Распространение монохроматических волн в нелинейных средах (110

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Л. И. Аверина, А. А. Лещинский

РАСПРОСТРАНЕНИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ

Учебное пособие для вузов

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета

2011

Утверждено научно-методическим советом физического факультета 30 ноября 2010 года, протокол № 9

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент А. Н. Алмалиев

Учебное пособие подготовлено на кафедре электроники физического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 3-го курса дневного отделения и 5-го курса вечернего отделения физического факультета Воронежского государственного университета, сдающих экзамен по курсу «Физика волновых процессов».

Для специальности 010801 – Радиофизика и электроника

3

Введение

Волновые уравнения, описывающие процессы в линейных средах, обладают свойством суперпозиции. Это свойство заключается том, что различные пространственно-временные спектральные составляющие волновых полей – плоские монохроматические волны – распространяются без искажений и не взаимодействуют друг с другом.

Линейная среда представляет собой некоторую идеализированную модель, и поэтому пользоваться ею для описания прохождения волн через реальные среды можно не во всех случаях. Применимость модели линейной среды зависит в первую очередь от величины отношения амплитуды волны

электродинамике хар – напряжённость внутреннего поля, действующего на электроны атомов и т. д.

В линейной среде отношение / хар полагается бесконечно малым, в

результате чего волновое уравнение становится линейным:

1

,

где – линейный оператор, описывающий дисперсию и диссипацию среды. Если же величину / хар считать конечной, то в волновом уравнении необходимо удержать нелинейные члены:

временных гармоник волны , n = 2,3,4,…. Обогащение частотного спектрального состава излучения означает искажение формы синусоидального профиля волны. Сильное электромагнитное поле изменяет оптические характеристики среды (показатель преломления, коэффициент поглощения), которые становятся функциями напряжённости электрическо-

враз, т.е. составляет величину / хар. Так как мы имеем дело с волна-

ми, бегущими с конечной скоростью , то время определяется длиной области взаимодействия гармоник или протяжённостью нелинейной среды : / ; при этом равно отношению длины к длине волны , т.е.

// . Таким образом, в волновых системах степень нелиней-

Протяжённость области эффективного взаимодействия гармоник во многом зависит от дисперсии и диссипации среды. Действительно, энергообмен между гармониками зависит от соотношения фаз. В среде без частотной дисперсии все волны бегут с одинаковыми скоростями, и фазовые соотношения сохраняются в процессе распространения между всеми гармониками (выполняется условие фазового синхронизма для всех гармоник). Если затухание волн мало, то нелинейные эффекты могут накапливаться пропорционально пройденному расстоянию. Следовательно,

5

в недиспергирующей недиссипативной среде на достаточно больших расстояниях хар/ всегда возникают сильные нелинейные искажения исходного профиля волны.

В случае среды с дисперсией фазовые скорости волн на различных частотах различны, вследствие чего соотношения между фазами гармоник изменяются в пространстве весьма быстро. При нарушении фазового синхронизма нелинейные эффекты не накапливаются, и перекачка энергии очень незначительна. Иными словами, в диспергирующих средах заметных искажений форм волны не происходит. Изучение синхронных взаимодействий волн наибольшее значение имеет в электродинамике, в особенности в нелинейной оптике и физике плазмы, радиофизике, акустике. Теория нелинейных волновых процессов имеет много общего с теорией нелинейных колебаний.

Далее мы будем рассматривать волновые взаимодействия в условиях сильного проявления дисперсии среды.

1. Уравнения для нелинейных волн. Классификация нелинейных эффектов

Для конкретности изложения теории нелинейных волн с дисперсией будем говорить о нелинейной электродинамике немагнитных сред, в частности, о нелинейной оптике. Таким образом, будем считать, что нелинейность будет проявляться для электрического поля.

Основными уравнениями для электромагнитных полей в нелинейном диэлектрике по-прежнему являются уравнения Максвелла.

6

полем становится нелинейной.

В линейном приближении при учёте временной (частотной) дисперсии материальное уравнение согласно принципу причинности может быть

где ̂– тензор линейной диэлектрической восприимчивости среды. В силь-

ных полях поляризация среды будет содержать помимо линейного члена также нелинейные члены:

бичная и т.д.), для которых можно записать феноменологические выражения по аналогии с (1.4):

, , (1.6)

где i ≠ 0 и = . Волны (1.8) возбуждают в среде, как видно из (1.3)–(1.7), волны линейной и нелинейной поляризации:

где n – порядок нелинейности члена. В результате процессов переизлучения в нелинейной среде возбудятся электромагнитные волны на тех же комбинационных частотах. Возбуждению высших гармоник соответствуют

1, .

Вновь появившиеся волны в свою очередь могут принять участие во взаимодействии с другими волнами. Несмотря на сложность общей картины, можно провести классификацию нелинейных волновых эффектов по типу нелинейности, на которой развивается волновой процесс, и по числу волн, участвующих во взаимодействии. С этой целью рассмотрим структуру линейной и нелинейной поляризации среды.

Линейная часть поляризации возбуждается каждым из электромагнитных полей (1.8):

л1

2

или с учётом (1.9)

л. (1.11)

Квадратичная нелинейность. В такой среде возникает квадратичная по полю поляризация (1.6). Подставим (1.8) в (1.6):

8

Рассматривая получившееся выражение и сравнивая его с (1.9), можно прийти к следующим выводам.

Во-первых, каждое из электромагнитных полей возбуждает две квадратичные поляризации среды на удвоенной и нулевой частотах:

гармоники, а постоянная во времени поляризация (1.13) – за детектирование высокочастотного электромагнитного излучения, при котором в диэлектрике появляется электромагнитное поле.

возникает третья волна на комбинационной частоте, то говорят, что на квадратичной нелинейности происходит трёхчастотное взаимодействие.

9

Отметим специально один важный предельный случай, когда одно из полей является постоянным, 0, . Тогда квадратичная поляризация (1.14) и (1.15) будет иметь ту же частоту, что и сама электромагнитная волна:

нии диэлектрической проницаемости пьезооптического кристалла под

Кубичная нелинейность. Здесь число возможных нелинейных процессов больше, чем в предыдущем случае: в процессе одного взаимодействия могут принять участие не три, а четыре волны на разных частотах.

Подставим (1.8) в (1.7):

10