Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (110

Пусть θ( x, y, s ) и ζ ( x, y, s ) – вещественная и мнимая части функции ω( x, z ). Тогда

ω( x, y ) = ϕ( x, y ) + iψ( x, y ) ,

где ϕ( x, y ) =θ( x, y, 0 ), ψ ( x, y ) = ζ ( x, y, 0 ).

Таким образом, функция ω( x, y ) = ϕ( x, y ) + iψ( x, y )	является реше-
нием уравнения (1.50) (или, что то же, (1.33)) в области V0 =	1 × 2 и, в си-

лу (1.46), удовлетворяет в этой области условию ω y ( x, y ) ≠ 0 . Поэтому для

приведения уравнения (1.1) к каноническому виду можно использовать замену переменных (1.2), в которой ϕ ( x, y ) – вещественная часть, а

ψ ( x, y ) – мнимая часть функции ω( x, y ).

Примеры

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду: 1. uxx − 2sin xuxy − ( 3 + cos2 x )uyy − yuy = 0 . (1.51)

Решение

В данном случае a11 =1 , a12 = −sin x , a22 = −3 − cos2 x ,

d( x, y ) = sin 2 x + 3 + cos2 x = 4 , ( x, y ) R2 .

Таким образом, уравнение (1.51) имеет гиперболический тип на всей плоскости xOy .

Уравнения (1.19) и (1.20) принимают вид

dy	= −sin x + 2 ,	(1.52)
dx
dy	= −sin x − 2 .	(1.53)
dx
Интегрируя уравнения (1.52), (1.53), имеем
y − cos x − 2x = C1 ,		(1.54)
y − cos x + 2x = C2 ,		(1.55)

где C1 и C 2 – произвольные постоянные. Соотношения (1.54) и (1.55) явля-

ются соответственно общими интегралами уравнений (1.52) и (1.53). В уравнении (1.51) произведем замену независимых переменных

21

		ξ = y − cos x − 2x , η = y − cos x + 2x .					(1.56)
Используя формулы (1.4) – (1.9), находим, что
		uy = vξ + vη ,					(1.57)
uxx = vξξ	( sin2 x − 4 sin x + 4 ) + 2vξη		( sin2 x − 4 ) +
+ v		( sin2 x + 4 sin x + 4 ) + ( v	ξ	+ v	η	)cos x ,	(1.58)
ηη
uxy = vξξ ( sin x − 2 ) + 2vξη sin x + vηη ( sin x + 2 ),							(1.59)
		uyy = vξξ + 2vξη + vηη .					(1.60)

Подставляя выражения (1.57) – (1.60) в (1.51), получим, что функция v = v( ξ,η) удовлетворяет уравнению

	vξη +		1	( y − cos x )( vξ + vη ) = 0 .			(1.61)
		16
	Из соотношений (1.56) следует, что
		y − cos x =			1	( ξ + η).	(1.62)
					2

Подставляя (1.62) в (1.61), приходим к каноническому виду уравнения

(1.51):

vξη + 321 ( ξ + η)( vξ + vη ) = 0 .

2. x2 y uxx − 2xy2 uxy	+ y3 uyy − x2 ux = 0 .	(1.63)
	Решение
В данном случае a11	= x2 y , a12 = −xy2 , a22	= y3 ,

d( x, y ) = 0 , ( x, y ) R2 .

Таким образом, уравнение (1.63) имеет параболический тип на всей плоскости xOy .

При x = 0 или y = 0 уравнение (1.63) вырождается и не представляет

интереса для исследования. Поэтому в дальнейшем будем считать, что x ≠ 0 и y ≠ 0 .

Уравнение (1.19) принимает вид

dy	= −	y	.	(1.64)
dx
		x

22

Из (1.64) следует соотношение
dy	= −dx .	(1.65)
y	x
Интегрируя уравнение (1.65), приходим к общему интегралу уравнения
(1.64):
	xy = C ,	(1.66)

где C – произвольная постоянная, не равная нулю (так как x ≠ 0 и y ≠ 0 ). В уравнении (1.63) произведем замену независимых переменных

	ξ = x y , η = x .								(1.67)
Используя формулы (1.4) – (1.9), находим, что
	ux		= vξ y + vη ,						(1.68)
u	xx	= v		ξξ	y2 + 2v	ξη	y + v	,	(1.69)
							ηη
uxy			= vξξ xy + vξη x + vξ ,						(1.70)
		uyy = vξξ x2 .							(1.71)
Подставляя выражения (1.68) – (1.71) в (1.63), получим уравнение
x2 yvηη − (2xy2					+ x2 y)vξ− x2vη= 0 .				(1.72)
Из (1.67) следует, что
	x = η,				y = ξ η .				(1.73)

Разделив уравнение (1.72) на x2 y и используя (1.73), приходим к каноническому виду уравнения (1.63):

v	−	2ξ +	η2	v	ξ	−	η	v	η	= 0 .
		η2					ξ
ηη

3. 2 y2 uxx − 2xyuxy + x2 uyy + xux = 0 . (1.75)

Решение

В данном случае

a11 = 2 y2 , a12 = −xy , a22 = x2 ,

23

d( x, y ) = −x2 y2 , − d( x, y ) = x y , ( x, y ) R2 .

(1.76)

Таким образом, уравнение (1.75) имеет эллиптический тип на множестве x ≠ 0 и y ≠ 0 , то есть в каждой из областей

Ω1 = {( x,y ): x > 0, y > 0}, Ω2 = {( x,y ): x < 0, y > 0},

Ω3 = {( x,y ): x < 0, y < 0}, Ω4 = {( x,y ): x > 0, y < 0}

плоскости xOy . На осях координат y = 0 и x = 0 уравнение (1.75) вырож-

дается и не представляет интереса для исследования.

Рассмотрим приведение уравнения (1.75) к каноническому виду в лю-

бой из областей Ω1 , Ω2 , Ω3 ,	Ω4 .
Предположим вначале,	что ( x, y ) Ω1 Ω3 , и, следовательно,

−d( x, y ) = x y .

Всоответствии с изложенной выше теорией будем использовать урав-

нение

dz	=	a12( x, y ) + i − d( x, y )
dx		a11( x, y )
			y= z

относительно комплекснозначной неизвестной функции z( x ) = y( x ) + i s( x ).

Подставляя (1.76) в (1.77), получим уравнение

dz = −( −1 + i )x . dx 2z

Из (1.78) следует соотношение

(1.77)

(1.78)

2zd z = ( −1 + i )xd x .

(1.79)

Интегрируя (1.79), приходим к комплексному общему интегралу урав-

нения (1.78):

z

2

+

x2

− i

x2

= C ,

2

2

где C – произвольная комплексная постоянная.

Таким образом, в данном случае

ω( x,z ) = z

2

+

x

2

− i

x2

,

2

2

и

24

ω( x, y ) =ω( x, y + i0 ) = y2 +

x2

− i

x2

.

2

2

В уравнении (1.75) произведем замену независимых переменных

ξ = y2

+

x2

, η = −

x2

.

(1.80)

2

2

Используя формулы (1.4) – (1.9), находим, что

ux = vξ x − vη x ,

(1.81)

u

xx

= v

ξξ

x2

− 2v

ξη

x2 + v

x2

+ v

ξ

− v ,

(1.82)

ηη

η

uxy = 2vξξ xy − 2vξη xy ,

(1.83)

uyy = 4vξξ y2

+ 2vξ .

(1.84)

Подставляя выражения (1.81) – (1.84) в (1.75), получим уравнение

2x2 y2vξξ + 2x2 y2vηη

+ ( 3x2

+ 2 y2 )vξ

− ( x2

+ 2 y2 )vη = 0 .

(1.85)

Из (1.80) следует, что

x2 = −2η ,

y2

=ξ −

x2

=ξ +η.

(1.86)

2

Разделив уравнение (1.85) на 2x2 y2 и используя (1.86), приходим к ка-

ноническому виду уравнения (1.75):

vξξ

+ vηη

+

2η −ξ

vξ

+

ξ

vη = 0 .

(1.87)

2η(ξ + η)

2η(ξ +

η)

Если ( x, y ) Ω2

Ω4 ,

то

− d( x, y ) = −x y .

В

этом случае

вместо

уравнения (1.77) будем использовать уравнение

dz

=

a12( x, y ) − i − d( x, y )

(1.88)

dx

a11( x, y )

y= z

(иными словами, вместо уравнения (1.41) будем использовать уравнение (1.42)). Подставляя (1.76) в (1.88), получаем снова уравнение (1.78) и приходим к замене переменных (1.80). Поэтому при использовании указанной замены переменных уравнение (1.75) имеет в областях Ω2 и Ω4 тот же ка-

нонический вид (1.87), что и в областях Ω1 и Ω3 .

25

§ 2. Дифференциальные уравнения со многими независимыми переменными

Рассмотрим квазилинейное уравнение с частными производными второго порядка

n

∂

2

u

∂u

∂u

∑ai j

+ B x, u,

,

,

= 0 ,

(2.1)

∂xi ∂x j

∂x1

i , j=1

∂xn

где

x = ( x1 ,…, xn ) –

вектор

независимых

переменных (здесь

n ≥ 2 ),

ai j

= ai j( x ) и B – заданные функции (функции ai j называются коэффици-

ентами уравнения (2.1)). Будем предполагать, что уравнение (2.1) задано в некоторой области Ω Rn , причем ai j( x ) = a j i ( x ) для всех x Ω и

i, j =1,…,n .

Предположим вначале, что коэффициенты ai j постоянны в области Ω. В уравнении (2.1) сделаем линейную замену независимых переменных

n
yk = ∑ckm xm , k = 1,…,n,	(2.2)
m=1
или, в векторной форме
y = Cx ,
где y = ( y1 ,…, yn ), C – матрица с элементами ckm ,	k,m =1,…,n . Мы пред-

полагаем, что преобразование (2.2) неособенное, то есть определитель матрицы C отличен от нуля; при этом

x = C −1 y .

(2.3)

Обозначим v( y ) = u( C −1 y ) = u( x ). Используя правило дифференци-

рования сложной функции от нескольких переменных, имеем

∂u

n

∂v

∂ yk

n

∂v

= ∑

= ∑ ck i

,

(2.4)

∂xi

∂ yk

k=1

∂ yk ∂xi

k=1

∂

2

u

n

∂v

n

∂

2

v

∂

= ∑ ck i

= ∑ck i cl j

,

(2.5)

∂ yl ∂ yk

∂xi ∂x j k=1

∂x j

∂ yk k ,l=1

i, j = 1,…,n .

Подставляя (2.3) – (2.5) в (2.1), получим уравнение относительно новой неизвестной функции v( y ):

n	~	∂	2	v		∂v		∂v
					~
∑ak l					+ B y, v,		, ,		= 0 ,	(2.6)
		∂ yl ∂ yk				∂ y1
k ,l=1								∂ yn

26

где

~	n	(2.7)
ak l = ∑ ai j ck i cl j , k,l = 1,…, n .

i , j=1

Задание 3. Повторить темы: «Квадратичные формы», «Приведение квадратичной формы к сумме квадратов», «Закон инерции квадратичных форм» из курса линейной алгебры [2, гл. 7, § 2, 3, 4].

Легко видеть, что формула (2.7) преобразования коэффициентов

ai j совпадает с формулой преобразования	коэффициентов	квадратичной
формы
n
Q( η) = ∑ ai jηi ηj	, η = ( η1 ,…,ηn ) ,	(2.8)
i , j=1

если в ней произвести линейное преобразование независимых переменных

	n
ηi = ∑ck iξk , i = 1,…,n			(2.9)
	k=1
(то есть η = CTξ , где CT –	матрица, транспонированная		к матрице C ,
ξ = (ξ1 ,…,ξn ) ), приводящее (2.8) к виду
~	n ~	ξl .
Q(ξ ) = ∑ ak l ξk

k,l=1

Вкурсе линейной алгебры доказывается, что всегда можно выбрать

матрицу	~	при	~	k = 1,…,n, где каждое из
	C так, что ak l = 0		k ≠ l , akk = βk ,
чисел βk	равно либо 1, либо −1,		либо 0. Тогда в результате преобразования

(2.9) квадратичная форма (2.8) принимает следующий канонический вид:

~	2	2
Q(ξ ) = β1ξ1		+ + βnξn .
Соответственно, уравнение (2.1)		с постоянными коэффициентами ai j

при преобразовании независимых переменных y = Cx принимает канониче-

ский вид

n	∂2v	~	∂v			∂v
∑βk				,	,			= 0 .	(2.10)
	2
		+ B y, v,	∂y1
k=1	∂yk					∂yn

Согласно закону инерции квадратичных форм число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов βk зависит только от коэффици-

27

ентов ai j и не зависит от преобразования (2.9). Данный факт позволяет

классифицировать дифференциальные уравнения (2.1) в зависимости от значений их коэффициентов ai j .

Уравнение (2.1) (с постоянными коэффициентами ai j ) называется уравнением эллиптического типа, если все коэффициенты βk , k =1,…,n в

(2.10) отличны от нуля и имеют один и тот же знак. Уравнение (2.1) называется уравнением гиперболического типа, если все коэффициенты βk отлич-

ны от нуля и все коэффициенты, кроме одного, имеют один и тот же знак, а оставшийся коэффициент имеет противоположный знак. Уравнение (2.1) называется уравнением ультрагиперболического типа, если все коэффициенты βk отличны от нуля и имеется больше одного положительного и

больше одного отрицательного коэффициента. Уравнение (2.1) называется уравнением параболического типа, если один из коэффициентов βk равен

нулю, а все остальные коэффициенты имеют одинаковые знаки.

Если в уравнении (2.1) коэффициенты ai j переменные, то для любой фиксированной точки x0 Ω уравнение

n	0	∂	2	u		∂u		∂u
∑ai j( x )					+ B x, u,		, ,		= 0	(2.11)
		∂xi ∂x j				∂x1
i , j=1								∂xn

можно привести к каноническому виду (2.10) с помощью соответствующего линейного преобразования независимых переменных. При этом матрица

данного преобразования и коэффициенты βk будут зависеть от точки x0 .

Говорят, что уравнение (2.1) с переменными коэффициентами ai j = ai j( x ) является уравнением эллиптического (гиперболического, ульт-

рагиперболического, параболического) типа в точке x0 Ω, если соответст-

вующий тип имеет уравнение (2.11) с постоянными коэффициентами ai j( x0 ). Уравнение (2.1) называется уравнением эллиптического (гипербо-

лического, ультрагиперболического, параболического) типа в некоторой подобласти Ω′ Ω, если оно имеет данный тип в любой точке x0 Ω′.

В общем случае в каждой фиксированной точке x0 Ω существует свое преобразование независимых переменных, приводящее уравнение

(2.11) к каноническому виду, и уравнение (2.1) может принадлежать к раз-

личному типу в различных точках области Ω. Возникает вопрос о том, можно ли найти неособенное преобразование независимых переменных (не

обязательно линейное), которое приводило бы уравнение (2.1) к канониче-

скому виду в некоторой окрестности точки x0 Ω, если во всех точках этой окрестности уравнение принадлежит к одному и тому же типу. В случае n ≥ 3 ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицательный [10, гл. I].

28

Как показано в § 1 настоящего пособия, в случае n = 2 при определенных

предположениях относительно коэффициентов ai j такое преобразование

существует в некоторой окрестности каждой точки области Ω .

Примером уравнения эллиптического типа является уравнение Пуассо-

на

u( x ) = f ( x ),

где

= ∑	∂	2
n		2
i=1	∂ xi

−дифференциальный оператор Лапласа, f – заданная функция; примером

уравнения гиперболического типа – волновое уравнение

∂2 u ( x,t )	− a2	u ( x, t ) = f ( x,t )	(2.10)
∂t 2
(здесь x = ( x1 ,…, xn ) – вектор пространственных переменных, t			– время,

a > 0 – заданная постоянная); примером уравнения параболического типа – уравнение теплопроводности

∂u ( x,t )	− a2	u ( x, t ) = f ( x,t ).	(2.11)
∂t

Упражнение 3. Объясните, почему уравнение (2.10) является уравнением гиперболического типа, а (2.11) – уравнением параболического типа.

Задачи

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:

1.uxx + 2uxy − 8uyy + 2ux + 4uy = 0 .

2.uxx − 4uxy + 4uyy + ux + 3uy = 0 .

3.uxx − 8uxy +17uyy + ux + 2uy = 0 .

4. y2 uxx + 2xy uxy − 3x2 uyy + x ux + y uy = 0 .

(I)

Указание. Рассмотреть отдельно приведение данного уравнения к каноническому виду в первой и третьей четвертях, а затем во второй и чет-

29

вертой четвертях плоскости xOy (то есть во введенных ранее областях Ω1 ,

Ω3 и Ω2 , Ω4 ).

5.

sin 2 y uxx − 2xsin yuxy + x2 uyy + cos y ux

= 0 .

6.

( y2 + 1 )u

xx

+ ( x2 + 1 )u

yy

−

x( y2 + 1 )

u

x

−

y( x2 + 1 )

u

y

= 0 .

x2 + 1

y2 + 1

Указание. При интегрировании дифференциального уравнения, являющегося следствием уравнения (1.41), использовать формулу

∫	x2 + a2 dx = x	x2 + a2 + a2	ln (x + x2	+ a2 )+ C , a = const .
	2	2

Данная формула остается справедливой и при замене x на комплексную переменную z ; при этом под выражением ln w , где w – комплексная

переменная, не равная нулю, понимается главная ветвь логарифмической функции Ln w , то есть

ln w = ln w + i arg w

(см., например, [4, гл. 1, § 5, гл. 3, § 1, 2]).

7.uxx − 2x uxy = 0 .

8.y uxx + uyy = 0 (уравнение Трикоми).

Ответы

1. Уравнение гиперболического типа на всей плоскости xOy ;

vξη + 19 vξ − 92 vη = 0 , ξ = y − 4x , η = y + 2x . 2. Уравнение параболического типа на всей плоскости xOy ;

vηη + 5vξ + vη = 0 , ξ = y + 2x , η = x . 3. Уравнение эллиптического типа на всей плоскости xOy ;

vξξ + vηη + 6vξ − vη = 0 , ξ = y + 4x , η = −x .

4. Уравнение гиперболического типа при x ≠ 0 , y ≠ 0 ;
	3η −ξ			ξ + η
vξη +		vξ	−		vη = 0	,	(II)
	6η2 − 2ξ 2 − 4ξη			6η2 − 2ξ 2 − 4ξη

30