |
Zoc |
цент |
|||||||||
ра касс |
считаем постоянной |
в силу принятого допущения об отсут- |
|||||||||||
етвш |
осевых колебаний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Согласно теореме о движении центра |
масс |
/б / |
ииеем: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
« « |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
W'X«c ~~C;Ao! "Сг'Хог |
|
'2) |
|
|||||||
|
|
|
Ш'Уос |
~ |
~С('Уы '"Cp-joz |
; |
|
(3) |
|
||||
рДе |
Х м , У»< и |
Хсг ,Xt |
' |
координаты опорных сечений А |
|
и В |
|||||||
ротора соответственно |
(см. рис.1). |
|
|
|
|
|
|
Для описания вращательного движения вокруг полюса справе дливы динамические уравнения $1лера / 8 / :
i09
(4)
где |
и)ц |
WjjtOz- |
|
проекции угловой скорости |
Си |
вращения ро |
||||||||
тора вокруг полюса |
С |
на главные центральные оси инердаи тела. |
||||||||||||
А/х |
Мч |
№* |
" пРовкиии н а эти оои |
главного |
векгора ~ мо |
|||||||||
мента, |
внешних сил относительно полюса |
С |
• |
|
ее |
составляющие |
||||||||
_ |
На рис. I угловойскорости U? соответствует |
|||||||||||||
id. } |
и), ,T3i |
. Причем ш3 |
направлена на линии узлов СК |
% а |
||||||||||
Ш |
" |
Ш%~ |
п о |
о с я н |
^ 2 и |
£%1 соответственно. |
|
|
|
|||||
|
Чтобы получить уравнения вращательной составляющей двике - |
|||||||||||||
няя в проекшях на поступательно двянсущиеся оои |
Ск(Уг Zt, |
вое - |
||||||||||||
пользуемся теоремой об изменении главного |
момента количеств дви |
|||||||||||||
жения системы /В/: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
/Сд |
, Д> * Kz |
- проекдаи кинетического момента относитель |
|||||||||||
но венгра масс на оси |
£x,,£?f,£z,соответственно. |
|
|
|||||||||||
|
Для |
проекдаи вектора |
кинетического момента на связанные |
|||||||||||
оси |
CxyZt |
являювреся главными центральными, |
имеем / 8 / : |
|
||||||||||
|
Ах = Jx'rfx |
) Kx=JyCO<f > Kz |
=JZ'^& |
• |
<6> |
|
Выражения для Кк,> Ку,, /(j?, получим, применяя известную теорему геометрии о проекции суммы векторов. Пользуясь рис. I, находим:
|
\ |
~Kr(tf/»f•тftecs f-cosennf) t |
|
Kyf-Kx'(&uf-faf*Sinf-cose-eos'j')-' |
) (7) |
• "Ку(Ып f • tinf -Coifcoia-coif) |
- |
-Kz'^ne-cobf ,
по
Принимая во шишш® киншатичосии» уравнения ЭВхара /В/:
|
|
(8) |
для осееийиэтрипного port/pa при налом угле иууаден 0 |
на (6) |
|
и (7) получим: |
• |
|
Заметан» что по'еко»«у |
М&^О |
• И!* третьего ураанвгаиг (4) |
||
l^z^'f |
*f-c®$S ** const. |
do» |
||
йарвядадя к новым нервмзикш: |
|
(И) |
||
приведем щэакания |
(9) |
к ведуг |
|
|
|
|
|
|
(12) |
МОМЙЙТы внешних сия относительно |
осей Cfy к Ск |
* определим, |
||
пользуясь рис I: |
|
|
|
|
(13)
Учятывая, что по рис. 1:
кп (?Л, (3), (5) с учетом в^акений (12) и (13) получаем систему №гёфе$>внар&льных ур&внзний:
Hi
т-Хос + с-х* + г -$Yl = о, т-Усс +С'У*с - г-вкг~о,
|
(15) |
3/$Г( ~Зя-ик4ч+г-Хос+п-ву~о, |
d |
|
(16) |
Раиеаве системы (15) шцон в виде: |
|
&е»Л-см/?£ ;Уос^В^пр6 Д=С-5ш^ |
'гву-Хктрё.аъ |
Подставив |
(I?) в (15)* имеем снстеау однородных уравнений относи |
||||||||||
тельно постоянных |
А,В,С$)* |
|
д 0 |
|
|||||||
(с-трг) |
о |
|
о |
z |
|
||||||
|
О |
(£~Мр) |
-Z |
О |
1О |
Ufl (18) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
"о |
|
|
г |
|
|
о |
-ЗМгР |
(п-ЗярЬ |
«1 |
о |
|
||
Из уравнения |
часто*, получаемого приравниванием нулю определи - |
||||||||||
теля |
штриад систэыы (18), |
после некоторых преобразований, на |
|||||||||
ходим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<I9> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
. |
, |
|
|
Приче |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/г?-1 |
г |
|
|
|
:п=с£6+С;а'\ с? |
|
|
(22) |
|||
|
> **гГт£ >"~w |
V~ ; *•' Г,*сг ^ ^г •<;*<* |
|
||||||||
где |
|
|
д = й |
|
/ |
= : ! , |
|
|
|
(23) |
0 /
|
|
|
ffj |
|
|
|
|
ты р |
Формулы (19), (20) |
позволяв? |
найти четыре аначения часто |
||||
свободных колебаний для |
каждого значения скорости вра~ |
||||||
ценил |
и)*, жесткого ротора после предварительного вычисления |
||||||
безразмерных параметров по |
{22), |
(23), |
а затеи |
- /^5^,5^ , £ . |
|||
по (21)1 При атом отношением«7z//> |
необходимо задаваться. Рас |
||||||
чет собственных частот pt~ |
можно представить в |
удобной графи- |
|||||
ческой форме. |
|
|
|
|
|
|
|
Соответствующую каждой частоте форму колебаний нетрудно |
|||||||
найти из системы (18), |
приняв во |
внимание уравнение частот. |
|||||
Частотам, определяемым по (19), соответствуют формы коле |
|||||||
баний, показанные на рис. 2, а. Б, |
а |
частотам, |
получаемым из |
||||
(20),-на рис. 2, в, г. |
|
|
|
|
|
|
|
При этом для всех случаев |
|
|
|
|
|
где z^Cg.S-qa^o. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(25) |
||||||
Очевидно, |
что постоянные Д |
и J) |
(/3 |
и С ) |
имеют прос |
|||||||||||
той геометрический смысл: /4«/? с |
есть радиус |
вращения центра |
||||||||||||||
масс ротора, J)*St |
~ ес9ь |
начальное значение |
угла |
нутаая* оси |
||||||||||||
ротора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во |
всех |
четырех случаях наклоненная |
ось ротора |
соверша |
||||||||||||
ет вращательное движение вокруг оси Ozt |
с |
собственной часто - |
||||||||||||||
той D. |
( 1-1,2,5,4), |
зависящей от |
частоты вращения ротора <ult |
|||||||||||||
м образует |
при этом коническую |
поверхность. |
|
|
|
|
||||||||||
Нормам по рис. 2, |
а, |
б соответствует прямое обращение оси |
||||||||||||||
ротора вокруг оси Oz» |
• а |
формам по |
рис. 2, в, |
г |
~ обратное. |
|||||||||||
Значения критических^астот можно найти аналитически по |
||||||||||||||||
формулам (19), |
(20), приняв |
tt^/Oe/ |
, |
или графически, |
предва |
|||||||||||
рительно построив |
кривые |
по зависимостям |
(19) и (20), задава |
|||||||||||||
ясь значениями отношения |
<дх/р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При критических |
режимах обращение оси ротора |
вокруг*" оси |
||||||||||||||
подшипников |
UZa |
совершается с частотой |
вращения |
ротора |
к)й. |
|||||||||||
Заметим, что^если условие |
(25) |
не соблюдается» т . е . при |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Сг/С, |
|
=а/ё |
|
|
, |
|
|
(26) |
система уравнений (15) распадается на два независимых уравнения
и подсистему |
из |
двух последних уравнений. Причём колебания вдоль |
осей 0хв и |
0ув |
ыогут совершаться с частотой |
•//3
К ададиеу форм колебаний жесткого ротора на упругих оаорах
|
О |
|
"Л, еС |
|
'К |
ч |
fit |
|
i>~f+pt4 |
[У |
|
_ A
c/ |
r |
4 |
|
|
X |
tfv |
|
|
|
|
|
|
|
|
4JfeL* |
|
|
|
|
* ч |
|
|
Kt |
Л |
|
С К - линия ;галов.(" |
Сг' |
-проекция |
оси. С2 на |
|
плооюмь Сх,>, s |
^ - Угол предаесш. |
||
|
|
Рис. |
2 |
|
111
не |
зависящей от частоты вращения ротора Шх, и не связаны меж |
|
ду |
собой. Следовательно, центр тяжести ротора может совершать |
|
колебания по любому радиальному |
направлению или ов*ава*ьея на |
|
оси |
Ozo • При этом ось ротора |
может совершать независимое |
прецессионное движение вокруг оси L>Zf с частотами, определя емыми из формулы, непосредственно следующей и» уравнения частот соответствующего системе (18):
Знак.(-) в знаменателе формулы (27) соответствует прямей пре - цессии ( C--J) ) , а знак (+) - обратной (C-J) ) .
Критические скорости вращения ротора, соответствующие соб ственным частотам, определяемым no {Z?) и (Й8):
|
rttw =)/Цг |
' |
ш |
При Jr^-Jx |
критическое состояние с частотой прямой прецессия |
||
( u)uz\ |
) не возникает. Условие J ^ > J £ выполняется в рл•> .л>&- |
ротора дискообразной формы, что и является характерным цдк -элек трических машин торцового типа, т.е. при условии (26) в торцовом асинхронном двигателе возможны два критических решма с частота-
101 |
&3к(1)к |
и?£(з) |
' определяемыми |
по (29) и (30) .При |
условии |
|
(28) |
возможные критические режимы определяются на основе формул |
|
||||
(19) |
и (20), |
в связи |
с чем заметим, |
что формы движения ротора , |
|
|
соответствующие собственным частотам |
Р. /{'=/£ j if\, |
показан |
||||
ные на рис. 2, следует рассматривать |
как возможные, т.к. реализа |
|||||
ция той или иной из них зависит от соотношений параметров иссле |
- |
|||||
дуемой колебательной |
системы и частоты вращения ротора. |
|
|
|||
|
Результаты анализа, проделанного в настоящей работе, пред |
- |
ставленные в удобной для.практического применения форме, будут полезны инженерам-конструкторам при проектировании жестких рото ров различного назначения, а также найдут продолжение в исследо ваниях, связанных с созданием серии торцовых асинхронных электро двигателей.