Уравнения математической физики в системе MAPLE (110
..pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
М.И. Быкова, С.А. Шашкина
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В СИСТЕМЕ MAPLE
Учебно-методическое пособие
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2012
1
Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 30 марта 2012 г., протокол № 7
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой математического анализа ВГУ А.Д. Баев
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 3-го курса факультета прикладной математики, информатики и механики.
Для направлений: 010400 – Прикладная математика и информатика; 010500 – Математическое обеспечение и администрирование информационных сетей; 010800 – Механика и математическое моделирование; 010300 – Фундаментальная информатика и информационные технологии
2
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее методическое пособие посвящено одному из важных разделов математической физики, знание которого представляется весьма существенным для научных исследований, сопряженных с математическими расчетами.
Следует отметить, что в настоящее время специалист по прикладной математике не мыслится без хорошего знания компьютера. К числу наиболее замечательных программ, позволяющих автоматизировать вычисления и высококачественно оформить их, можно отнести программу Maple. Этот пакет широко используется для преподавания математики во многих учебных заведениях. Для студентов Maple является неоценимым помощником в изучении разнообразных математических методов, освобождая их от рутинных математических вычислений и сосредотачивая их внимание на существе изучаемого метода. В заключении предлагаемого методического пособия приведены примеры решения задач с использованием замечательных возможностей пакета Maple.
В предлагаемом методическом пособии рассмотрены основные специальные функции, изучаемые в курсе математической физики. Кроме того, предложены примеры задач, решения для которых получены не аналитически, а в системе компьютерной математики Maple. Эта система в последнее время стала полезной для многих пользователей ПК, которые занимаются математическими вычислениями, простирающимися от решения учебных задач в вузах до моделирования сложных физических объектов, систем и устройств. Несомненно, любая научная лаборатория или кафедра вуза должны располагать математической системой, если они всерьез заинтересованы в автоматизации выполнения математических расчетов любой степени сложности. Несмотря на свою направленность на серьезные математические вычисления, системы класса Maple необходимы для широкой категории пользователей: студентам и преподавателям вузов, инженерам, аспирантам, научным работникам и даже учащимся математических классов общеобразовательных и специальных школ. Все они найдут в Maple многочисленные достойные возможности для применения. Надо отметить, что интерфейс Maple интуитивно понятен, простота управления параметрами и легкость подготовки графических процедур позволяет легко визуализировать решения математических задач. Высочайший «интеллект» этой системы символьной математики объединяется в ней с прекрасными средствами математического моделирования, что дает возможность применения такой системы, как Maple, при преподавании и при обучении от самых основ до вершин математики.
3
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В ряде случаев, например, при пользовании методом Фурье разделения переменных в цилиндрических и сферических координатах, мы приходим к так называемым специальным функциям: цилиндрическим, сферическим и
др. Специальными (или высшими трансцендентными) функциями называются все не элементарные функции. Характерная особенность этих функций состоит в том, что многие из них являются решениями уравнений с особыми точками вида
d |
dy |
− q(x) y = 0 , |
||
|
p(x) |
|
|
|
|
|
|||
dx |
dx |
|
где коэффициент р(х) обращается в нуль в одной или нескольких точках промежутка изменения переменной х. Решения таких уравнений имеют ряд специфических свойств.
Специальные функции находят применения в широком круге задач. Рассмотрим основные свойства цилиндрических и сферических функций, а точнее, простейшего их класса — полиномов Лежандра. Изложение элементов теории специальных функций начнем с описания гамма-функции, что стало уже традиционным в учебной литературе. Приведем примеры специальных функций:
Г(x) = ∞∫e−t t x−1dt — гамма-функция;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Ф(x) = |
|
2 |
|
∫x e−t 2 dt |
— интеграл вероятности; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
sin(t) |
|
— интегральный синус; |
||
|
|
|
|
Si(x) = ∫ |
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
cos(t) |
|
|
— интегральный косинус; |
|
|
|
Сi(x) = −∫ |
dt |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t |
|
||
1 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt — эллиптический интеграл первого рода; |
|||
K (x) = ∫ |
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||
0 |
−t |
|
)(1 − x |
t |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
(1 − x2t 2 ) |
|
|
|
— эллиптический интеграл второго рода. |
||||||||
E(x) = ∫ |
(1−t |
2 |
) |
dt |
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цилиндрическими функциями называются решения уравнения Бесселя
|
′′ |
|
1 |
|
′ |
|
|
v |
2 |
|
u |
+ |
u |
|
− |
|
|
||||
|
|
2 |
||||||||
|
x |
|
+ 1 |
x |
u = 0 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе как функции Бесселя, и иногда это название присваивается всему классу ци-
4
линдрических функций: u(x) = Jv (x) — функция Бесселя, или цилиндриче-
ская функция первого рода.
Сферическими функциями называются решения уравнения
(1 – х2 )и" – 2хи' + v ( v + 1) и = 0,
и( х) = P v (x) — сферическая функция Лежандра первого рода. Гипергеометрическая функцияu(x) = F(α, β,γ, x) , где α, β,γ – парамет-
ры, является решением уравнения
x(1 − x)u′′+[γ −(α + β +1)x]u′−αβu = 0 .
ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ
Многие задачи приводят к необходимости решать уравнение вида
|
′′ |
|
1 |
|
′ |
|
|
v |
2 |
|
(1) |
u |
+ |
u |
|
− |
|
|
|||||
|
|
2 |
|||||||||
|
z |
|
+ 1 |
z |
u = 0 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К такому уравнению мы придем, например, при решении задач методом разделения переменных, если будем пользоваться цилиндрическими (или полярными) координатами (задача о колебании круглой мембраны, об остывании круглого цилиндра и др.). Уравнение (1) называется уравнением Бесселя. Решения этого уравнения, не равные тождественно нулю, называ-
ются цилиндрическими (или Бесселевыми) функциями. Здесь z — комплекс-
ное переменное, v — некоторый параметр, вообще говоря, комплексный. Один класс цилиндрических функций мы построим следующим образом.
Будем искать решение уравнения (1) в виде обобщенного степенного ряда
u = zσ (a0 + a1 z + a2 z2 +...) , |
(2) |
гдеa0 ≠ 0 . Тогда |
|
zu′ = zσ (a0σ + a1 (σ +1)z + a2 (σ + 2)z2 +...) , |
+...) . |
z 2u′′ = zσ (a0σ(σ −1) + a1 (σ +1)σz + a2 (σ +1)(σ + 2)z2 |
|
Перепишем уравнение (1) в виде |
|
z2u" + zu' + (z2 – v2)u = 0; |
(3) |
подставим значения u , zu', и z2u" в уравнение (3) и соберем члены с одинаковыми степенями z:
zσ a0σ2 −a0v2 + zσ+1 a1(σ+1)2 −a1v2 + zσ+ 2 a 2 (σ+ 2)2 −a 2v2 +a0 +...+ + zσ + n an (σ + n)2 −anv2 + an −2 +... ≡ 0 .
5
Чтобы ряд (2) был решением уравнения (3), необходимо выполнение равенств:
a0 σ 2 −v2 = 0 ; a1 (σ +1)2 −v2 = 0 ;
a2 (σ + 2)2 −v2 + a0 = 0 ;
…
an (σ + n)2 −v2 + an −2 = 0 ;
…
Из первого равенства находим σ = ±v , так какa0 ≠ 0 . Возьмем σ = v . Тогда из второго равенства находим a1 = 0 . Далее,
an = |
|
|
|
− an−2 |
|
|
|
|
= |
|
|
− an−2 |
, n = 2, |
3, ... |
||||||||||
|
(σ + n)2 −v2 |
|
(2v + n)n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Очевидно, a2k +1 = 0 для всех целых неотрицательных k , а |
||||||||||||||||||||||||
a2k |
= |
|
− a2k −2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
(−1)k a0 |
|
|
. |
||||||||
2 |
2k (v + k)k |
2 |
2k (v + k −1)...(v +1)k! |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Полагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2v Г(v +1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и используя формулы xГ(x) = Г(x +1) |
и |
|
|
Г(n +1) = n!, получим |
||||||||||||||||||||
|
|
|
a2k = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)k |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
22k +v Г(k +1)Г(k + v +1) |
|
|
|
||||||||||||||||||
Таким образом, мы построили одно формальное решение уравнения (1) |
||||||||||||||||||||||||
в виде обобщенного степенного ряда |
|
k z 2k +v |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
u = u1 = ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
, |
|
|
|
(4) |
||||||||
|
k!Г(k |
+ v +1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
где z — комплексное переменное, принадлежащее плоскости с разрезом (−∞,0):| z |< ∞ , | arg z | <π ; v — параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения. Ограничение, наложенное на z, необходимо для однозначности функции zv и может быть отброшено, если v – целое число.
Докажем, что ряд (4) сходится. Обозначим общий член этого ряда
(−1)k z 2k +v uk = k!Г(k +2v +1) .
6
Будем иметь
uk +1
uk
|
|
z |
2k +2+v |
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
k!Г(k + v +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
, |
(5) |
|||
z |
2k +v |
|
|
|
|
(k +1)(k + v +1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(k +1)!Г(k + v + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
lim |
2 |
|
= 0 |
, |
| z |< ∞ . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(k +1)(k + v +1) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
k →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, по признаку Даламбера ряд (4) сходится при любых конечных z.
В плоскости с разрезом (−∞, 0) каждый член ряда (4) — однозначная и регулярная функция комплексного переменного z. Данный ряд сходится при любых z и v , причем в области | z | < R и |v| < N (R, N — произвольно большие фиксированные числа) сходимость равномерна по отношению к каждому из переменных. Действительно, начиная с достаточно большого k, отношение модулей последующего члена ряда к предыдущему, равное на основании (5) величине
|
|
z |
2 |
|
|
|
||
uk +1 |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
2 |
|
≤ |
, |
||||
uk |
(k +1)(k + v +1) |
4(k +1)(k +1 − N ) |
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
не будет превосходить некоторой правильной положительной дроби q, не зависящей от z и v . Отсюда, согласно известному признаку сходимости, следует, что рассматриваемый ряд сходится равномерно в указанной облас-
∞
ти. Напомним, что функциональный ряд ∑uk (x) сходится равномерно в не-
k =1
которой области, если для всякого z, принадлежащего этой области и k ≥ m , выполняется неравенство
uk +1 ≤ q <1, uk
где q не зависит от z.
Так как члены ряда представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом (−∞, 0), то сумма ряда определяет некоторую функцию комплексного переменного z, регулярную в рассматриваемой области. Эта функция называется функцией Бесселя первого рода с индексом v и обозна-
чается символом Jv(z). Таким образом,
7
|
(−1) |
k z |
2k +v |
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||
Jv (z) = ∑ |
|
2 |
|
, | z |< ∞ , | arg z |< π . |
(6) |
||
k!Г(k + v +1) |
|||||||
k =0 |
|
|
Покажем, что этот ряд в его области сходимости является фактическим решением уравнения (1). Учитывая, что равномерно сходящийся ряд регулярных функций можно дифференцировать почленно, имеем
|
|
|
|
|
(−1) |
k z 2k +v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
u = |
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
k!Г(k + v +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
z |
2k +v−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(−1) |
|
(2k + v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
u′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k!Г(k |
+ v + |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2k +v−2 |
|
|
|
|
|||||
|
(−1) |
|
(2k + v)(2k + v −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
u′′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
k!Г(k |
+ v +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Умножаем функцию u на |
|
v |
2 |
|
, функцию u |
′ |
– на |
1 |
, функцию u |
′′ |
– на |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
1 − |
z |
|
|
z |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 и складываем, получим
∞
= ∑
k =0
|
′′ |
|
1 |
|
′ |
|
|
v |
2 |
|
L(u) = u |
+ |
u |
|
− |
|
|
||||
|
|
2 |
||||||||
|
z |
|
+ 1 |
z |
u = |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)k [(2k + v)(2k + v − |
1) + (2k + v) −v2 ]z 2k +v−2 |
+ |
||||||
|
22k +v k!Г(k + v +1) |
|
||||||
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
(−1) |
k |
z |
2k +v |
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
. |
|
||
2 |
2k +v |
|
|
|
|
|||
k =0 |
k!Г(k + v +1) |
|
|
Далее имеем
[(2k + v)(2k + v −1) + (2k + v) −v2 ] = 22 k(k + v) .
Тогда
∞ |
|
|
|
|
(−1)k k(k + v)z 2k +v−2 |
|
|
∞ |
|
|
|
(−1)k z |
2k +v |
|
|
|
|
|||||||||||
L(u) = ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
2 |
2k +v−2 |
k!Г(k + v |
+1) |
|
2 |
2k +v |
k!Г(k + v +1) |
||||||||||||||||||||
k =0 |
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
(−1)k z 2k +v−2 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
(−1)k z 2k +v |
|
|
|
|
||||||||||
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
2 |
2k +v−2 |
(k |
−1)!Г(k + v) |
|
|
2k +v |
k!Г(k + v +1) |
|||||||||||||||||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
k =0 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(k −1)→k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(−1) |
k |
z |
2k +v |
|
∞ |
|
|
(−1) |
k |
z |
2k +v |
|
|
|
|
|
||||||||
= −∑ |
|
|
|
|
|
+∑ |
|
|
|
|
= 0 . |
|
||||||||||||||||
2 |
2k +v |
|
|
|
2 |
2k +v |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
k =0 |
|
|
k!Г(k +v +1) |
k =0 |
|
|
|
k!Г(k +v +1) |
|
|
|
|
Введем в рассмотрение несколько новых функций. Будем предполагать, что v не является целым. Для произвольных z, принадлежащих плос-
8
кости с разрезом (−∞, 0), определим цилиндрическую функцию, линейно независимую с функцией Бесселя:
Yv (z) = J v (z) cos(vππ) − J −v (z) , | z | < ∞, | arg z | <π . sin(v )
Эта функция называется цилиндрической функцией второго рода
(функцией Вебера). Для ее обозначения используется символ Yv (z) . (В неко-
торых работах, посвященных теории функций Бесселя, ее называют функ-
цией Неймана и обозначают Nv (z) ).
Рассмотрим также следующие функции:
H v(1) (z) = Jv (z) +iYv (z) , H v(2) (z) = J v (z) −iYv (z) .
Это цилиндрические функции третьего рода (функции Ханкеля). Оче-
видно, они линейно независимы с функцией первого рода и между собой. Функции Ханкеля определены для | z | < ∞, | arg z | <π . Следует отметить, что все цилиндрические функции при фиксированном z есть целые функции параметра v .
Цилиндрические функции имеют весьма широкую область применения в математической физике и технике. Наиболее известными примерами приложения цилиндрических функций к задачам математической физики являются задача о колебаниях круглой мембраны, задача Дирихле для цилиндра и др.
РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Будем исходить из представления (6):
|
(−1) |
k z |
2k +v |
|
||
∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|||||
Jv (z) = ∑ |
|
2 |
|
, | z | < ∞, | arg z | <π . |
||
k!Г(k + v +1) |
||||||
k =0 |
|
Умножим это равенство на zv и продифференцируем по z, получим
d |
|
|
|
d |
|
∞ |
|
|
(−1) |
k |
z |
2k +2v |
|
∞ |
|
|
|
k |
|
|
2k +2v−1 |
|
||||
z v Jv (z) = |
|
∑ |
|
|
|
|
|
=∑ |
(−1) 2(k + v)z |
|
|
= |
||||||||||||||
dz |
|
2 |
2k +v |
|
|
|
|
|
|
|
2k +v |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
dz k =0 |
|
k!Г(k + v +1) |
k =0 |
2 |
k!Г(k + v +1) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ (−1) |
k |
z 2k +v−1 |
|
|
|
|||||||
|
∞ |
(− |
|
k |
2k |
+v−1 |
(k +v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= zv ∑ |
1) z |
|
|
|
|
|
|
=zv ∑ |
|
|
|
|
|
2 |
|
= zv Jv−1 (z) . |
|
||||||||
|
2k |
+v−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k!Г(k +v) |
|
|
||||||||||||
|
k =0 |
2 |
|
|
k!Г(k +v +1) |
k =0 |
|
|
|
|
|
Таким образом,
9
|
|
|
|
d |
|
zv J v (z) = z v Jv−1 (z) . |
(7) |
||||||||
|
|
|
dz |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
d |
z −v Jv (z) = −z −v J v+1 (z) . |
(8) |
||||||
|
|
|
|
|
|
dz |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Продифференцировав в левых частях (7) и (8), получим |
|
||||||||||||||
zv |
d |
|
Jv (z) + vzv−1 Jv (z) = zv Jv−1 (z) , |
(9) |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z −v |
|
|
d |
Jv (z) −vz −v−1 J v (z) = −z −v Jv+1 (z) . |
(10) |
||||||||||
|
|
dz |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
|
|
J v |
(z) + |
v |
Jv (z) = Jv−1 (z) , |
(11) |
|||||||
|
dz |
z |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
d |
|
|
J v |
(z) − |
v |
|
Jv (z) = −Jv+1 (z) . |
(12) |
||||||
|
dz |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
||||||
Складывая и вычитая равенства (11) и (12), будем иметь |
|
||||||||||||||
2 |
|
d |
|
J v (z) = J v−1 (z) − Jv+1 (z) , |
(13) |
||||||||||
dz |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2v |
Jv (z) = Jv−1 (z) + Jv+1 (z) . |
(14) |
|||||||||||
|
|
|
z |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции Бесселя второго и третьего рода удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям, что и функции первого рода, т. е. соотношениям (7)–(14). При v, отличном от целого числа, справедливость этих формул для функций Бесселя второго рода (функций Вебера) вытекает из определения функции Вебера и соответствующих формул для функций первого рода. Для целого v требуемый результат следует из непрерывности рассматриваемых функций по отношению к индексу v, что позволяет осуществить в соотношениях (7)–(14) предельный переход при v → п. Отметим еще формулы:
|
|
|
d |
m |
v |
|
|
v−m |
Jv−m (z) , |
(15) |
||||||
|
|
|
|
|
z |
|
Jv (z) = z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
zdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d |
|
m |
−v |
|
|
|
m |
|
−v−m |
Jv+m (z) . |
(16) |
|||||
|
|
|
|
z |
|
Jv |
(z) = (−1) |
|
|
z |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
zdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (15) и (16) получаются путем повторного применения равенств (7) и (8). Приняв v = 0, из (13), (14) получим
d |
J0 (z) = J −1 (z) , |
J −1 (z) = −J1 (z) . |
|
dz |
|||
|
|
||
|
10 |
|