Дифференциальные уравнения первого порядка (96
..pdfМосковский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
И.Е. Кандаурова, В.В. Миткин, С.И. Шишкина
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Методические указания к решению задач
Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2008
УДК 517.9 ББК 22.161.6
К192
Рецензент В.Ю. Чуев
Кандаурова И.Е., Миткин В.В., Шишкина С.И.
К192 Дифференциальные уравнения первого порядка: Метод. указания к решению задач. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 48 с.: ил.
Рассмотрены методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Даны краткие теоретические сведения, приведены примеры решения уравнений, а также задачи для самостоятельного решения.
Для студентов 1-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана.
УДК 517.9 ББК 22.161.6
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008
2
ВВЕДЕНИЕ
С решениями дифференциальных уравнений связано огромное количество задач физики, механики, химии, биологии и других наук.
Формально решение дифференциального уравнения представляет собой задачу обратную дифференцированию. К простейшему уравнению такого вида приводит задача поиска первообразной неко-
торой заданной функции f (x). Задачу можно записать следующим образом: dydx = f (x). Это уравнение содержит первую производную
неизвестной функции и представляет собой простейшее дифференциальное уравнение. В физике решение подобных уравнений связано с задачами определения координаты при заданной скорости в случае одномерного движения, описания процесса разрядки конденсатора через активное сопротивление, определения остатка радиоактивного элемента и многими другими.
В данных методических указаниях рассматриваются традиционные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, связывающих искомую функцию, независимую переменную и первую производную от искомой функции. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями первого порядка. Их изучение представляет особый интерес как для освоения методов решения простейших дифференциальных уравнений, так и для анализа более сложных уравнений, которые различными математическими приемами могут быть сведены к уравнениям первого порядка.
3
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
F |
( |
) |
= 0 , |
(1.1) |
|
x, y, y′ |
которое связывает независимую переменную х, неизвестную функ-
цию y и ее первую производную y′ = dydx . Предполагается, что F –
непрерывная вещественная функция вещественных аргументов. Если уравнение первого порядка имеет вид
dy |
= f (x, y), |
(1.2) |
dx |
т. е. производная явно выражена через функцию и аргумент, то такое уравнение называется разрешенным относительно производной.
Решением дифференциального уравнения называется диффе-
ренцируемая функция y = ϕ(x), которая при подстановке ее в урав-
нение (1.1) или (1.2) обратит его в тождество. Геометрически решение уравнения есть кривая на плоскости. График этой функции
y = ϕ(x) на плоскости (x, y) называется интегральной кривой.
Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения. Задача интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств.
Общим решением уравнения (1.1) называется функция y = ϕ(x,C) , зависящая от аргумента и одной произвольной кон-
станты C R , обращающая данное уравнение в тождество, причем различным значениям С соответствуют различные частные решения. Геометрически общее решение задает семейство интегральных кривых на плоскости.
4
Частным решением уравнения (1.1) обычно называют решение этого уравнения при конкретном значении параметра C .
Если общее решение уравнения (1.2) задано в неявном виде Φ(x, y,C)= 0 или ϕ(x, y)= C , то оно называется общим интегралом
этого уравнения. Функция ϕ(x, y) при конкретном значении C на-
зывается частным интегралом уравнения.
Задача Коши для дифференциального уравнения первого поряд-
ка формулируется следующим образом: найти решение y = ϕ( x) дифференциального уравнения y′ = f (x, y), удовлетворяющее начальному условию
y (x0) = y0 , |
(1.3) |
где x0 и y0 – некоторые заданные числа.
Геометрическая интерпретация задачи Коши: найти интегральную кривую дифференциального уравнения y′ = f (x, y), проходящую через точку (x0, y0).
Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Пусть функция f (x, y) непрерывна в некоторой области D
плоскости x, y и имеет в этой области непрерывную частную про-
изводную ∂∂yf , и пусть точка (x0, y0) принадлежит этой области.
Тогда решение задачи Коши для уравнения (1.2) с начальными условиями (1.3) существует и единственно на некотором интервале x0 − h < x < x0 + h .
Геометрическая интерпретация дифференциального урав-
нения первого порядка. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной (1.2), связывает производную с координатами точки (x, y) на плоскости. Геометрически производная
задает тангенс угла наклона α касательной к интегральной кривой в точке с положительным направлением оси Ox .
Поэтому в каждой точке (x, y) области определения функции f (x, y) уравнение задает направление касательной к интегральной
5
кривой в этой точке. Проведя в каждой точке (x, y) из области задания функции f (x, y) отрезок касательной с центром в этой точке,
получим так называемое поле направлений. Таким образом, геометрически дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной (1.2), задает поле направлений.
2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Уравнение вида
dy |
= f (x)g (y) |
(2.1) |
dx |
называется уравнением с разделяющимися переменными. Для интегрирования такого уравнения оно приводится к такой форме, чтобы в одну часть входила только функция от х и дифференциал dx , а в другую часть – только функция от у и дифференциал dy :
dy |
|
|
= f x |
dx . |
(2.1а) |
|
|
|
|||
( |
) |
( ) |
|
|
|
g y |
|
|
|
После этого, проинтегрировав левую часть по у, а правую по х, получим
∫ |
dy |
|
|
= ∫ f (x)dx +C , |
( |
) |
|||
|
g y |
|
где C – произвольная постоянная. Обозначим
∫ |
dy |
|
|
=G (y), |
∫ f (x)dx = F (x), |
( |
) |
||||
|
g y |
|
|
тогда общий интеграл уравнения (2.1) можно записать таким образом:
( ) |
( |
) |
= C . |
(2.1б) |
G y |
− F x |
|
6
К уравнению (2.1а) приводится и уравнение вида
|
|
|
M (x)N (y)dx + M1(x)N1(y)dy = 0 , |
(2.2) |
|||||||||||||||||||
где M (x) , N (y) , M1(x) , N1(y) |
– непрерывные функции. |
|
|||||||||||||||||||||
Предположив, что M1(x) N (y) ≠ 0 , |
разделим обе части урав- |
||||||||||||||||||||||
нения (2.2) на M1(x) N (y) |
|
и получим уравнение с разделяющими- |
|||||||||||||||||||||
ся переменными: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M (x) |
|
dx + |
N1(y) |
|
dy = 0 , ( M1(x) ≠ 0, N (y) ≠ 0 ). |
(2.3) |
||||||||||||||||
|
M1(x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
N (y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Общим интегралом уравнения (2.3), а следовательно, и (2.2) |
|||||||||||||||||||||||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ |
M (x) |
dx + |
|
∫ |
N1(y) |
dy = C . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
M (x) |
N (y) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим уравнения |
|
|
M1(x) = 0 , N (y) = 0 : |
если они имеют |
|||||||||||||||||||
вещественные решения вида |
|
x = a , |
y = b , |
то x = a ( y ≠ b) , |
|||||||||||||||||||
y = b (x ≠ a) также будут решениями уравнения (2.2). |
|
||||||||||||||||||||||
Пример 2.1. Проинтегрировать уравнение |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
x 1 + y2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
y (1 + x2) |
|
|
|||||||||||||
Решение. Разделив переменные, получим |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
dy = − |
|
x |
dx , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + y2 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
ydy |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
= −∫ |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + y |
|
|
|
|
1 + x |
|
|
Вычислив интегралы, найдем
1 + y 2 = − 12 ln (1 + x 2 )+ C .
7
Из этого равенства получим общее решение исходного уравне-
ния:
y =± |
C − |
1 |
ln 1+x2 |
2 |
−1. |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.2. Решить уравнение
(xy − x)dx +(xy + x − y −1)dy = 0 .
Решение. Преобразовав исходное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными
x( y −1)dx + ( x −1)( y +1)dy = 0 .
Разделим переменные: |
|
||
|
y +1 |
dy = |
−xdx . |
|
|
||
|
y −1 |
x −1 |
Найдем общий интеграл исходного уравнения: x +ln x −1 + y + 2ln y −1 = C .
При разделении переменных предполагали, что x −1 ≠ 0 , y −1 ≠ 0 . Проверим, не произошла ли потеря решений. Подстановка
x = 1 и y = 1 в исходное уравнение показывает, что x = 1 и y = 1
являются решениями.
Пример 2.3. Проинтегрировать уравнение
(xy 2 + y 2 )dx + (x 2 − x 2 y)dy = 0 .
Решение. Преобразуем левую часть исходного уравнения:
y2 (x +1)dx + x2 (1 − y)dy = 0.
Предположим, что x2 y2 ≠ 0 . Разделив обе части на x2 y2 , придем к уравнению с разделяющимися переменными:
1 − y d y = − x + 1 d x. |
|
y 2 |
x 2 |
8
Проинтегрировав это уравнение, получим общий интеграл в виде
∫ |
1 − y |
d y = − |
∫ |
x + 1 |
d x + C , |
||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||
l n |
|
x |
|
|
− |
1 |
− |
1 |
− l n |
|
y |
|
= C , |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l n |
|
|
x |
|
− |
|
x |
+ |
y |
= C . |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
Непосредственной проверкой можно убедиться, что x = 0 и y = 0 являются решениями данного дифференциального уравнения,
однако они не получаются из общего интеграла ни при каком значении C . Они были потеряны при разделении переменных, так как
при делении предполагалось, что x2 y2 ≠ 0 , и должны быть включены в решение.
3. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение. Функция M (x, y) называется однородной k-го измерения, если M (tx, ty) = tk M (x, y), где t – некоторый параметр.
Определение. Уравнение вида
|
|
( |
) |
|
|
( |
) |
|
= 0 |
|
|
|
||
|
|
M x, y dx + N x, y dy |
( |
) |
|
|||||||||
называется однородным, |
если |
|
( |
|
) |
и |
|
– однородные |
||||||
M |
|
x, y |
N |
|
x, y |
|||||||||
функции одинакового измерения. |
|
|
является |
|
однородным, если |
|||||||||
( |
Уравнение вида y′ = f (x, y) |
|
|
|
||||||||||
) |
– однородная функция нулевого измерения. Такое уравне- |
|||||||||||||
f |
x, y |
|||||||||||||
ние всегда может быть приведено к виду |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
d y |
= |
|
|
y |
|
|
|
|
(3.1) |
||
|
|
|
|
f1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
Если в однородном уравнении при помощи замены искомой функции перейти к новой неизвестной функции u (x) по формуле
u (x) = xy , то оно приводится к уравнению с разделяющимися пере-
менными.
Иногда целесообразно вместо подстановки y = xu (x) использовать подстановку x = yu (y).
Пример 3.1. Решить уравнение
dxdy = xy + xy 2 .
Решение. Это уравнение является однородным, так как
f(x, y) = xy + xy 2
–однородная функция нулевого измерения.
Введем новую переменную u = |
y |
|
, тогда y = ux , |
||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dy |
= u + x |
du |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|||||
Подставив у и |
dy |
|
в исходное уравнение, получим |
||||||||||||
|
|||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u + x |
du |
= u + u2 , |
или |
du |
= |
u2 |
|
||||||||
dx |
dx |
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– уравнение с разделяющимися переменными.
Функция u(x) ≡ 0 является решением полученного уравнения. Если u (x) ≠ 0 , то, разделив переменные, найдем
du = dx . u2 x
Интегрируя ∫udu2 = ∫dxx +C , получим −u1 = ln x +C .
10