Электродинамика и электромагнитные волны Ч. 1 (90
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра радиофизики
В. А. Тимофеев Т. К. Артёмова
Электродинамика и электромагнитные волны
Часть 1
Задачник
Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов,
обучающихся по специальностям Радиотехника, Радиофизика и электроника и направлениям Телекоммуникации, Радиофизика
Ярославль 2009
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 537.86
ББК В 336я73
Т 41
Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009 года
Рецензент кафедра радиофизики
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова
Т 41 |
Тимофеев, В. А. Электродинамика и электромагнитные |
волны Ч. 1: задачник / В. А. Тимофеев, Т. К. Артёмова; Яросл. |
гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2009. – 38 с.
Задачник содержит краткие теоретические сведения и набор заданий различной степени трудности, необходимые для самостоятельного решения.
Первая часть издания состоит из четырех разделов. В них собран материал, включающий упражнения с векторами электромагнитного поля, приведены задачи на структуру и параметры поляризации плоских электромагнитных волн при их распространении в однородных изотропных средах, а также при взаимодействии электромагнитного излучения с плоской границей раздела различных сред.
Предназначен для студентов, обучающихся по специальностям 010801 Радиофизика и электроника, 210302 Радиотехника, направлениям 210400 Телекоммуникации и 010800.62 Радиофизика (дисциплины «Физика волновых процессов», «Электромагнитные поля и волны», «Электродинамика и распространение радиоволн», «Электродинамика СВЧ», блок ЕН, ОПД, ДС), очной и заочной форм обучения.
УДК 537.86
ББК В 336я73
♥ Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2009
2
1. Векторы электромагнитного поля. Формулировка электродинамических задач
Для описания физических полей принято использовать их математические модели – скалярные и векторные поля – функции, заданные на множестве точек пространства. В произвольной системе координат скалярное поле φ приобретает вид
некоторой функции φ(x1, x2 , x3 ), принимающей численные значе-
ния – действительные или комплексные. Векторное поле А задается тремя проекциями на единичные векторы (орты) выбранной системы координат.
Для характеристики величины и направления скорости изменения скалярного поля в пространстве вводят градиент этого поля
|
1 |
|
∂φ |
|
|
|
1 ∂φ |
|
|
|
1 ∂φ |
|
|
|
||||
gradφ = |
|
|
|
lx |
|
+ |
|
|
|
lx |
|
+ |
|
|
|
lx |
, |
(1.1) |
h1 |
|
∂x1 |
|
h2 ∂x2 |
|
h3 ∂x3 |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где h1,h2 ,h3 – коэффициенты Лямэ по координатам x1, x2 и x3 . Приведем значения коэффициентов Лямэ для наиболее упот-
ребительных систем координат: |
|
– декартова система координат (x, y, z) |
hx = hy = hz = 1; |
– цилиндрическая система координат (ρ ,ϕ , z) |
hρ = 1, hϕ = ρ , |
hz = 1; |
|
– сферическая система координат (r,θ ,ϕ ) |
hr = 1, hθ = r , |
hϕ = rSinθ . |
|
Среди скалярных полей выделяют центральное (функция φ
принимает одинаковые значения для всех точек, находящихся на равных расстояниях от некоторого центра, как, например,
φ = cr2 , φ = r ) и осевое (если функция принимает одинаковые
значения для всех точек, равноотстоящих от некоторой оси). Описание дифференциальных свойств векторного поля не-
сколько сложнее. Векторное поле À принято характеризовать
3
скалярным полем – дивергенцией (расхождением) divA и вектор-
ным полем – ротором (вихрем, кручением) rotA.
Дивергенцию векторного поля вычисляют путем дифференцирования его проекций по определенным правилам. В произвольной ортогональной криволинейной системе координат
|
1 |
∂(h2h3 Ax |
) |
|
∂(h1h3 Ax |
) |
|
∂(h1h2 Ax |
3 |
) |
|
||||||
divA = |
|
|
|
1 |
|
+ |
|
|
2 |
|
+ |
|
|
|
. (1.2) |
||
h h h |
∂x |
|
∂x |
2 |
|
∂x |
|
|
|||||||||
1 |
2 3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Ротор векторного поля – это вектор, определенный в любой точке поля и являющийся его объемной производной, взятой с обратным знаком.
В декартовой, цилиндрической и сферической системах координат:
rotA =
rotA =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
ey |
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
∂ |
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rotA = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax |
|
|
|
Ay |
Az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 ∂Aρ |
|
|
|
∂Aϕ |
|
|
|
∂Aρ |
|
|
∂A |
|
|
|
1 |
∂(ρAϕ ) |
|||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e |
|
ρ ∂ϕ |
|
− |
∂z |
|
+ e |
|
|
∂z |
− |
|
∂ϕ |
|
|
+ e |
z ρ |
|
|
∂ρ |
|
|||||||||||||||||||||
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
∂( Aϕ Sinθ ) |
|
|
|
∂A |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
∂A |
|
||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||
er |
|
|
|
|
|
|
|
∂θ |
|
|
|
|
|
− |
∂ϕ |
+ eθ |
r |
|
|
Sinθ ∂ϕ |
− |
|||||||||||||||||||||
|
rSinθ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
1 |
∂(rAθ ) |
− |
∂Ar |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ eϕ |
r |
|
|
|
|
∂r |
|
∂θ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.3)
−∂Aρ , (1.4)
∂ϕ
∂(rAϕ )
∂r (1.5)
Векторные поля могут быть сферическими (все векторы поля проходят через 1 точку – центр, и длина их зависит только от расстояния от этого центра), цилиндрическими.
Среди всех интегралов полей выделим только два.
4
Циркуляция вектора – криволинейный интеграл по замкнутому контуру С, причем С проходится против часовой стрелки, а единичный вектор dl является касательным в каждой точке к С:
C = Adl . |
(1.6) |
C |
|
Скалярный поток векторного поля – число |
|
Q = A(r )dS , |
(1.7) |
Σ
где вектор dS – вектор «лицевой» нормали к поверхности Σ , натянутой на контур C . Величина его равна площади поверхности Σ , а направление таково, что если смотреть на его конец, то обход контура C совершается против часовой стрелки, он как бы ввинчивается в площадку при правильном обходе C .
Векторное поле называется соленоидальным (полем без ис-
точников), если divA = 0 , и потенциальным (если это сила, то ее
работа по замкнутому контуру равна нулю), если rotA = 0 . Знание скалярных и векторных производных и интегралов
векторов поля позволяет характеризовать структуру поля, а решения уравнений Максвелла с различными граничными и начальными условиями позволяют определить значения векторов поля в каждой точке пространства в любой момент времени, связать создаваемое источниками поле с параметрами источников.
Задачи для решения
1.1. В прямоугольном волноводе сечением a × b на основной волне отлична от нуля только одна компонента электрического поля Ey = Ey0Sin(πxa)exp(−γ 10z) , где Ey0 и γ 10 – константы. Оп-
ределите divE и охарактеризуйте это электрическое поле по типу
впроизвольной точке A(x, y, z).
1.2.В прямоугольном волноводе сечением a × b на волне H20
отлична от нуля только одна компонента электрического поля Ey = Ey0Sin(2πxa)exp(−γ 20z) , где Ey0 и γ 20 – константы. Опре-
делите divE и охарактеризуйте это электрическое поле по типу в произвольной точке A(x, y, z).
5
1.3. В прямоугольном волноводе сечением a × b плоская волна имеет напряженность магнитного поля H y = H0e−γz , где H0 и
γ – константы. Определите divH и охарактеризуйте это электрическое поле по типу в произвольной точке A(x, y, z).
1.4.В прямоугольном волноводе сечением a × b плоская волна имеет напряженность электрического поля Ex = E0e−γz , где E0
иγ – константы. Определите divE и охарактеризуйте это электрическое поле по типу в произвольной точке A(x, y, z).
1.5.В прямоугольном волноводе сечением a × b на волне E11 отличны от нуля только две компоненты магнитного поля:
H x = H0Sin(πxa)Cos(πxb)exp(−γz) ,
H y = H0Cos(πxa)Sin(πxb)exp(−γz) .
Определите divH , rotH :
а) в произвольной точке A(x, y, z) ; б) в точке x = a / 2 , y = b / 2 , z = 0; в) в точке x = 0, y = 0, z = 0;
г) в точке x = a , y = 0, z = 0.
1.6. В прямоугольном волноводе сечением a × b на волне H11 отличны от нуля только две компоненты электрического поля:
Ex = −E0Cos(πxa)Sin(πxb)exp(−γz) ,
Ey = −E0Sin(πxa)Cos(πxb)exp(−γz) .
Определите divE , rotE для точек, указанных в предыдущей задаче.
1.7. В прямоугольном волноводе a × b на волне H10 отличны от нуля компоненты:
Ey = −E0Sin(πxa)exp(−γz), H x = H x0Sin(πxa)exp(−γz),
Hz = Hz0Cos(πxa)exp(−γz) .
Определите в произвольной точке A(x, y, z): а) П; б) divП;
в) rotП.
6
1.8. У волны в свободном пространстве отличны от нуля компоненты:
Ex = E0 exp(−γz) , H y = H0 exp(−γz).
Определите в произвольной точке A(x, y, z) : а) П; б) divП;
в) rotП.
1.9. Магнитное поле магнитного диполя в дальней зоне имеет одну компоненту: Hθ = Hθ 0Sinθ exp(−ikr) . Определите divH ,
rotH , охарактеризуйте тип поля.
1.10. Электрическое поле электрического диполя в дальней зоне имеет одну компоненту: Eθ = Eθ 0Sinθ exp(−ikr) . Определи-
те divE , rotE .
1.11. Магнитное поле электрического диполя в ближней зоне имеет одну компоненту: Hϕ = Hϕ 0Sinθ . Определите divH ,
rotH .
1.12. Электрическое поле площадки Гюйгенса в дальней зоне имеет одну компоненту: Eϕ = −Eϕ0 Sinϕ (1 + I Cosθ ), где I
– константа. Определите divE , rotE , охарактеризуйте тип поля.
1.13. Поле магнитного диполя в дальней зоне имеет компоненты:
Hθ = Hθ 0Sinθ exp(−ikr) , Eϕ = Eϕ 0Sinθ exp(−ikr) .
Определите: а) П; б) divП; в) rotП.
1.14. Поле электрического диполя в дальней зоне имеет компоненты:
Eθ = Eθ 0Sinθ exp(−ikr) , Hϕ = Hϕ 0Sinθ exp(−ikr) .
Определите: а) П; б) divП; в) rotП.
1.15. Поле электрического диполя в ближней зоне имеет компоненты:
Hϕ = Hϕ 0Sinθ , Eθ = −Eθ 0Sinθ , Er = Er0Cosθ .
Определите: а) divH ; б) divE ; в) rotH ; г) rotE .
7
1.16. Для диполя из предыдущей задачи определите: а) П;
б) divП; в) rotП.
1.17. В диэлектрике с относительной проницаемостью ε
создали однородное электрическое поле напряженностью E . В нем прорезаны две очень узкие щели – одна вдоль поля, другая поперек (рис. 1.1). Определите напряженность поля внутри щелей.
E 1
2
Рис. 1.1
1.18.Граница раздела сред является экранирующей либо: а) по электрическому полю; б) по магнитному полю. Определите величину и направление электрического и магнитного полей в обеих средах.
1.19.Определите величину и направление поверхностного тока на границе раздела сред 1 и 2, если: а) H1 = H2 ; б) H1 > H2 ;
в) H1 < H2 .
1.20. Определите величину и знак поверхностного заряда на границе раздела сред 1 и 2, если: а) E1 = E2 ; б) E1 > E2 ;
в) E1 < E2 .
1.21. Испытания метеорита показали, что на частоте 1 МГц
он имеет σ = 10−3 См/м, ε = 6. Является вещество метеорита диэлектриком или проводником на этой частоте? Предполагается, что вещество однородно.
1.22. В веществе с электропроводностью 10−7 10−7 См/м создано электрическое поле E = 2Sin(2π 10−6 t) , ε = 2 . Определите
8
ε ′,ε ′′, tgδ и род вещества: а) для частоты 1 МГц; б) для частоты
1кГц.
1.23. К конденсатору с диэлектриком, имеющим ε = 3, приложено напряжение, создающее напряженность электрического поля внутри E = E0 sinωt . Определите величину и "направление"
тока смещения, если E0 = 2 В/м, ω = 2πf , f = 50 Гц.
1.24. К веществу с ε = 2 , tgδ = 10−2 приложено электрическое поле Em = eˆx + eˆy . Определите комплексную амплитуду
электрической индукции, угол в пространстве между векторами
E и D , разность фаз между ними. Вещество предполагается однородным.
1.25. С помощью уравнений Максвелла выразите электрическую индукцию, создаваемую точечным зарядом Q на рас-
стоянии r от него.
1.26. Электрическая индукция на поверхности мысленной сферы радиуса 1 м направлена по радиус-вектору и равна
10−12 Кл/м2. Определите знак и величину находящегося в центре сферы заряда.
1.27.Найдите выражение для напряженности магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным постоянным током, пользуясь уравнениями Максвелла.
1.28.Индукция магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным проводником с током в свободном про-
странстве на расстоянии 1 м от оси проводника, равна 2 10−7 Тл. Определите, какой ток течет по проводнику.
1.29.Индукция магнитного поля в меди 10−6 Тл. Определите напряженность магнитного поля.
1.30.Существует ли в природе диэлектрик, в котором при E = 5 В/м индукция составляет D = 3 пКл/м2? Обоснуйте ответ.
1.31.В линейной по электрическому полю однородной и изотропной среде действует электрическое поле напряженно-
стью E = 3 В/м. При этом индукция электрического поля составляет D = 50 пКл/м2. Определите: а) диэлектрическую восприимчивость вещества; б) величину вектора поляризованности.
9
1.32. В линейной по магнитному полю однородной и изотропной среде действует магнитное поле напряженностью H = 10 А/м. При этом индукция магнитного поля составляет
144 10−7 Тл. Определите: а) магнитную восприимчивость вещества; б) величину вектора намагниченности; в) род магнита.
2.Электромагнитные волны
воднородных изотропных средах
Для случая однородной изотропной среды, когда материальные уравнения имеют вид
D = ε |
|
E, |
|
|
a |
(2.1) |
|
B = μ |
a |
H , |
|
|
|
|
|
j = σE, |
|
где ε a , μa – абсолютные электрическая и магнитная проницаемо-
сти, а σ – проводимость среды, система уравнений Максвелла для области пространства, в которой отсутствуют свободные заряды, может быть представлена как:
|
|
∂E |
|
|
|
|
rotH = ε a |
∂t |
+ σE, |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∂H |
, |
(2.2) |
|
|
rotE = −μ |
a |
∂t |
|||
|
|
|
|
|
||
|
divE |
= 0, |
|
|
||
|
divH = 0. |
|
|
|||
|
|
|
Из этой системы могут быть получены волновые уравнения для векторов поля. Для электрической компоненты оно имеет вид:
E − μaε a |
∂ 2 E |
−μ aσ |
∂E |
= 0 . |
(2.3) |
|
∂t2 |
|
∂t |
|
|
В случае идеального диэлектрика (σ = 0) волновое уравнение (2.3) преобразуется к следующему виду:
10