Лабораторные работы и методические указания по теме Функции многих переменных (110
..pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ТЕМЕ
«ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
Учебно-методическое пособие
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2012
Утверждено научно-методическим советом математического факультета 25 октября 2012 г., протокол № 0500-07
Составители: А.Д. Баев, М.Ш. Бурлуцкая, М.Б. Давыдова, И.В. Колесникова
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 2 курса дневного отделения математического факультета по курсу «Математический анализ».
Для направлений: 010100 – Математика, 010200 – Математика и компьютерные науки, 00701 – Фундаментальная математика и механика
Содержание
Лабораторные работы |
4 |
Лабораторная работа № 1 |
|
Предел и непрерывность функции многих переменных . . . |
4 |
Лабораторная работа № 2 |
|
Дифференцирование функции многих переменных . . . . . . |
8 |
Лабораторная работа № 3 |
|
Неявные функции и их приложения . . . . . . . . . . . . . |
11 |
Лабораторная работа № 4 |
|
Экстремум функции многих переменных . . . . . . . . . . |
16 |
Методические указания |
18 |
Лабораторная работа № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
Лабораторная работа № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
Лабораторная работа № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
Лабораторная работа № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
36 |
Список литературы |
42 |
3
|
|
|
|
|
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Лабораторная работа № 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Предел и непрерывность функции многих переменных |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Задание 1. Найти и изобразить область определения функции |
||||||||||||||||||||||||||||||
многих переменных: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1: u = p |
|
|
|
|
|
2: u = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(x2 + y2 ¡ 2)(4 ¡ x2 ¡ y2) |
|
4x2 ¡ x3 ¡ 4x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3: u = p |
|
|
|
4: u = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(x2 + y2 + 1)(¡2 ¡ x2 ¡ y2) |
1 ¡ jxj ¡ jyj |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5: u = ln(y2 ¡ 4x + 8) |
6: |
u = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
u = ln x ¡ ln sin y |
8: u = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7: |
log2(2 ¡ x2 ¡ y2) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9: |
u = arccos (x + y) |
10: |
u = log 5(4 |
|
|
x2 |
|
|
|
y2) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
0:x |
|
¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|||||||||
11: |
u = xy |
|
|
|
|
|
12: |
u = arcsin |
|
|
+ p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
p |
¡ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13: |
u = |
pln x ln y ¡ |
14: |
u = |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x2 + y2 1 |
|
|
|
x2 |
|
|
16(y2 + 1) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
15: |
u = |
p |
|
|
16: |
u = arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 ¡ x ¡ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. Для заданной функции u = u(x; y):
а) Вычислить повторные пределы lim lim u(x; y), lim lim u(x; y);
б) Вычислить двойной предел lim u(x; y) или доказать, что он не су-
ществует.
x3 ¡ y 1: u = x3 + y
y2 ¡ x2 3: u = x2 + y2
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
5: u = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6: u = (1 + x) |
(x+yx2) |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
y |
|
+2(x ¡ y) |
|
|
sin(x + y) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
7: |
u = |
y ¡ 2x |
|
|
|
|
|
|
8: u = |
|
|
|
|
|
|||||||||||
y ¡ x2 |
|
2x + 3y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9: |
u = x + y sin |
1 |
|
|
10: u = x sin |
1 |
+ y sin |
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||
11: u = |
y |
tg |
x |
|
|
12: u = log1+x (1 + x + y) |
|||||||||||||||||||
|
x + y |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13: u = |
ax ¡ by |
|
|
|
14: u = |
x2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ax + by |
|
x2 + y2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
15: u = |
ln(x + ey) |
|
|
16: u = |
sin jxj ¡ sin jyj |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x + y |
|
px2 + y2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Задание 3. Для заданной функции u = u(x; y) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) Вычислить повторные пределы |
lim |
lim u(x; y), |
lim |
lim u(x; y); |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!+1 y!+1 |
y!+1 x!+1 |
|||||||||||
б) Вычислить двойной предел |
lim |
u(x; y)или доказать, что он не |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y!+1
существует.
1: |
u = |
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 + y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3: u = sin |
¼y2 |
|
|
|
|
|
|||||||
x2 + 3y2 |
|
|
|
||||||||||
5: |
u = |
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x6 |
+ y6 |
|
|
|
|
p |
|
|
|||||
7: u = (x |
3 |
3 |
|
|
|
x2 |
+y2 |
||||||
|
+ y |
)e¡ |
|
||||||||||
9: u = µx23+ y2 |
¶ |
¡x2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
||||
11: u = |
x2 |
¡ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
¡ y4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2
13: u = 1 + (x ¡ y)4
y2
15: u = tg x2 + y2
x3 + y2x 2: u = x2 + y4
4: u = (x2 + y2)®e¡x2¡y2
ax + by 6: u = x2 ¡ xy + y2
x + y
8: u = x2 + xy + y2
µ x2y ¶y
10: u = x4 + y4
12: u = arcsin x +x y
14: u = (x + y)e¡x2¡y2
16: u = xy sin xy¼
5
Задание 4. Исследовать функцию на непрерывность по отдельным переменным и по совокупности переменных в точках О(0,0) и А(x0; y0) :
|
|
8 |
x2y2 |
|
; |
если |
x4 + y4 6= 0 |
|||||||||||||||
1: |
u = |
x4 |
+ y4 |
|||||||||||||||||||
|
|
> |
|
0; |
|
|
|
|
если |
4 |
+ y |
4 |
= 0 |
|||||||||
|
|
< |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
> |
|
3 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
: |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
8 |
|
|
|
|
; |
если |
x4 + y4 6= 0 |
|||||||||||||
2: |
u = |
x4 |
+ y4 |
|||||||||||||||||||
|
|
> |
|
0; |
|
|
|
|
если |
4 |
+ y |
4 |
= 0 |
|||||||||
|
|
< |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
> |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3: |
u = |
: x |
|
; |
если |
x + y 6= 0 |
||||||||||||||||
8 |
x + y |
|
||||||||||||||||||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
0; |
|
|
|
|
если |
x + y = 0 |
||||||||||||
|
|
> |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
x |
¡ y |
|
|
; |
|
|
|
x2 + y2 = 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4: |
u = |
8 x2 |
+ y2 |
|
если |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||||||||||||||
|
|
> |
|
1; |
|
|
|
|
если |
x |
2 |
+ y |
2 |
= 0 |
||||||||
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: sin x + sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5: |
u = |
8 |
|
|
|
|
|
; |
если |
x + y 6= 0 |
||||||||||||
|
|
x + y |
|
|||||||||||||||||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
если |
x + y = 0 |
|||||||
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
> cos x |
|
|
|
cos y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
; |
если |
x |
¡ |
y = 0 |
|||||
6: |
u = |
|
|
x ¡ y |
|
|
||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
x |
6 |
|||||||||||||||
|
|
< |
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
если |
¡ |
y = 0 |
||||||||
|
|
: |
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
если |
x |
2 |
|
y |
2 |
= 0 |
||||||||
7: |
u = |
< |
|
1; |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||
8 y2 |
+ x2 |
если |
x2 |
¡ y2 |
6= 0 |
|||||||||||||||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
x + y |
|
|
|
если |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y 6= 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8: |
u = |
8 x3 + y3 ; |
||||||||||||||||||||
|
|
> |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
1; |
|
|
|
если |
x + y = 0 |
A(1; 2)
A(10¡4; 10¡5)
A(1; ¡1)
A(0; 1)
A³¼3 ; ¡¼3 ´
A³¼4 ; ¼4 ´
A(1; 0)
A(1; ¡1)
6
|
> |
x3 |
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
9: u = |
8 x2 |
+ y2 ; |
|
если x2 |
+ y2 6= 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
> |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
если x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
< |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
+ y = 0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
: x |
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
= 0 |
|
|
|||||||||||
10: u = |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x |
|
|
|
|
||||||||||||||
8 x3 |
|
+ y3 ; |
|
если x3 |
+ y3 |
6= 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
> |
3 |
|
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
: x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11: u = |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8 x2 + y ; |
|
если x2 + y 6= 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
> |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
< |
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y = 0 |
|
|
|||||||||||||||
12: u = |
8 |
|
x2 |
+ y2 ; если |
x2 + y2 6= 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
: |
x |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
> |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
: |
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= 0 |
||||||||
|
< p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
+ y |
|
|
||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
; |
|
если x |
+ y |
|
|
6= 0 |
|
|
||||||||||||||||
13: u = |
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
если x2 + y2 = 0 |
|
|
||||||||||||||||
|
< |
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14: u = |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8 e¡x2 + y2 ; если |
x2 + y2 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ y |
|
|
= 0 |
|||||||||
|
< |
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
если x2 ¡ 2y 6= 4 |
|||||||||||||||
15: u = |
x2 |
|
¡ |
2y |
¡ |
4 |
||||||||||||||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
: |
|
|
|
|
|
2; |
|
|
|
|
|
|
|
если x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2y = 4 |
|||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
6= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
16: u = |
8 sin |
|
|
|
|
x |
+ y |
|
||||||||||||||||||||||
|
> |
|
|
p0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
x |
+ y |
|
= 0 |
||||||||||||||||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(1; ¡1)
A(1; 1)
A(1; ¡1)
A(1; ¡1)
A(1; 0)
A(1; 0)
A(2; 0)
A(1; 1)
7
Лабораторная работа № 2 Дифференцирование функции многих переменных
Задание 1. Исследовать, имеет ли функция u=u(x,y) частные
производные в точке O(0,0) и дифференцируема ли она в этой точке:
1: u = p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7: u = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 + y4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2: u = p4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8: u = p3 xy |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3: u = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9: u = p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x4 + y4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 + y4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4: |
u = p3 x sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
10: u = px3 + y3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5: |
u = p3 y tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
11: u = arcsin (xy3 |
+ px3 |
+ y3) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6: |
u = 2y + x cos p3 xy |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
12: u = y + cos px2 + y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
13: u = |
> |
|
|
|
|
|
; если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
8 e¡x2 + y2 |
x2 |
+ y2 = 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: x |
|
|
|
|
x |
+ y = 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
4 |
|
4 |
|
если |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
14: u = |
8 |
x2 |
+ y2 |
; |
если |
x2 |
+ y2 6= 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
0; |
|
|
если |
x |
+ y = 0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
x3 |
+ y3 |
|
; |
|||
15: u = |
|
x |
|
0; |
|
y |
|
||
8 |
|
j |
+ |
j |
j |
||||
|
> j |
|
xy |
|
|
||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
0; |
|
|
|
|
16: u = |
8 |
j x j + j y j |
; |
||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
если j x j + j y j6= 0
если j x j + j y j= 0
если j x j + j y j6= 0
если j x j + j y j= 0
8
|
Задание 2. Используя определение дифференциала, вычислить |
||||||||||||||||||||||||||||||||
приближенно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ln(p |
|
p4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1: |
0:97 |
1:02 |
+ 1) |
|
|
|
|
|
2: |
|
|
:05)2 + (2:93)2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(4 |
1:97 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3: (1:94)2e0:12 |
|
|
|
|
|
|
4: |
arctg µ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ 1¶ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1:02 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6: (0:95)2:03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5: |
6:032 + 8:042 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8: (p |
1:03)(p3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7: sin (1:49) arctg (0:07) |
|
|
|
|
|
|
0:98) |
|
|||||||||||||||||||||||||
9: (1:003)2:07 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10: |
arcsin µ |
3:03 |
¶ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4:98 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3:17)cos 0:14 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
11: |
1:023 + 1:973 |
|
|
|
|
|
|
12: |
¡ |
¶ |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||
13: |
sin (1:51) arctg (0:05) |
|
|
|
|
|
|
14: |
arctg |
1:97 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||
22:95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:02 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
15: |
(2:68)sin 0:05 |
|
|
|
|
|
|
16: |
|
|
1:03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q3 0:98 |
4 |
(1:05)3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задание 3. Вычислить частные производные: |
|
|
|
@nu |
|
|
; |
|
|
m+k = n: |
|||||||||||||||||||||||
@xm@yk |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1: |
u(x; y) = ln(1 + 2x + 3y); |
m = 2 |
|
|
|
|
|
k = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2: |
|
|
|
x2+y2 |
cos xy; |
m = 2 |
|
|
|
|
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
u(x; y) = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3: u(x; y) = xy + yx; |
m = 2 k = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4: |
u(x; y) = sin |
µy ¶ + xpy; |
m = 3 |
|
|
|
|
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
5: u(x; y) = xy ln (xy); |
m = 2 |
|
|
|
|
|
k = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
6: |
u(x; y) = e2x sin p3 |
|
|
|
m = 2 |
|
|
|
|
|
k = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
7: |
u(x; y) = ey sin x¡x2y3; |
m = 2 |
|
|
|
|
|
k = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
8: |
u(x; y) = x2 arctg |
y + 1 |
; |
m = 3 |
|
|
|
|
|
k = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9: u(x; y) = arcsin |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 2 |
k = 1 |
|||||||
x2 |
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
+ y2 ; |
||||||||||||||||||
10: u(x; y) = tg (x + y)e |
x |
; |
|
|
|
m = 2 |
k = 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
11: u(x; y) = ( xy )x+y; |
|
|
; |
|
|
|
m = 5 |
k = 1 |
|||||||||||||
12: u(x; y) = µ |
|
y |
|
|
¶ |
p |
|
|
|
|
|
|
m = 2 k = 2 |
||||||||
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13: u(x; y) = ³x |
´ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 2 k = 3 |
||||||
|
|
y |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
|
|
|
|||||||||||
14: u(x; y) = arcsin |
|
|
|
|
x2 |
¡ y2 |
|
; |
m = 2 |
k = 3 |
|||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15: u(x; y) = |
|
arctgp |
|
;2 |
|
|
|
|
m = 3 k = 2 |
||||||||||||
1 + p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x3y |
); |
|
|
|
|||||||||||||||||
16: u(x; y) = cos (x + 2y |
|
|
|
m = 4 |
k = 4 |
Задание 4. Найти частные производные первых двух порядков
сложной функции u, если ' дважды дифференцируемая функция:
1: u = '(x2 + y2; x2 ¡ y2) |
2: u = '(x2 + y2; xy) |
||
3: |
u = '(x2 ¡ y2; y2 ¡ z2; z2 ¡ x2) |
4: |
u = '(xy; x ¡ y; x + y) |
5: u = '(x + z2; y + x2; z + y2) |
6: |
u = '(xy; yz) |
|
7: |
u = '(sin xz; sin yz; sin xy) |
8: |
u = '(x2; y2; z2) |
9: u = '(x2 + y2; y2 + z2; x2 + z2) |
10: u = '(xez; yez; zex¡y) |
|||||||||
11: u = '(x ¡ y2; y ¡ x2; xy) |
12: u = '(x + y; x2 + y2) |
|||||||||
x2 |
y |
|
x |
|
|
y |
|
|||
13: u = ' µ |
|
; |
|
¶ |
14: u = ' µ |
|
; |
|
|
; xy¶ |
y |
x2 |
y |
x |
|||||||
15: u = '(sin x + sin y; cos x ¡ cos y; tg y) |
16: u = ' µ |
x |
; |
|
y |
¶ |
||||
|
|
|
||||||||
y |
x |
10