Дифференциальные уравнения (1500

sPRAWO^NYJ MATERIAL

31

5.1.10. pRIZNAK lEJBNICA. eSLI lim pn = 0 I pn pn+1 n!1

0 PRI n 2 N, TO RQD p1 ;p2 +p3 ;p4 +: : : = P1 (;1)n;1 pn SHODIT-

n=1

SQ K ^ISLU S p1, PRI^EM DLQ L@BOGO n ^ISLO S OTLI^AETSQ OT ^ASTI^NOJ SUMMY Sn \TOGO RQDA NE BOLEE ^EM NA pn+1.

5.1.11. pRIZNAK wEJER[TRASSA. eSLI ^ISLOWOJ RQD

P1 an S NEOTRICATELXNYMI ^LENAMI SHODITSQ I jfn(x)j an

n=1

DLQ WSEH x 2 D I n 2 N, TO FUNKCIONALXNYJ RQD P1 fn(x)

n=1

RAWNOMERNO SHODITSQ NA D.

5.2. tABLICA NEKOTORYH PREDELOW.

lim n1=n = 1,

lim

n!

= 1,

lim

arctg x

= ,

n!1

n!1 p2 n nne;n

x!+1

2

lim arctg x =

,

lim

xp

= 0,

lim

ln x

= 0,

lim

sin x

= 1,

; 2

x!;1

x!+1 ex

x!+1

x

x!0

x

lim tg x = 1, lim arcsin x

= 1, lim arctg x

= 1, lim

1 ; cos x

= 1,

x!0

x

x!0

x

x!0

x

x!0

x2=2

lim (1 + x)

1=x

= e,

lim

ln(1 + x)

= 1,

lim

loga(1 + x)

= 1,

x

x= ln a

x

!

0

x

x

!

0

a

x

!

0

; 1 = 1.

lim

a ; 1

= 1, lim

(1 + x)

x!0

x ln a

x!0

ax

5.3. aRIFMETI^ESKAQ

I

GEOMETRI^ESKAQ

PROGRES-

SII. aRIFMETI^ESKAQ PROGRESSIQ { \TO POSLEDOWATELXNOSTX ^ISEL a1 a2 : : : an : : :, W KOTOROJ KAVDOE POSLEDU@]EE ^ISLO, NA^INAQ SO WTOROGO, POLU^AETSQ IZ PREDYDU]EGO DOBAWLENIEM K NEMU NEKOTOROGO POSTOQNNOGO ^ISLA d, NAZYWAEMOE [AGOM

ILI RAZNOSTX@ PROGRESII. tOGDA an = a1 + (n ; 1)d I
a1 + a2 + : : : + an = a1	+ an n.
	2

gEOMETRI^ESKAQ PROGRESSIQ { \TO POSLEDOWATELXNOSTX NENULEWYH ^ISEL b1 b2 : : : bn : : :, W KOTOROJ KAVDOE POSLEDU@]- EE ^ISLO, NA^INAQ SO WTOROGO, POLU^AETSQ IZ PREDYDU]EGO

UMNOVENIEM

NA

NEKOTOROE

NENULEWOE

^ISLO

q, NAZYWAEMOE

n

6

ZNAMENATELEM PROGRESII. tOGDA bn = b1qn;1 I PRI q = 1 IMEEM

b1 + b2 + : : : + bn

= b1 ; bn+1

= b1 1

; q .

1 ; q

1

; q

5.4. tABLICA PROIZWODNYH.

(logax)0

=

1

,

(ln x)0 =

1 ,

(ax)0

= ax ln a, (ex)0 = ex,

(xa)0 =

x ln a

x

1

axa;1,

(tg x)0

(sin x)0

= cos x,

(cos x)0

=

; sin x,

=

,

cos2 x

32

sPRAWO^NYJ MATERIAL

1

1

1

(ctg x)0

= ;

, (arcsin x)0 =

p

, (arccos x)0

= ;p

,

sin12 x

1

;1x2

1 ; x2

(arctg x)0 =

, (arcctg x)0

= ;

.

x2 + 1

x2 + 1

5.5. tABLICA INTEGRALOW.

Z

ex dx = ex + C,

Z

ax dx =

ax

+ C,

Z

dx

= ln x

+ C,

x

a+1

ln a

x

j j

Z

xadx =

+ C, a =

1,

a + 1

6 ;

Z

dx

1

Z

dx

= 2px + C,

x2 = ;x

+ C,

px

Z

sin x dx = ; cos x + C, Z

cos x dx = sin x + C,

Z

dx

= ; ctg x + C,

Z

dx

= tg x + C,

sin2 x

cos2 x

Z

dx

1

x

= a arctg a + C,

x2 + a2

Z

dx

=

1

ln

x ; a

+ C,

Z

dx

= arcsin x

+ C,

x2 ; a2

pa2 ; x2

2a

x + a

a

Z

dx

p

2

2

px2

= ln

x +

a

+ C.

x

a2

x

dx

dx

x

Z

= ln

tg

+ C,

Z

= ln tg 2

+

+ C.

sin x

2

cos x

4

Z

sh x dx = ch x + C,

Z

ch x dx = sh x + C,

Z

dx

= ;cth x + C, Z

dx

= th x + C.

sh2 x

ch2 x

5.6. nEKOTORYE TRIGONOMETRI^ESKIE FORMULY.

1 ; cos 2 = 2 sin2

1 + cos 2 = 2 cos2

;

1 ; sin 2 = 2 sin2

4

1 + sin 2 = 2 cos2

4 ;

cos( ; ) = cos cos + sin sin

cos( + ) = cos cos ; sin sin

sin( + ) = sin cos + sin cos

sin( ;

) = sin cos ; sin cos

2 cos cos = cos( + ) + cos( ; )

2 sin sin = cos( ; ) ; cos( + )

2 tg

x

1 ; tg2

x

2 sin cos = sin( + ) + sin(

;

)

sin x =

2

cos x =

2

:

x

tg2

+ 1

tg2

x

+ 1

2

2

sPRAWO^NYJ MATERIAL

33

lITERATURA

[1]tUGANBAEW a.a. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. pREDELY: [\LEKTRONNYJ RESURS]. { 2-E IZD., STEREOTIP. // m.: fLINTA,

2011. { 54 S. ISBN 978-5-9765-1219-1

[2]tUGANBAEW a.a. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. pROIZWODNYE I GRAFIKI FUNKCIJ: [\LEKTRONNYJ RESURS]. { 2-E IZD.,

STEREOTIP. // m.: fLINTA, 2011. { 91 S. ISBN 978-5-9765- 1305-1

[3]tUGANBAEW a.a. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. iNTEGRALY: [\LEKTRONNYJ RESURS]. { 2-E IZD., STEREOTIP. // m.: fLINTA,

2011. { 76 S. ISBN 978-5-9765-1306-8

[4] tUGANBAEW a.a. rQDY: [\LEKTRONNYJ RESURS]. { 2-E IZD.,

STEREOTIP. // m.: fLINTA, 2011. { 40 S. ISBN 978-5-9765- 1309-9

[5]tUGANBAEW a.a. fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH I KRATNYE INTEGRALY: [\LEKTRONNYJ RESURS]. { 2-E IZD.,

STEREOTIP. // m.: fLINTA, 2011. { 66 S. ISBN 978-5-9765- 1308-2

Учебное издание

Аскар Аканович Туганбаев

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебное пособие

Подписано в печать 20.02.2012. Электронное издание для распространения через Интернет.