Математический анализ (90
..pdfГосударственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА
ИМЕНИ Ю.А.СЕНКЕВИЧА (ГАОУ ВПО МГИИТ имени Ю.А. Сенкевича)
Кронштад тский б-р, д. 43А, Москва, Россия, 125499, тел.: (495) 454-92-92, 454-74-58; факс: (495)454-31-66 E-mail:box@mgiit.ru, http://www.mgiit.ru
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения по специальности 080100.62 «Экономика»
(3,5 года)
Москва 2012г.
Методические указания и контрольные задания составлены в соответствии с учебной программой
по дисциплине «Математический анализ» по специальности 080100.62 «Экономика»
(3,5 года)
старший преподаватель А.С.Дятлова
Цели и задачи дисциплины
Цель дисциплины «Математический анализ» состоит в получении студентами фундаментальных математических знаний и прочных практических навыков по использованию средств математического анализа для построения математических моделей в экономике и управлении.
Задачи курса состоят в следующем:
1)дать студентам сведения о современных математических методах, использующихся в математическом моделировании экономических процессов;
2)ознакомить студентов с понятиями, методами и алгоритмами применения изучаемых разделов математического анализа;
3)развить способности студентов к логическому и алгоритмическому мышлению;
4)привить навыки самостоятельного изучения литературы по данной дисциплине и ее приложениям.
Изложение и изучение данного курса опирается на базовые знания студентов, полученные ими в предшествующее время в школьном курсе математики. Из этого курса следует выделить свойства степеней и дробей, логарифмические и показательные функции, тригонометрию,
начала анализа. Студент должен знать основные понятия, свойства, формулы из этих разделов школьной математики и уметь использовать их при решении задач. Он должен обладать следующими входными компетенциями:
способностью определять к какому разделу математики относится конкретная задача,
способностью выбрать подходящий метод для решения математической задачи,
умением правильно применять формулы при решении задач,
умением выполнять преобразования алгебраических и числовых выражений,
умением правильно использовать и преобразовывать единицы измерения величин,
фигурирующих в задаче,
умением оценивать качественно и по смыслу разумность полученного результата решения задачи.
Требования к результатам освоения дисциплины
Врезультате освоения курса студенты должны получить следующие знания и навыки:
-знать определение функции, уметь классифицировать функции и строить их графики;
-разбираться в пределах и определять непрерывность функций;
-уметь дифференцировать и интегрировать функции, а также исследовать функции и использовать понятие определённого интеграла в экономике;
-знать дифференциальные уравнения для использования в экономической динамике;
-иметь представление о числовых и степенных рядах; уметь представить функцию в виде
ряда;
-знать определение функции нескольких переменных, частной производной, градиента;
-иметь понятие об эмпирических формулах и уметь использовать метод наименьших квадратов.
Всоответствии с требованиями ФГОС формируются профессиональные компетенции:
1)расчётно-экономическая деятельность: способность собрать и проанализировать результаты деятельности организации или предприятия;
2)аналитическая, научно-исследовательская деятельность: способность осуществлять комплексный научный подход для решения поставленной задачи.
Организационно – учебные нормы
Название контрольной точки |
Срок сдачи |
Срок проверки |
|
|
|
|
|
Выполнение контрольной работы |
За три недели до экзаменационной |
В течение двух |
|
сессии |
недель после сдачи |
||
|
|||
|
|
|
Контрольную работу выполнять в тетради в клетку; писать яркими синими чернилами,
четким почерком; условия задач переписывать; на титульном листе необходимо указать (можно в напечатанном виде) следующее: МГИИТ, контрольная работа по математике студента ФИО заочного обучения (4,5 года), курс, группа, шифр (по зачётной книжке), номер варианта. Проверил: ФИО преподавателя.
Работу сдавать на кафедру информационных технологий и математики (к. 208) с записью в журнале контрольных заданий.
Тематический план изучения дисциплины
|
|
|
Самостоятельная |
|
||
Наименование разделов и тем |
Лекции |
|
работа студентов |
ВСЕГО |
||
|
|
|
|
по теме |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздел 1. Введение в анализ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Тема 1.1. Функции, их свойства и графики |
|
|
|
10 |
|
10 |
Тема 1.2. Предел последовательности. |
|
|
|
24 |
|
24 |
Предел функции. Непрерывность функции |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Раздел 2. Дифференциальное исчисление |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Тема 2.1. Производная. Правила |
|
|
|
|
|
|
дифференцирования функций. |
1 |
|
|
10 |
|
11 |
Производные сложных функций |
|
|
|
|
|
|
Тема 2.2. Приложение производной: |
|
|
|
|
|
|
экстремумы функций, асимптоты. |
1 |
|
|
12 |
|
13 |
Исследование функций и построение |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
графиков |
|
|
|
|
|
|
Тема 2.3. Дифференциал функции |
|
|
|
12 |
|
12 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Раздел 3. Функции нескольких переменных |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Тема 3.1. Определение функции двух |
|
|
|
|
|
|
переменных. Частные производные, |
|
|
|
20 |
|
20 |
градиент, экстремум |
|
|
|
|
|
|
Тема 3.2. Метод наименьших квадратов |
|
|
|
10 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
Раздел 4. Интегральное исчисление |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Тема 4.1. Первообразная. Неопределённый |
1 |
|
|
16 |
|
17 |
интеграл. Методы интегрирования |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 4.2. Определённый интеграл. Методы |
|
|
|
16 |
|
16 |
вычислений |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Тема 4.3. Приложения определённого |
1 |
|
|
16 |
|
17 |
интеграла. |
|
|
|
|
|
|
Тема 4.4. Несобственные интегралы |
|
|
|
10 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
Раздел 5. Дифференциальные уравнения |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Тема 5.1. Дифференциальные уравнения |
|
|
|
|
|
|
первого порядка |
|
|
|
16 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
Тема 5.2. Дифференциальные уравнения |
|
|
|
16 |
|
16 |
второго порядка |
|
|
|
|
|
|
Раздел 6. Ряды |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Тема 6.1. Числовые ряды |
|
|
|
12 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
Тема 6.2. Степенные ряды |
|
|
|
12 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
Аттестация (экзамен) |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
Общая трудоёмкость (час) |
4 |
|
|
212 |
|
252 |
Задания для контрольной работы
Каждый студент должен выполнить 4 задания своего варианта. Номер выполняемого варианта совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки студента.Например, для варианта №6 следует решить задания №№ 6, 16, 26, 36; для варианта №0 следует решить задания №№ 10, 20,
30, 40.
1-10. Найти производные для указанных 4 функций.
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
а ) |
y x |
|
|
3 |
|
x |
2 |
, |
б ) |
y ln x (x |
3 |
x), |
|||||||||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y |
tg5x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
в ) |
(x 1)2 |
г ) |
|
y ln x 1, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
а ) |
y 3x |
2 |
|
|
5 |
ln x, |
б ) |
y tgx 3 |
x |
, |
|
||||||||||||||
|
x4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
(x 3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в ) y |
|
|
|
|
|
, |
г ) y |
(sin 7x x |
) |
, |
|
|
|
|
||||||||||||
ln 3x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. |
а ) y 4x5 |
4 x3 |
sin x, б ) y (x2 |
1) arctgx, |
в) y cos3 x , г ) y ln(x4 3x2 ),
x2 4
|
|
|
|
4 |
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
а ) y x3 |
|
|
, б ) y |
|
x arcctgx, |
|||||||||||||
x5 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
в ) y |
|
sin 3x |
|
|
|
|
, г ) |
y (x2 e2 x )5 , |
|||||||||||
|
x cos x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
а ) y 4x5 |
|
1 |
|
ctgx, б ) y 2x (3x4 x), |
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в ) y |
|
ln2 x |
, г ) |
|
y e4 sin 2 x , |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
а ) y 3x4 |
|
2 |
|
arcsin x, б ) |
y 2x ctgx, |
|||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(x2 x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в ) y |
|
, |
г ) |
y 3 1 cos x, |
|||||||||||||||
|
e3x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. а ) |
y x |
5 |
|
1 |
cos x, |
б ) |
y e |
x |
(x |
3 |
5), |
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||
в ) |
y |
|
|
, |
г ) |
y ln(sin 5x x |
), |
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y (2 x |
5 |
) ctgx, |
|||||||||||
8. а ) |
y 2x |
|
|
|
|
|
|
|
ln x, |
б ) |
|
||||||||||||||||||
|
x4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||
в ) |
y |
|
, |
г ) |
|
y (ln cos x 2) |
, |
|
|||||||||||||||||||||
1 sin 3x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 7 |
x |
sin x, |
|||||||||
9. а ) |
y x |
|
|
|
ctgx, |
б ) |
|||||||||||||||||||||||
|
x3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
в ) y |
|
, г ) |
|
y ln3 (x2 3), |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10. а ) y 2 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 4 x, б ) |
|
y 4x (x2 3), |
||||||||||||||||||||||||||
в ) y |
arctg 2x |
, г ) |
y ln sin 5x, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11-20. Исследовать функцию y=f(x) и построить ее график. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a,b].
11. y 2x3 |
9x2 |
12x 5, a = 1 , |
b = 3 |
||
12. y x3 6x2 9x 1, a = 1 , |
b = 2 |
||||
13. y x3 |
3x2 |
9x 10, a = 2 , |
b = 3 |
||
14. y x3 |
3x2 |
9x 10, a = 1 , |
b = 2 |
||
15. y x3 6x2 9x 2, a = 0 , |
b = 4 |
||||
16. y 2x3 |
3x2 |
12x 5, a= 2 , |
b= 3 |
||
17. y 2x3 |
3x2 |
12x 8, a = 3 , |
b = 0 |
||
18. y 2x3 |
9x2 |
12x 7, a = 3 , |
b = 1 |
19. y 2x3 15x2 36x 32, a = 1 , |
b = 4 |
20. y 2x3 3x2 36x 20, a = 1 , |
b = 4 |
2130. Найти неопределённые интегралы и результат интегрирования (в одном примере)
проверить дифференцированием.
21.a)
22.а)
23.а)
24.а)
25.а)
26.а)
27.а)
(x3 2 1)dx,
3 x2
в) x e xdx,
(x4 53x2 3)dx,
в) |
x e3xdx, |
(x2 x34 2)dx,
в) |
x sin 2xdx, |
(x4 43x 1)dx,
в) |
arcsin xdx, |
(6x2 x23 1)dx,
в) |
x ln xdx, |
||
(3x |
5 |
3)dx, |
|
|
|||
|
|
2x |
|
в) |
x cos3xdx, |
(8x5 3 7x 3)dx,
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
cos3 x sin xdx,
sin 8x sin10xdx,
x 2 dx, x(x 3)
5
1 9x2 dx,
1
45x 1dx,
sin x dx, cos5 x
|
7 |
9x2 1dx, |
|
в) |
arctgxdx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28.а) |
(9x |
5 |
|
4)dx, |
|
б) |
|
cos |
3 |
xdx, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) |
(x 1) ln xdx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
а) |
( |
7 |
x |
|
8 |
|
1)dx |
, |
|
б) |
|
|
5 |
dx, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
3x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в) |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
( |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) cos 2x cos 7xdx, |
||||||||||||||
30.а) |
|
5 |
|
|
x 2)dx, |
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 40. Найти с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной заданными параболой, прямой и осью Ох.
31.y 2x2 , y 2x 4.
32.y x2 , y x 2.
33.y 3x2 , y x 4.
34.y 14 x2 , y x 3.
35.y 12 x2 , y 3x 8.
36.y 13 x2 , y 3x 12.
37.y 4x2 , y 2x 2.
38.y 14 x2 , y 12 x 2.
39.y 4x2 , y 2x 6.
40.y x2 , y x 3.