Функции комплексного переменного (1500
..pdfА.А. Туганбаев
ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Учебное пособие
•ФЛИНТА•
a.a. tuganbaew
funkcii kompleksnogo peremennogo
u^EBNOE POSOBIE
mOSKWA iZDATELXSTWO "flinta"
2012
УДК 510(075.8) ББК 22.1я73
Т81
Туганбаев А.А.
Т81 Функции комплексного переменного [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А.А. Туганбаев. – М. : ФЛИНТА, 2012. – 48 с.
ISBN 978-5-9765-1406-5
В книге рассмотрен следующий важный раздел математики: функции комплексного переменного. Книга соответствует программам курсов математического анализа для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий.
Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.
УДК 510(075.8) ББК 22.1я73
Учебное издание
Аскар Аканович Туганбаев
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Учебное пособие
Подписано в печать 20.02.2012. Электронное издание для распространения через Интернет.
ISBN 978-5-9765-1406-5 |
© Издательство «Флинта», 2012 |
|
© Туганбаев А.А., 2012 |
oGLAWLENIE
1. |
kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII |
4 |
2. |
zADA^I S KRATKIMI RE[ENIQMI |
13 |
3. |
zADA^I |
30 |
4. |
kONTROLXNYE WOPROSY I ZADANIQ |
35 |
5. |
sPRAWO^NYJ MATERIAL |
44 |
3
4 |
kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII |
1.kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII
~EREZ C |
|
|
OBOZNA^AETSQ MNOVESTWO WSEH KOMPLEKSNYH ^ISEL z = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + iy, GDE x = Re z 2 R { DEJSTWITELXNAQ ^ASTX ^ISLA z, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = Im z |
|
|
|
|
R { |
|
MNIMAQ ^ASTX ^ISLA z, i { SIMWOL, NAZYWAEMYJ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MNIMOJ EDINICEJ, i |
|
= ;1, PRI^EM KOMPLEKSNYE ^ISLA SKLADY- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WA@TSQ I UMNOVA@TSQ PO PRAWILAM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 ; y1y2) + i(x1y2 + y1x2): |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
kOMPLEKSNYE ^ISLA z = x + iy IZOBRAVA@TSQ TO^KAMI KOMPLEK |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SNOJ PLOSKOSTI C |
|
S DEKARTOWYMI KOORDINATAMI (x y), |
jzj |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
px2 + y2 |
{ MODULX ^ISLA z, T.E. RASSTOQNIE OT TO^KI z DO NA- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
j 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
^ALA KOORDINAT O, |
|
z |
|
= 0 PRI z = 0. s^ITAEM, ^TO R |
|
|
C , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
POLAGAQ x = x + i0, T.E. DEJSTWITELXNAQ OSX Ox WKLADYWAETSQ W |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
22 |
|
|
2 |
|
|
|
||
KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX. eSLI z = x+iy |
|
|
|
C I x y |
R, TO ^ISLO |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
|
+ y = jzj |
|
2 |
R. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
= x ;iy NAZYWAETSQ SOPRQVENNYM K z, zz |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tO^KI z I |
z |
NA PLOSKOSTI C |
|
SIMMETRI^NY OTNOSITELXNO OSI |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ox. dELENIE NA NENULEWYE KOMPLEKSNYE ^ISLA PROIZWODITSQ PO |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
PRAWILU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
z1 |
|
= z1 |
|
2 = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iy2) = x1x2 + y1y2 |
+ i y1x2 |
; x1y2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
(x1 |
+ iy1)(x2 |
; |
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
z |
z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
x2 |
+ y2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
j 2j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||
|
1.1. |
|
= z |
|
= |
|
1 |
|
2 |
|
= |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z1 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
z |
z |
z1z2 |
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
z |
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
z1 |
|
|
+ |
|
z2 |
|
|
|
z1z2 |
|
|
= |
|
|
z1 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
z1 = jz1j: |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
j |
|
|
j |
|
j j |
j |
j |
j |
j |
j |
j |
jj |
j |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
jz2j |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
eSLI |
|
' { POLQRNYE KOORDINATY TO^KI z = x + iy |
KOMPLEK- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SNOJ PLOSKOSTI, TO |
|
jzj |
= , A POLQRNYJ UGOL ', OPREDELEN- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NYJ S TO^NOSTX@ DO |
2 k (k |
|
2 |
Z), NAZYWAETSQ ARGUMENTOM ^IS- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
LA z I OBOZNA^AETSQ Arg z. |
zNA^ENIE ', LEVA]EE W POLUINTER- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
WALE |
|
|
(; ] |
NAZYWAETSQ |
|
|
GLAWNYM |
ZNA^ENIEM ARGUMENTA |
^IS- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
LA z I OBOZNA^AETSQ ^EREZ arg z, PRI^EM Arg z |
|
= arg z + 2 k, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
2 |
|
|
|
Z. qSNO, |
|
|
^TO |
|
x |
= |
|
|
j |
z |
j |
cos ', |
|
y |
|
|
= |
|
|
|
j |
z |
j |
sin '. dLQ |
L@BO- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
GO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ISLO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C , |
GDE |
|
||||||||||||||||||
|
y |
|
|
2 |
|
|
R ^EREZ e |
|
|
OBOZNA^IM |
|
|
|
cos y + i sin y |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
iy |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y + sin |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
j |
e |
|
j |
|
= cos |
|
|
|
= 1. dLQ ^ISLA z = x + iy IME@TSQ ZAPISI |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = jzje |
i' |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
W WIDE z = jzj(cos ' + i sin ') |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NAZYWAEMYE TRIGONOMETRI^ESKOJ I POKAZATELXNOJ FORMAMI |
|
^ISLA z. pRI \TOM ZAPISX z = x + iy NAZYWAETSQ ALGEBRAI^ESKOJ FORMOJ ^ISLA z.
kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||
1.2. z1z2 = jz1jei'1jz2jei'2 = jz1jjz2jei('1+'2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z1 |
= jz1jei'1 = |
j |
z1 |
jj |
z2 |
j |
ei('1;'2) |
zn = |
j |
z |
ei' |
|
n |
= |
j |
z |
ein': |
z2 |
jz2jei'2 |
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
||||||
w ^ASTNOSTI, (cos ' + i sin ')n = cos n' + i sin n' |
{ FORMULA |
mUAWRA.
1.3. iZWLE^ENIE KORNEJ IZ KOMPLEKSNYH ^ISEL.
dLQ L@BYH z = |
j |
z |
(cos ' + i sin ') = 0 I n |
2 |
N KORENX n J STE |
||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
1=n |
j |
|
|
6 |
|
|
|||||
PENI pz = z |
|
IMEET n ZNA^ENIJ, WY^ISLQEMYH PO FORMULE |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
' + 2 k |
|
' + 2 k |
! |
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
pz = qjzj |
|
cos |
|
|
n |
+ i sin |
n |
|
k = 0 1 : : : n ; 1 |
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
GDE |
qjzj { OBY^NOE ARIFMETI^ESKOE ZNA^ENIE KORNQ IZ jzj 2 R. |
||||||||||||||||
1.4. |
pOKAZATELXNAQ I LOGARIFMI^ESKAQ FUNKCII. dLQ |
||||||||||||||||
WSEH z 2 C |
POKAZATELXNAQ FUNKCIQ ez |
ZADAETSQ RAWENSTWOM |
ez = ex+iy = exeiy = ex(cos y + isin y):
|
6 |
dLQ WSEH z = 0 LOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ Ln z ZADAETSQ RAWENS- |
|
TWAMI |
|
|
Ln z = ln jzj + i(' + 2 k) = ln z + i 2 k k 2 Z |
GDE ln jzj { OBY^NOE ZNA^ENIE LOGARIFMA NENULEWOGO ^ISLA jzj 2 R I ln z = ln jzj + i ' { GLAWNOE ZNA^ENIE LOGARIFMA. lOGARIFM DANNOGO ^ISLA z PRINIMAET BESKONE^NOE ^ISLO ZNA^ENIJ, SOOT-
WETSTWU@]IH RAZNYM ZNA^ENIQM k 2 Z. wERNA FORMULA uv = ev Ln u, u =6 0.
1.5. gIPERBOLI^ESKIE, TRIGONOMETRI^ESKIE, OBRATNYE TRIGONOMETRI^ESKIE I OBRATNYE GIPERBOLI^ESKIE FUN-
KCII. tAKIE FUNKCII OPREDELQ@TSQ RAWENSTWAMI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ch z = ez + e;z |
sh z = ez |
; e;z |
th z = sh z |
cth z = ch z |
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ch z |
|
|
|
|
|
|
sh z |
|
||
cos z = ch(iz) = |
eiz + e;iz |
sin z = |
; |
i sh(iz) = eiz |
; e;iz |
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
||
Arcsin z = ;i Ln(iz + p |
|
|
) |
Arsh z = Ln(z + p |
|
|
|
|
||||||||||||||
1 ; z2 |
z2 + 1) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
; 1) |
Arch z = Ln(z + |
z |
2 |
; 1) |
|
||||||||||||
Arccos z = ;i Ln(z + z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Arctg z = |
1 |
Ln i |
; z |
Arth z = 1 Ln |
1 + z |
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2i |
|
i + z |
|
|
2 |
1 ; z |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII
1.6. eSLI KRIWAQ ZADANA URAWNENIEM z = z(t), GDE t , |
|
TO |
|
|
|
Z |
f(z)dz = Z f(z(t))z0(t)dt. |
1.7. iNTEGRALXNAQ FORMULA kO[I. pUSTX OBLASTX D OG-
RANI^ENA KUSO^NO-GLADKIM KONTUROM S TAKIM NAPRAWLENIEM OBHODA, ^TO OBLASTX D OSTAETSQ SLEWA, I f(z) { ANALITI^ESKAQ
NA D [ FUNKCIQ. tOGDA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f(z)dz |
|
f(z0) z0 |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Z z ; z0 = ( 0 |
z20 26 D [ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n! |
|
|
|
f(z)dz |
|
f(n)(z0) z0 |
D |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Z |
|
= ( 0 |
|
z0226 D [ : |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 i |
(z ; z0)n+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.8. rQDY lORANA. rQDOM lORANA |
NAZYWAETSQ |
RQD WIDA |
|||||||||||||||||||
+1 |
|
|
n |
|
QWLQ@]IJSQ SUMMOJ RQDA |
1 |
|
|
|
|
n |
PRA |
|
||||||||
|
cn(z ; z0) , |
|
|
|
|
|
|
- |
|||||||||||||
;1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 cn(z ; z0) ( |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I RQDA |
1 |
|
|
z0); |
n |
|
GLAWNAQ |
|||
WILXNAQ ^ASTX RQDA lORANA |
) |
c;n(z |
; |
( |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
^ASTX RQDA lORANA). rQD lORANA NAZYWAETSQP SHODQ]IMSQ, ESLI
EGO PRAWILXNAQ I GLAWNAQ ^ASTI SHODQTSQ. eSLI f(z) ANALITI-
^NA W KOLXCE |
0 |
|
r < jz ; z0j < R 1, |
TO W \TOM KOLXCE |
||||||
|
+ |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
GDE |
|
|
|
f(z) = |
|
|
cn(z ; z0) , |
|
|
|||||
;1 |
|
|
|
|||||||
|
P |
|
1 |
|
I |
f( )d |
|
|
||
|
|
|
cn = |
|
|
|
n = 0 1 2 : : : |
|||
|
|
|
2 i |
( ; z0)n+1 |
= f : j ; z0j = r < < Rg:
1.9.iZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI. pUSTX z0 { IZOLIROWAN NAQ OSOBAQ TO^KA FUNKCII f(z), T.E. W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 NET DRUGIH OSOBYH TO^EK FUNKCII f(z), KROME z0.
iZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA z0 NAZYWAETSQ USTRANIMOJ PRI WYPOLNENII L@BOGO IZ SLEDU@]IH TREH \KWIWALENTNYH USLOWIJ:
(I1) |
SU]ESTWUET KONE^NYJ PREDEL |
lim f(z) I |
LIBO |
|
|
z!z0 |
|
f(z0) = lim f(z), LIBO f(z) NE OPREDELENA W TO^KE z0 |
|
||
|
6 z!z0 |
|
|
(I2) |
SU]ESTWUET TAKAQ ANALITI^NAQ W z0 |
FUNKCIQ '(z), |
^TO |
f(z) = '(z) DLQ WSEH z IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0
kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII |
7 |
(I3) W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 FUNKCIQ f(z) RAZLAGAETSQ W RQD lORANA S NULEWOJ GLAWNOJ ^ASTX@.
iZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA z0 NAZYWAETSQ |
POL@SOM, ESLI |
|
lim f(z) = |
. iZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA |
z0 NAZYWAETSQ |
z!z0 |
1 |
|
POL@SOM PORQDKA k > 0 PRI WYPOLNENII L@BOGO IZ SLEDU@]IH
TREH \KWIWALENTNYH USLOWIJ:
(II1) SU]ESTWUET KONE^NYJ NENULEWOJ PREDEL lim (z ; z0)k f(z)
z!z0
(II2) RQD lORANA DLQ f(z) W OKRESTNOSTI z0 IMEET WID
|
C |
k |
|
|
|
|
C |
1 |
|
|
|||
f(z) = |
; |
+: : :+ |
; |
+C0 +C1(z;z0)+C2(z;z0)2 +: : : |
|||||||||
(z ; z0)k |
(z ; z0) |
||||||||||||
GDE C |
k = 0 |
I Cn |
= 0 |
8 |
n < |
; |
k |
||||||
; |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(II3) |
W |
|
NEKOTOROJ |
PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI |
|||||||||
z0 f(z) = |
|
'(z) |
|
, GDE '(z) |
ANALITI^NA W z0 I '(z0) = 0. |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
(z ; z0)k |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||||||
w \TIH USLOWIQH |
'(z) = C;k + C;k+1(z ; z0) + : : : + |
+C;1(z ; z0)k;1 + C0(z ; z0)k + C1(z ; z0)k+1 + : : :
I PRI OPREDELENII PORQDKA POL@SA SOMNOVITELI TIPA '(z) MOV- NO OTBRASYWATX. pOL@S PERWOGO PORQDKA NAZYWAETSQ PROSTYM POL@SOM.
iZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA z0 NAZYWAETSQ SU]ESTWENNO OSOBO J TO^KOJ DLQ f(z) PRI WYPOLNENII L@BOGO IZ SLEDU@]IH DWUH \KWIWALENTNYH USLOWIJ:
(III1) NE SU]ESTWUET (NI KONE^NYJ, NI BESKONE^NYJ) PREDEL
lim f(z)
z!z0
(III2) GLAWNAQ ^ASTX RQDA lORANA DLQ f(z) (W OKRESTNOSTI TO^KI z0) SODERVIT BESKONE^NO MNOGO NENULEWYH ^LENOW.
bESKONE^NO UDALENNAQ TO^KA z = 1 NAZYWAETSQ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ DLQ f(z), ESLI W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI z = 1 (T.E. WNE NEKOTOROGO KRUGA S CENTROM W TO^KE z = 0) NET DRUGIH OSOBYH TO^EK DLQ f(z). rQD lORANA DLQ f(z) W OKRESTNOS- TI z = 1 { \TO RAZLOVENIE f(z) W RQD PO STEPENQM z, SHODQ]IJSQ PRI jzj > R DLQ NEKOTOROGO R > 0.
tO^KA z = 1 { USTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA PRI WYPOLNENII L@BO- GO IZ SLEDU@]IH \KWIWALENTNYH USLOWIJ:
(IV1) SU]ESTWUET KONE^NYJ PREDEL zlim!1 f(z)
8 |
|
|
|
kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII |
||||
(IV2) RQD lORANA W OKRESTNOSTI TO^KI z = 1 NE SODERVIT PO- |
||||||||
LOVITELXNYH STEPENEJ z |
|
|
|
|
|
|
||
(IV3) p = 0 { USTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA FUNKCII f(1=p). |
|
|||||||
tO^KA z = |
1 |
{ POL@S, ESLI |
lim |
f(z) = . tO^KA z = |
1 |
{ POL@S |
||
|
|
z!1 |
1 |
|
|
|||
PORQDKA k > 0 ESLI WYPOLNQETSQ L@BOE IZ SLEDU@]IH \KWI- |
||||||||
WALENTNYH USLOWIJ: |
|
|
|
|
|
|
||
(V1) SU]ESTWUET KONE^NYJ NENULEWOJ PREDEL lim |
f(z) |
|
|
|||||
zk |
|
|
||||||
|
|
|
|
z!1 |
|
|
|
(V2) RQD lORANA W OKRESTNOSTI TO^KI z = 1 SODERVIT KONE^NOE NENULEWOE ^ISLO POLOVITELXNYH STEPENEJ z
(V3) FUNKCIQ f(1=p) IMEET POL@S PORQDKA k W TO^KE p = 0.
tO^KA z = 1 { SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA FUNKCII f(z) PRI WYPOLNENII L@BOGO IZ SLEDU@]IH \KWIWALENTNYH USLOWIJ:
(V I1) NE SU]ESTWUET KONE^NOGO ILI BESKONE^NOGO |
PREDELA |
|
lim f(z) |
|
|
z!1 |
|
1, |
(V I2) RQD lORANA, SHODQ]IJSQ W OKRESTNOSTI TO^KI |
z = |
|
SODERVIT BESKONE^NOE ^ISLO POLOVITELXNYH STEPENEJ z |
|
(V I3) p = 0 { SU]ESTWENNAQ OSOBAQ TO^KA DLQ f(1=p).
1.10. wY^ETY. wY^ETOM FUNKCII f(z) W IZOLIROWANNOJ OSOBO- |
||||
J TO^KE z0 NAZYWAETSQ ^ISLO res f(z) = |
1 |
|
f(z)dz, GDE { |
|
2 i I |
||||
z=z0 |
|
|||
|
|
|
L@BOJ KONTUR, ODIN RAZ OBHODQ]IJ PROTIW ^ASOWOJ STRELKI TO^- KU z0 I NE SODERVA]IJ WNUTRI SEBQ DRUGIH OSOBYH TO^EK DLQ f(z).
wY^ET res f(z) RAWEN KO\FFICIENTU PRI |
1 |
|
W LORANOWSKOM |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
z ; z0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
RAZLOVENII |
f(z) = |
Cn(z ; z0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eSLI z0 { USTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA DLQ f(z), |
TO res f(z) = 0. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
eSLI z0 { PROSTOJ POL@S DLQ f(z), TO res f(z) = lim |
f(z)(z |
; |
z0). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
h(z) |
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
z!z0 |
|
|
||||
eSLI f(z) = |
|
, GDE |
h(z) I g(z) ANALITI^NY |
W TO^KE |
z0, |
|||||||||||||||
g(z) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g0(z0) = 0 TO |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
h(z0) = 0, g(z0) = 0 I |
z0 { PROSTOJ POL@S I |
|||||||||||||||||||
|
6 |
|
h(z0) |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
res |
h(z) = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z=z0 |
g(z) |
g0(z0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kRATKIE SWEDENIQ PO TEORII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
||||||||||||
eSLI z0 { POL@S PORQDKA k > 0 DLQ f(z), TO |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
res f(z) = |
|
1 |
|
lim |
dk;1 |
|
n |
f(z)(z |
; |
z0)k |
o |
: |
|||||||||
|
|
|
|
dzk;1 |
||||||||||||||||||
|
z0 |
|
|
|
|
|
(k ; 1)! z!z0 |
|
|
|
|
|||||||||||
eSLI f(z) = |
|
h(z) |
, PRI^EM z0 { NULX PORQDKA k DLQ h(z) I NULX |
|||||||||||||||||||
|
g(z) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
PORQDKA k + 1 DLQ g(z), TO z0 { PROSTOJ POL@S DLQ f(z) I |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
res f(z) = |
h(k)(z0) |
(k + 1): |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g(k+1)(z0) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z=z0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||
wY^ETOM |
|
W TO^KE |
|
|
|
|
NAZYWAETSQ ^ISLO |
|||||||||||||||
res |
f(z) = |
|
|
|
|
|
f(z)dz, |
GDE |
|
{ L@BOJ KONTUR, |
ODIN RAZ |
|||||||||||
2 i I |
||||||||||||||||||||||
z=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OBHODQ]IJ PO ^ASOWOJ STRELKe TO^KU
z = 0 I SODERVA]IJ WNUTRI SEBQ WSE OSOBYE TO^KI FUNKCII f(z)
(KROME z = 1). eSLI f(z) = |
X;1 |
Cn(z ; z0)n |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
{ LORANOWSKOE |
|||||||||||||
|
|
|
n= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RAZLOVENIE FUNKCII W OBLASTI, LEVA]EJ WNE , |
TO res = |
; |
C |
; |
1: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=1 |
|
|
||
eSLI z = 1 { USTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA DLQ f(z), TO |
|
|
|
|
|||||||||||
res f(z) = |
|
C |
1 = |
|
|
~ |
(0): |
|
|
|
|
|
|
||
; |
; |
f0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
z=1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
eSLI z = 1 { POL@S PORQDKA k DLQ f(z), TO |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
d |
k+1 |
|
|
|
~ |
k |
|
|
|
|
|
|
res f(z) = |
lim |
|
|
|
f(p)p |
|
: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(k + 1)!! |
|
|
|
|
|||||||
z=1 |
; p!0 dpk+1 |
|
|
|
|
|
|
|
pUSTX KONTUR OGRANI^IWAET OBLASTX D I OBHOD PROIZWO- DITSQ PROTIW ^ASOWOJ STRELKI (ESLI SOSTOIT IZ NESKOLXKIH KONTUROW, TO OBHOD KAVDOGO IZ NIH PROIZWODITSQ TAK, ^TOBY D BYLA SLEWA OT NAPRAWLENIQ OBHODA).
1.11. tEOREMA kO[I O WY^ETAH. eSLI f(z) NEPRERYWNA NA
I ANALITI^NA WO WSEH WNUTRENNIH TO^KAH OBLASTI D, KROME KONE^NOGO ^ISLA OSOBYH TO^EK z1 z2 : : : zm, LEVA]IH W D TO
I |
m |
|
X |
|
|
f(z)dz = 2 i |
|
res f(z): |
|
k=1 z=zk |
1.12. sLEDSTWIE. eSLI FUNKCIQ f(z) ANALITI^NA NA WSEJ KOM- PLEKSNOJ PLOSKOSTI, ZA ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA OSOBYH