Приводимые косы (90
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
В.К. Шалашов
Приводимые косы
Препринт
Ярославль 2007
УДК 519.4
ББК В 144
Ш 18
Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2007 года.
Рецензент А.С. Тихомиров, д-р физ.-мат. наук, проф.,
зав. кафедрой алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского
Ш 18 |
Шалашов, В.К. Приводимые косы : препринт / В.К. Ша- |
лашов ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 2007 – 44 с. |
ISBN 5-8397-0519-5 (978-5-8397-0519-7)
В серии из трех статей решена задача о распознавании приводимых кос. Получено полное описание всех приводимых кос на n нитях.
УДК 519.4
ББК В 144
|
♥ Ярославский |
|
государственный |
|
университет, 2007 |
ISBN 5-8397-0519-5 (978-5-8397-0519-7) |
♥ В.К. Шалашов, 2007 |
2 |
|
|
Содержание |
|
Плюс – приводимые косы............................................................... |
5 |
|
Введение....................................................................................... |
5 |
|
1. |
Критерий сбрасывания положительной петли..................... |
6 |
2. |
Критерий плюс-приводимости............................................... |
8 |
3. |
Описание всех плюс-приводимых кос ................................ |
17 |
Литература................................................................................. |
20 |
|
Минус-приводимые косы ............................................................. |
21 |
|
Введение..................................................................................... |
21 |
|
1. |
Критерий сбрасывания отрицательной петли..................... |
22 |
2. |
Критерий минус-приводимости........................................... |
25 |
3. |
Описание всех минус-приводимых кос............................... |
34 |
Литература................................................................................. |
37 |
|
Множество всех приводимых кос................................................ |
38 |
|
Введение..................................................................................... |
38 |
|
1. |
Плюс-приводимые косы....................................................... |
39 |
2. |
Минус-приводимые косы..................................................... |
41 |
3. |
Приводимые косы ................................................................. |
42 |
Литература................................................................................. |
43 |
3
4
УДК 519.4
Плюс – приводимые косы
В.К. Шалашов
Введение
Пусть Bn =< σ1,...,σ n−1; σ iσ j = σ jσ i , если | i − j |≥ 2 и
i, j = 1,...,n − 1, σ i+1σ iσ i+1 = σ iσ i+1σ i , если i = 1,2,...n − 2 > – группа кос на n нитях. Коса β Bn называется приводимой, если она со-
пряжена косе вида β 'σ n−1±1 , где β ' – слово в образующих σ1...σ n−2
и обратных к ним. В работе [1] спрашивается, как распознавать приводимые косы.
В настоящей работе мы вводим понятие плюс-приводимой косы, для которой (в отличие от приводимой) требуется, чтобы
она была сопряжена косе вида β 'σ n−1 . Далее мы используем следующие (стандартные) понятия из теории кос. Через π n обозна-
чается полугруппа положительных кос, т.е. кос, в записи которых нет образующих с отрицательными показателями. Две положительные косы P и Q равны на круге в полугруппе π n (PΘ Q), если
одну из них можно перевести в другую, используя определяющие соотношения полугруппы π n и преобразования вида AB BA.
Через m обозначается коса σ1...σ m−1σ1...σ m−2 ...σ1σ 2σ1. При этом
([2]) любую косу α B можно представить в виде α = |
−2s P, |
n |
n |
где s Ζ+ , т.е. s ≥ 0 и целое, а коса P π n .
В первой части работы получен алгоритм, который по произвольной косе β распознает возможность ее представления в виде
β 'σ n−1 , где β ' – слово в образующих σ1...σ n−2 и обратных к ним.
Во второй части работы найден критерий плюс-приводимости для данной косы, наконец, в третьей части предлагается описание множества всех плюс-приводимых кос.
5
1. Критерий сбрасывания положительной петли
Определение 1.1. Пусть α Bn и α = α 'σ n−1 , где α ' – слово из Bn в образующих σ1,σ 2 ...σ n−2 и обратных к ним. В этом случае
будем говорить, что с косы α можно сбросить положительную петлю.
Как узнать, можно ли с косы α сбросить положительную петлю? Ответ содержится в теореме 1.1. Для ее формулировки нам понадобится операция удаления нити из косы.
Определение 1.2. Для α Bn и i {1,...,n} рассмотрим отображение Φi : Bn → Bn , состоящее в удалении из косы α нити с
номером i и добавлении нити с номером n, идущей как в единичной косе.
Теорема 1.1. С косы α = n−2s P , где s Ζ+ , а P – положи-
тельная коса, можно сбросить положительную петлю тогда и только тогда, когда в полугруппе π n выполняется равенство
P = (σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1 )s Φn (P)σ n−1. |
(1) |
Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 1.1. Если σ и τ две произвольные косы из Bn , то
Φi (στ ) = Φi (σ )Φμ (i) (τ ) , где 1 ≤ i ≤ n , а μ – перестановка, соответ-
ствующая косе σ .
Доказательство этой леммы следует из определения отображения Φ и того факта, что i-ая нить косы σ заканчивается там, где начинается нить с номером μ (i) косы τ .
Лемма 1.2. С косы α можно сбросить положительную петлю тогда и только тогда, когда в группе Bn выполняется равенство:
α = Φn (α )σ n−1 |
(2) |
6
Доказательство. Если выполнено равенство (2), то с косы α можно сбросить положительную петлю, так как согласно определению отображения Φn коса Φn (α ) есть слово в образующих
σ1±1,...,σ n±−12 .
Пусть теперь с косы α можно сбросить положительную петлю, то есть в группе Bn выполнено равенство
α = α 'σ n−1 , |
(3) |
где α ' Bn−1 . Тогда, применяя к левой и правой части равенства
(3) отображение Φn , получим, используя лемму 1.1, равенство
Φn (α ) = Φn (α ' )Φn (σ n−1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как Φn (α ' ) = (α ' ) |
и Φn (σ n−1 ) = 1, то из последнего равен- |
||||||||||||||
ства следует (2) и лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Лемма 1.3. (см [2]) Пусть Пn = σ1...σ n−1 , а f (σ1...σ n−2 ) |
– про- |
||||||||||||||
извольное слово в образующих σ1...σ n−2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда в π n справедливо равенство |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пn f (σ1...σ n−2 ) = |
f (σ 2 ...σ n−1 )Пn . |
|
|
||||||||||||
Лемма 1.4. (см [3]). В группе Bn имеет место равенство |
|
||||||||||||||
2 −2 |
|
= σ |
|
σ |
n−2 |
...σ σ 2σ |
2 |
...σ |
σ |
. |
|
||||
n n−1 |
|
|
n−1 |
|
2 1 |
|
|
n−2 n−1 |
|
|
|||||
Лемма 1.5. Слово |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
σ |
|
...σ σ 2σ |
2 |
...σ |
|
σ |
n−1 |
|
|
||||
|
n−1 n−2 |
|
2 1 |
|
n−2 |
|
|
|
|||||||
коммутирует с любым словом из Bn−1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Доказательство. Согласно работе [2] центр группы Bn |
поро- |
||||||||||||||
жден n2 . Поэтому, учитывая лемму 1.4, |
получаем утверждение |
||||||||||||||
леммы 1.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Лемма 1.6. (см [3]). Коса 2n является крашеной.
Лемма 1.7. (см [3]). Для любого i, 1 ≤ i ≤ n , справедливо равенство
Φi ( n ) = n−1.
Перейдем теперь к непосредственному доказательству теоремы 1.1. Пусть α = n−2s P , где s Ζ+ , а P – положительная коса.
В силу леммы 1.2 с этой косы можно сбросить положительную петлю тогда и только тогда, когда имеет место равенство
n−2s P = Φn ( n−2s P)σ n−1. |
(4) |
Совместное применение леммы 1.1 и 1.6 приводит к равенст-
ву
Φn ( n−2s P) = Φn ( n−2s )Φn (P) ,
что вместе с равенством (4) и леммой 1.7 даст равенство
−2s |
P = |
−2s |
Φn (P)σ n−1. |
n |
n−1 |
Умножив теперь левую и правую части последнего равенства слева на n2s , получим, что
P = |
2s |
−2s |
Φn (P)σ n−1 . |
n |
n−1 |
Для завершения доказательства теоремы осталось только применить лемму 1.4.
2. Критерий плюс-приводимости
Определение 2.1. Коса β Bn называется плюс-приводимой, если она сопряжена косе вида β 'σ n−1 , где β ' – слово в образующих σ1...σ n−2 и обратных к ним. Как узнать, является ли данная коса β Bn плюс-приводимой? Ответом на этот вопрос является
теорема 2.1. Важным инструментом для доказательств является
8
критерий сопряженности кос Г.С. Маканина, с которого мы начинаем этот параграф.
Лемма 2.1. (см [4]) Две косы n−2s P и n−2sQ , где s Ζ+ , а P и |
|
Q – положительные косы, |
одна из которых содержит n , сопря- |
жены в группе Bn тогда и только тогда, когда PΘ Q. |
|
Простым следствием этого утверждения является следующее |
|
описание всех кос, сопряженных данной. |
|
Лемма 2.2. Пусть β = |
n−2s P, где s Ζ + , а P-положительная |
коса, |
содержащая n . Через {β } обозначим множество всех кос |
|
вида |
n−2(s+t ) K, где t Ζ+ , а K-положительная коса, равная косе |
|
n |
2t P на круге в полугруппе π n . Тогда множество кос {β } совпа- |
дает с множеством всех кос, сопряженных косе β в группе Bn . Доказательство. Обозначим через Tβ множество всех кос,
сопряженных косе β в группе Bn . Докажем, что {β } = Tβ . Заметим, что
∞
{β } = {βt },
|
|
|
t=0 |
|
|
|
где {βt } есть множество кос вида |
|
n −2( s+t ) K, |
где t – фиксирован- |
|||
ное неотрицательное целое, а K – произвольная положительная |
||||||
коса, равная косе n |
2t P на круге в π n . |
|
||||
Пусть α {β }. Тогда α {βt } при некотором фиксированном |
||||||
t, т.е. α = n−2(s+t ) K, |
где KΘ |
n |
2t P . Следовательно, учитывая лем- |
|||
му 2.1, α сопряжена косе |
n−2(s+t ) |
n |
2t P, которая, в свою очередь, |
|||
равна β. Таким образом, α Tβ . |
|
|
|
|||
Предположим теперь, что α Tβ . Коса a, представленная в |
||||||
нормальной форме Гарсайда, |
имеет вид α = |
n− m R, где m ≥ 0 и |
целое, а R – положительная коса. Если m – четное, то α = n−2k R, в противном случае α = n− (m+1) n R и m+1 – четное. Поэтому
9
можно считать, что α = n−2k R, |
где k ≥ 0 и целое, а R – положи- |
||||||||
тельная |
коса. Если k = s , то |
(согласно лемме 2.1) |
RΘ P и |
||||||
α {β0}, |
|
следовательно, |
α {β }. |
Пусть |
k < s . |
Тогда |
|||
α = |
n−2k R = |
n−2s |
n2(s−k ) R и снова по лемме 2.1 |
заключаем, что |
|||||
α {β0 }. |
Рассмотрим, |
наконец, |
случай |
k > s . |
Тогда |
||||
β = |
n−2s P = |
n−2k |
n2(k−s) P . Так как a и b сопряжены, то лемма 2.1 |
||||||
приводит к равенству RΘ |
n2(k−s) P . Следовательно, α {βk−s } и |
α {β }. Лемма доказана.
Теорема 2.1. Пусть β B |
и β = |
−2s P, где s Ζ |
+ |
, а P – по- |
n |
|
n |
|
|
ложительная коса, содержащая |
n . Пусть еще {P1,… Pm} – мно- |
|||
жество всех кос, равных на круге в π n |
косе P. Тогда коса β явля- |
ется плюс-приводимой в том и только том случае, если найдется
число i (1 ≤ i ≤ m), для которого в полугруппе π n |
выполняется ра- |
|
венство |
|
|
Pi = (σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1 )s φn (Pi )σ n−1 |
(1) |
|
Доказательство. |
Пусть b – произвольная коса из Bn . Пред- |
|
ставим ее в виде β = |
n−2s P, где s Ζ+ , а P – положительная коса, |
содержащая n . Рассмотрим множество P = {P1,… Pm} всех кос, равных на круге в π n косе P. Пусть существует i, 1 ≤ i ≤ m, такое что в π n выполняется равенство (1). Тогда в силу леммы 2.1 и
теоремы 1.1 коса b приводима.
Предположим теперь, что множество P обладает тем свойст-
вом, что ни для какого i, 1 ≤ i ≤ m , не выполняется равенство (1). Докажем, что в этом случае коса b не является приводимой.
Представим косу b следующим образом:
β = n−2(s+1) n2 P
10