Полиномы Цернике в проектировании оптических систем. Ч. 1 (96
.pdfМосковский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
С.Н. Бездидько, Т.С. Ровенская
ПОЛИНОМЫ ЦЕРНИКЕ В ПРОЕКТИРОВАНИИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Часть 1
Рекомендовано УМО по образованию в области приборостроения и оптотехники в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 200200 «Оптотехника» и специальности 200203 «Оптико-электронные приборы и системы»
М о с к в а Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 6
УДК 535.317.2(075.8) ББК 22.34
Б39
Рецензенты: В.М. Кахновский, А.Ф. Ширанков
Бездидько С.Н., Ровенская Т.С.
Б39 Полиномы Цернике в проектировании оптических систем: Учеб. пособие. – Ч. 1. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 44 с.: ил.
ISBN 5-7038-2928-3
Описана волновая аберрация оптической системы аппроксимациями по степенному и ортогональному (в виде полиномов Цернике) базисам. Рассмотрены свойства этих аппроксимаций, а также примеры применения разложения волновой аберрации по ортогональным полиномам Цернике для обоснования выбора прототипа из базы оптических систем и для автоматизированной дискретизации областей зрачка и предмета в процессе оптимизации оптической системы.
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальности «Оптико-электронные приборы и системы».
Ил. 4. Табл. 10. Библиогр. 31 наим.
УДК 535.317.2(075.8) ББК 22.34
ISBN 5-7038-2928-3 |
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 |
ВВЕДЕНИЕ
Нарушение гомоцентричности прошедшего оптическую систему гомоцентричного пучка лучей или сферичности волнового фронта называется аберрацией.
В зависимости от решаемой оптической задачи используется тот или иной вид описания аберрации. В применении к центрированным осесимметричным системам плодотворным оказалось разложение волновой аберрации по системе круговых полиномов Цернике [1, 2], ортогональных внутри единичного круга [3 – 5]. Позднее появились работы, расширяющие область применения такого разложения на зеркальные и зеркально-линзовые системы [6 – 8], а также на случай полихроматического изображения. В работе [9] описано разложение волновой аберрации оптической системы по ортогональным полиномам при наличии децентрировки на оптической оси.
Данный вид представления волновой аберрации используется при решении многих задач: при вычислении дифракционного интеграла и изучении дифракционной картины в изображении точки при наличии определенных типов аберраций [5]; при установлении зависимостей между различными критериями качества изображения и разложением волновой аберрации или связанными с нею функциями [5, 11 – 16]; при расчете допустимых значений аберраций для широкого класса оптических приборов [5, 10, 13]; при расчете допусков формы оптических поверхностей, центрировки линз и оптических компонентов, определении требований к характеристикам оптического материала [10]; при разработке методов оптимизации оптических систем [17, 18].
Разложение волновой аберрации по полиномам Цернике находит применение при разработке методов и приборов для контроля оптических систем и прозрачных сред, использующих различные параметры волновых фронтов [19]; в офтальмологии при разработке методов и приборов для диагностики и лечебного воздействия на глаз.
3
В данной работе рассматриваются свойства разложения волновой аберрации по полиномам Цернике, полезные для решения актуальных задач автоматизированного расчета оптических систем:
–для автоматизированного определения оптимальной дискретизации областей зрачка и предмета на этапах оптимизации оптической системы;
–для автоматизированного выбора базовой схемы (прототипа) проектируемой оптической системы из базы данных конструктивных параметров оптических систем и аберрационного анализа базовой схемы.
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Лучевая аберрация отдельного луча гомоцентричного в пространстве предметов пучка характеризуется вектором обобщенных
|
|
′ = |
|
∆x′ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
поперечных аберраций ∆X |
|
∆y′ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
∆y |
′ |
– линейные координаты точ- |
||
Для близкого изображения ∆x , |
|
ки А′ пересечения луча Р′A′ с поверхностью изображения, определенные в прямоугольной системе зональных координат (x′, y′, z′) с началом в точке идеального изображения А0′; P(px, py), P′(p′x, p′y) – точки пересечения луча, выходящего из точки А предмета, с плоскостями
входного и выходного зрачков оптической системы; отрезок Α0′ Α′ есть лучевая поперечная аберрация (рис. 1). Проекции ∆y′, ∆x′ вектора Α0′ Α′ на оси y′ и x′ соответственно называются меридиональной и сагиттальной составляющими поперечной аберрации. Для удаленного изображения ∆X ′ = q0′ − q′ понимается как угловые отклонения
реального луча q′ от идеального q0′, соединяющего точку P′ луча на выходномзрачкесточкойидеальногоизображения.
Волновая аберрация V описывает отклонение выходящего волнового фронта от сферы сравнения вдоль данного луча. Если через
центр O′p′ выходного зрачка оптической системы (см. рис. 1) построить сферическую поверхность с центром в точке А0′, то будет
получена |
|
опорная сфера или сфера сравнения, с |
радиусом |
R = Α′O′ |
′. |
Обозначим через P′ точку пересечения с этой сферой |
|
0 p |
|
|
|
выходящего из оптической системы луча Р′A′. Из точки |
Α0′ опус- |
тим перпендикуляр А0′ А′′ на луч Р′A′, где А′′ – основание перпен-
4
дикуляра. Монохроматическая волновая аберрация V для луча AA′ понимается как разность оптических длин хода лучей
V = ‹ AA′ › – ‹ AA′′ ›; V = n′λ∆l ,
где ∆l = A′′A′; n′ – показатель преломления среды пространства изображений; λ – длина волны.
Рис. 1. Определениелучевойиволновойаберрацийоптическойсистемы
Путем расчета волновой аберрации для множества лучей, исходящих из точки A и проходящих через входной зрачок оптической системы, определяется волновая поверхность, или волновой фронт.
Лучевая и волновая аберрации являются функциями зрачковых координат луча:
∆x ′ = ∆x ′( p); V =V ( p)
или
∆x ′ = ∆x ′( p′); V =V ( p′),
|
px |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где p = |
, |
p |
′ |
= |
px |
– векторы зрачковых координат, которые |
||
py |
p′y |
|||||||
|
определяются как координаты точек Р и Р′ пересечения луча с
5
входной или выходной сферами сравнения, или опорными сферами Гаусса, концентричными точке предмета А и точке A0′ ее идеального изображения. Координаты p, p′ задаются как линейные или угловые в зависимости от типа предмета и изображения [20].
Между лучевой ∆X ′ и волновой V аберрациями луча существует связь: поперечные аберрации с точностью до постоянных множителей являются частными производными волновой аберрации по координатам луча на зрачке. Это отражается уравнениями
|
∂V |
|
|
∆x′ = −λ |
|
, |
|
′ |
|||
|
∂px |
|
|
|
∂V |
|
|
|
|
|
|
∆y′ = −λ |
|
|
|
∂p′y |
|
|
|
|
|
|
или
∆X ′ = −λ V ( p′),
где λ – длина волны; величина V задается в длинах волн.
Анализ работы оптической системы принято проводить не в реальных зрачковых координатах p, p′ и координатах на предме-
|
|
= |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′ |
|
, а в канонических координа- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
те X |
|
y |
|
или изображении X ′ = |
y′ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тах. Зрачковые канонические, |
или |
|
относительные, координаты |
|||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
′ |
: |
|
ρ, ρ получаются нормированием зрачковых координат p, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρx |
= |
px |
|
Ax |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ρ = |
|
|
|
|
|
|
|
A |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
y |
|
|
p |
y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
ρ′x |
|
|
px′ |
|
Ax′ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
= |
|
′ |
= |
|
|
′ |
|
′ . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρy |
|
py |
|
Ay |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь через А и А′ обозначены обобщенные передние и зад-
ние апертуры, которые в обобщенных зрачковых координатах для виньетированных зрачков представляют собой полуоси эллипти-
|
|
|
Аx |
|
|
|
|
′ |
|
|
Аx′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ческих зрачков: А = |
|
|
, |
|
|
= |
|
|
′ |
|
. Области зрачков в виде эллип- |
|||
Аy |
|
А |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аy |
|
|
||
сов с полуосями Аx, Аy и A′ |
, |
A′ |
в канонических координатах име- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
ют вид круга единичного радиуса: ρ = ρ′ =1.
Канонические, или приведенные, координаты на предмете η и изображении η′ в [20] определены выражениями
|
|
ηx |
|
|
1 |
|
|
xAx |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
η= |
|
|
|
= − |
|
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
yA |
|||||||||
|
|
η |
y |
|
|
λ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ηx |
|
1 |
|
x Ax |
|
|||||||
′ |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
η = |
|
|
′ |
|
|
λ |
|
′ |
′ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ηy |
|
|
|
|
|
|
y Ay |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для описания воздействия оптической системы на проходящий через нее пучок лучей или волновой фронт используется зрачковая функция
1
f (ρ) = τ2 (ρ) exp[−2πiV (ρ)] в пределах единичного круга,
0 вне круга,
где τ(ρ) − функция пропускания энергии, 0 < τ < 1.
Зрачковая функция используется при определении функции рассеяния точки (ФРТ), оптической передаточной функции (ОПФ) и связанных с этими функциями критериев качества оптического изображения. Понятия ФРТ, ОПФ и критерии качества изображения позволяют решать как прямые задачи оценки качества изображения в известной оптической системе (и оценивать допуски на параметры оптической системы), так и обратные задачи, на-
7
пример определять допустимые значения аберраций в оптических системах, исходя из определенного критерия качества для оптических систем различного функционального назначения [10].
2. ОПИСАНИЕ ВОЛНОВОЙ АБЕРРАЦИИ
Для решения задач, связанных с проектированием оптических систем, необходимо численное описание функции волновой аберрации. Чаще всего монохроматическую функцию V (ρ) описывают
в виде разложения от канонических зрачковых координат
V (ρ) = ∑Ck Pk (ρ), |
(2) |
k |
|
где Pk (ρ) – функция базиса; ρ − вектор канонических координат
на зрачке; Сk – коэффициенты аппроксимации.
Для разложения (2) чаще всего применяют полярные коорди-
наты ρ = ρ = ρ2x +ρ2y ; cosϕ = ρρy , а в качестве базиса используют степенные функции или ортогональные полиномы Цернике.
2.1. Зональное монохроматическое описание волновой аберрации
Разложение волновой аберрации по степенному базису состоит
из функций ρix , ρyj , |
причем |
|
|
V (ρ) = ∑wnmρn cosm ϕ = w00 + w20ρ2 + w11ρcosϕ+ w40ρ4 + |
|||
nm |
|
|
(3) |
|
|
|
|
+w ρ3 cosϕ+ w ρ2 cos2 |
ϕ+ w ρ6 |
+..., |
|
31 |
22 |
60 |
|
где n ≥ m; n + m = 2k – четное; n, m – числа натурального ряда. Значения коэффициентов wnm равны значению волновой абер-
рации данного типа на краю зрачка: ρ = 1, φ = 0.
Классификация отдельных зональных аберраций Wnmρn cosm ϕ, составляющих волновую аберрацию V (ρ) , дана в табл. 1.
8
|
|
|
Таблица 1 |
|
Классификация составляющих волновой аберрации |
||||
|
при разложении по степенному базису |
|
||
|
|
|
|
|
Порядок |
Отдельная |
Коэффициент |
Функция |
|
аберрации |
аберрация |
Wnm |
V(ρ, φ) |
|
|
|
|
|
|
I |
Дефокусировка |
W20 |
W20ρ2 |
|
Поперечное смещение |
W 11 |
W11ρcosφ |
||
|
||||
|
Сферическая аберрация |
W40 |
W40ρ4 |
|
III |
Кома |
W31 |
W31ρ3cosφ |
|
|
Астигматизм |
W22 |
W22ρ2cos2φ |
|
|
Сферическая аберрация |
W60 |
W60ρ6 |
|
V |
Кома |
W51 |
W51ρ5cosφ |
|
|
Астигматизм |
W42 |
W42ρ4cos2φ |
При разложении волновой аберрации по ортогональному базису в виде круговых полиномов Цернике используют условие орто-
гональности.
Оно означает, что интеграл по зрачку от произведения двух различных функций базиса
|
|
0 |
|
при k ≠ l, |
|
|
|
|
|
|
(4) |
∫∫ Pk (ρ)Pl (ρ)dρ = δkl wk = |
|
|
|||
S |
0 |
w |
|
при k = l, |
|
|
|
k |
|
где δkl – символ Кронекера, т. е. дискретная дельта-функция,
0 при k ≠ l |
|
|
|
|
|
|
равная |
, а число wk называется нормой k-й функции |
|||||
1 при k = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базиса. |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
n −m |
|
||
Радиальные функции Rm (ρ) = t 2 Qm (t), где t =ρ2 |
; k = |
; |
||||
|
||||||
|
n |
k |
2 |
|
||
|
|
|
|
Qkm (t) – полином от t степени k, являются полиномами по основа-
нию ρ, содержащими степени ρn, ρn–2, …, ρm, и связаны с полиномами Якоби (вырожденными гипергеометрическими функциями). Радиальные полиномы определяются формулами
9
n−m |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(n − s)! |
|
||
Rnm (ρ) = ∑ |
(−1)s |
|
|
|
ρn−2s , |
|
n + m |
n − m |
|||||
s=0 |
|
|
||||
s!( 2 |
− s)!( 2 − s)! |
|
||||
|
|
Rnm (1) =1.
Для вычисления значений радиальных полиномов Цернике может использоваться их связь с гипергеометрической функцией
F(a, b, c, z):
Rm |
|
(ρ) = BF(m + k +1, − k, m +1; ρ2 ), |
||||||||||||||||
m+2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m + n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n−m (m +1)(m + 2) ... |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
B = (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ρ |
m |
; |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n −m |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F(a, b, |
c; z) =1+ |
ab |
z |
+ |
a(a +1)b(b +1) |
z |
2 |
+... |
||||||||||
1!c |
2!c(c +1) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя схему Горнера, окончательное выражение для вычисления значений радиальных полиномов получают в виде [21]
m |
|
|
|
(m |
+ k +1)(−k) |
|
2 |
|
|
(m + k + 2)(−k +1) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Rm+2k (ρ) = B 1 |
+ |
|
|
|
ρ |
|
1 |
+ |
|
ρ |
|
× |
||
|
m +1 |
|
|
2(m + 2) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m + 2k)(−1) |
ρ2 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
× ... 1 |
+ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
[ |
|
k(m + k) |
] ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изортогональностиполиномов Rnm (ρ) и Qkm (t) следуютвыражения
1 |
1 |
|
|
∫ Rnm (ρ)Rnm′ (ρ)ρdρ = |
δnn′ |
||
2(n +1) |
|||
0 |
|
||
|
|
10