Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 4 «Обратная матрица. Ранг матрицы» (90

A 1	1		4		1	4		1
								.
1				3			3
					1			1

5 Проверка A 1 A A A 1 E (по определению обратной матрицы).

		4				1 1			1		1	0		E .
A 1 A
												1
		3				1 3			4		0
1				1 4				1	2		1 4				1		;
X
	3		4							3	4			3
					3			1							1
1		0				11		3	X	11			3
X								;						.
		1				24					24
0								7				7
1	3					1	1
б)				X				;
	2
1						1	1
														1	3	и умножим слева обе части данного
Найдем обратную матрицу для матрицы
														1	2
равенства				на обратную матрицу.									Найдем				обратную	матрицу для	матрицы
1		3		с		помощью			элементарных преобразований									т.е. припишем	к данной
A
		2
1

матрице справа единичную матрицу, и с помощью элементарных преобразований приведем данную матрицу к единичному виду, тогда приписанная единичная матрица будет являться обратной матрицей к первоначальной.

	1 3	1 0	1		3	1 0			1 3	1 0	1 0	2 3	;A 1	2		3	;
	1 2	0 1	0		1	1 1			0 1	1 1	0 1	1 1			1
																1
	2	3 1 3			2			3 1 1
				X
	1 1 1 2				1		1 1 1

11

1	0			1		1			1		1
				X			; X					.
	1									0	0
0				0		0
в)		2		1		1	3		;
	X
			4				2
				2		6

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

	3 1	1	3		3		3
г)	X							.
			2			2	2
	2 1	1

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

12

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Ответ. а)		11				3			;	б)		1		1	;
	X										X
						7							0
	24													0
	5					7
											1			2
		4				8
в) X							; г)			X		0
		1				5								0
		2				4

Задание 2

Найдите А 1обратную матрицу для матрицыА:

3		4	5	2 7	3
		3
а)A 2			1 ; б) A 3 9		4 .
	3	5
			1	1 5	3
	Решение.
3		4	5
		3
а)A 2			1 ;
	3	5
			1

План нахождения обратной матрицы:

13

1 Найдем определитель матрицы А:

	3	4	5		(9 50 12) 45 15 8 53 52 1.
det A	2	3	1
	3	5	1

Матрица невырожденная, следовательно обратная матрица существует.

2 Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А.

3	4	5
	3
A 2		1 .
	5
3		1
A ( 1)1 1		M		11				( 1)2		M			11			1							3									1											3 5 8;
11																							5								1
A ( 1)1 2 M			12				( 1)3 M				12				1							2									1				1 ( 2 3) ( 5) 5;
12																						3									1
A ( 1)1 3		M		13				( 1)4		M			13			1							2								3								10 ( 9) 10 9 1;
13																							3								5
A ( 1)2 1		M			21				( 1)3	M				21		1														4		5													1 (4 25) 29
21																														5										1
A ( 1)2 2 M						22			( 1)4 M						22		1											3				5											3 15 18;
22																												3			1
A ( 1)2 3		M		23				( 1)5 M				23			1											3					4								1 ( 15 12) 1 ( 3) 3;
23																										3					5
A ( 1)3 1		M			31			( 1)4		M				31		1										4						5									4 15 11;
31																										3						1

14

A		( 1)3 2 M					32	( 1)5				M		32	1			3	5		1 (3 10) 7;
32																		2	1
A ( 1)3 3 M							33	( 1)6				M		33	1		3		4		9 8 1.
33																	2		3
																						~		8	5	1
Запишем матрицу из алгебраических дополнений:																									18
																						A 29				3 .
																								11	7
																										1
3	Транспонируем данную матрицу,																		т. е. меняем				строки		и столбцы местами:
		8			29		11
*					18
A	5						7 .
					3
		1					1
										1		1			*
4 Обратная матрица									A						A .
													detA
		1			8	29			11				8		29 11
A	1
					5	18			7 5 18										7 .
			1
							3							1	3
					1				1										1

5 Проверка A 1 A A A 1 E (по определению обратной матрицы).

	8 29			11		3		4	5	1		0	0
A 1								3				1
	A 5 18			7 2					1	0			0 E .
		1	3	1			3	5			0	0	1
									1

24 58 33 1	32 87 55 0	40 29 11 0
15 36 21 0	20 54 35 1	25 18 7 0
3 6 3 0	4 9 5 0	5 3 1 1

15

2		7	3
		9	4
б) A 3				.
	1	5	3

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

	8 29			11					7		6	1
Ответ. а)A 1		5	18	7		; б)	A 1	1		5	3	1
							3
		1	3	1						6	3	3

Задание 3
Найдите	с помощью			элементарных			преобразований обратную матрицуА 1, к
данной матрицеА:
1	2	2		2	5		7
	1
а)A 2		2 ; б) A 6 3					4 .
	2	1			2
2				5		3

Решение.

16

1	2	2
а)A 2 1		2 ;
	2	1
2
Припишем к		данной матрице справой стороны единичную матрицу Г A			E

размера 3 6 , с помощью элементарных преобразований над строками приведем ее сначала к ступенчатому виду Г1 A1 B , а затем к виду Г2 E A 1 , где слева

получится единичная матрица, тогда справа обратная:

1 2			2									1 0 0 ( 2) ( 2)																					1			2								2										1 0 0							1
2 1			2									0 1 0																				~ 0						3								6							2					1 0				~
																																																													3
2		2 1										0 0 1																						0				6								3							2					0 1
	1 2		2											1									0 0									1 2				2						1 0 0
														2									1																				2				1
~ 0 1			2																									0 6 ~ 0 1								2																		0				~
														3									3																				3	3
																																																										1
	0 6		3											2									0 1									0 0				9						2 2												1
																																																										9
																															1	2		0				5						4									2
	1 2 2					1						0												0														9					9								9
~ 0 1 2								2								1								0						~	0 1 0							2								1 2											( 2) ~
								3								3																							9							9
																																																						9
						2									2									1 ( 2)														2							2									1
	0	0	1																											0		0		1
						9						9												9														9						9							9
							1					2													2
	1	0	0
							9					9											9													1								2							2
																																		1
~							2					1												2				. Итак,			A 1
	0	1	0																																	2								1 2 .
							9					9																						9
																									9																		2
							2									2									1											2															1
0		0	1
							9					9											9

Сделаем проверку:

17

		1		2	2			1 2		2	1	9 0	0	1	0 0
	A A 1						1
		2		1 2				2 1		2		0 9	0 0		1 0 E.
							9				9
			2	2	1				2
								2		1		0 0	9	0	0 1
	2		5		7
			3
	б) A 6				4 .
		5	2
				3

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

			1		1 2			2			1		1	1
		1								1
Ответ. а)	A				2		1	2	; б) A		38		41	34
			9			2	2	1				27	29	24

Задание 4

Найдите ранг матрицы методом элементарных преобразований если:

18

		1		2 1 1			3			1	1	3	7	1
											1 1		6
				1 1 6				A	2					4		;
а) A 3							11 ; б)			1	2 1		10	5
				1 1 4
		1					3			2	1	2	5	4
2		1	1	1
		3	1
1				1
	1	1	4	1
в)		1	1
1				5
	1	2	3
				4
	1	1	1
				1
		Решение.
		1		2	1	1	3
			1 1 6
а)A 3							11 ;
			1		1	4
		1					3

Приведем матрицу к ступенчатому виду:

	1			2 1					1 3 ( 3) ( 1)												1	2 1 1	3		3
																		+
A 3			1 1						6 11											~ 0		7 4 3	20				~
		1	1		1																	3 0 3			7
									4 3												0		0	+
			2		1				1			3
1
	0		7		4				3			20					,		r(A) 3			т.к. минор третьего порядка отличен от
~
					12				12			60
	0		0
									7
					7							7
									2					1							12
							1
нуля; т.е.				М3			0			7		4						1 ( 7) (				) 12 0
							0		0					12						7
												7

19

			1	1	3	7	1
			2	1	1	6	4
б)	A
			1	2	1	10	5	.
			2	1	2	5	4

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

	2 1 1 1										0 1 1 1						1			1 1 1
				3	1								2							1	2
	1					1					0				0 0		0					3 ( 2) (1)
		1 1 4 1										0 0			3 0			0		2 0 0			~
в)											~					~
	1 1 1 5										0 0				0 4		0			0 3 0
												0 1			2 3			0
		1 2 3 4																		0 0 4
		1 1 1										1 1			1 1			0
						1 ( 2) ( 1)														1 1 1
1 1					1	1		1 1			1		1					1		1 1 1
											2
0 1 2						3		0 1					3					0		1 2 3
	0		0	4		6			0	0	1		2	(4) ( 3)					0	0	1	2	~
			0		3			~		0	4						~			0	0
0						0		0					6					0				2 (3) ( 2)
	0 0 0					4			0 0		3		0						0
																				0 0 6
	0 0 1					2			0 0		0		4						0	0 0
																						4
	1			1	1	1
				1	2
	0					3
			0	0	1	2									r(A) 3; б) r(A) 3; в) r(A) 4
~				0	0		. r(A) 4. Ответ. а)
	0					2
			0	0	0	0
			0	0	0	0
20