Системы массового обслуживания (90
..pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра механики пластического деформирования
Системы массового обслуживания
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к семинарским занятиям по дисциплине «Сервисная деятельность»
Составитель Н.В. Тарасова
Утверждаю к печати |
Проректор по учебной работе ЛГТУ |
Объём 1,5 п.л. |
Ю.П. Качановский |
Тираж 50 экз. |
“___” ____________ 2012г. |
|
Липецк Липецкий государственный технический университет
2012
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра механики пластического деформирования
Системы массового обслуживания
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к семинарским занятиям по дисциплине
«Сервисная деятельность»
Составитель Н.В. Тарасова
Липецк Липецкий государственный технический университет
2012
УДК У291.33я7 Т 191
Рецензент – А.И. Володин
Тарасова, Н.В.
Т 191 Системы массового обслуживания / сост.: Н.В. Тарасова. –
Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2012. – 24 с.
Методические указания предназначены для студентов направления подготовки «Сервис». Содержат краткие теоретические сведения о принципах функционирования одноканальных и многоканальных систем массового обслуживания с различной дисциплиной очереди, примеры определения показателей эффективности работы систем массового обслуживания и практические расчетные задания.
Библиогр.: 2 назв.
© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2012
Методические рекомендации
В систему массового обслуживания (СМО), которой могут быть линии связи, приемные пункты, подъездные пути или ремонтные бригады, в
случайные моменты времени поступают заявки, образующие входной поток.
Если есть свободные каналы обслуживания, то требование выполняется. Если все каналы обслуживания заняты, то требование становится в очередь по определенным правилам или без обслуживания покидает систему.
Выполненные требования образуют выходной поток.
СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц – каналов обслуживания. Различают одноканальные СМО и многоканальные СМО.
Дисциплина очереди задает порядок прохождения заявки через очередь.
Заявки из очереди могут выполняться в порядке поступления, с приоритетом, в
случайном порядке. Очередь может быть конечной или бесконечной. Очереди могут ограничиваться по длине или по времени ожидания обслуживания. В
СМО с отказом очередь не предусмотрена, то есть заявка, пришедшая в момент, когда заняты все обслуживающие каналы, получает отказ.
Время обслуживания требований в системе является случайной величиной и обычно описывается экспоненциальным законом распределения с интенсивностью μ (среднее число требований, выполняемых в единицу времени). Среднее время обслуживания одним каналом одного требования
tобсл = 1/μ.
Коэффициент загрузки СМО – среднее число каналов, необходимых для обслуживания в единицу времени всех поступающих требований – ρ = λ/μ.
Процесс работы СМО – это случайный процесс, при рассмотрении которого принято считать, что все возможные состояния S0, S1, ..., Sп системы известны заранее, а переход из одного возможного состояния в другое
происходит скачкообразно в результате какого-то случайного события
(появление новой заявки, начало или окончание обслуживания, уход заявки из очереди).
Для СМО с простейшим входным потоком и экспоненциальным временем обслуживания характерно отсутствие последействия, когда будущее развитие процесса зависит только от текущего состояния.
1. Одноканальная СМО с отказами
СМО содержит один обслуживающий канал. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Образование очереди не допускается. Если заявка застала обслуживающий канал занятым, то она покидает систему.
Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ.
Среднее время обслуживания одной заявки tобсл = 1/μ. Возможные состояния СМО: S0 (канал свободен) и S1, (канал занят).
Для одноканальной СМО с отказами используют следующие показатели эффективности работы:
–абсолютная пропускная способность А1;
–относительная пропускная способность Q2;
–вероятность отказа ротк3.
|
|
λ |
|
1 |
|
|
|
А – среднее число заявок, которое СМОS0 может обслужитьS1 |
в единицу времени |
||
2 |
|
μ |
|
Q – отношение среднего числа обслуживаемых в единицу времени заявок к среднему числу |
поступивших за это время заявок
– вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной
Размеченный граф состояний имеет следующий вид:
2. Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга)
СМО содержит п обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Образование очереди не допускается. Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она покидает систему. Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование. Все каналы функционируют независимо.
Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ.
Среднее время обслуживания одной заявки tобсл = 1/μ.
Возможные состояния СМО: So (все каналы свободны), S1 (один канал занят, остальные свободны), S2 (два канала заняты, остальные свободны), ... , Sn
(все каналы заняты).
Приведенная интенсивность потока заявок (интенсивность нагрузки канала) ρ = λ/μ.
Для многоканальной СМО с отказами используют следующие показатели эффективности работы:
–абсолютная пропускная способность А1;
–относительная пропускная способность Q2;
–вероятность отказа ротк3;
–вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны р0;
–вероятность того, что в системе k требований рk;
–среднее число свободных от обслуживания каналов No;
–коэффициент простоя каналов Кпр;
–среднее число занятых обслуживанием каналов Nзан;
–коэффициент загрузки каналов Кзан.
Размеченный граф состояний имеет следующий вид:
λ |
λ |
λ |
… |
λ |
|
λ |
… |
λ |
λ |
S0 |
S1 |
S2 |
|
Sk |
|
Sn-1 |
Sn |
||
… |
|
|
… |
||||||
μ |
2μ |
3μ |
|
kμ |
|
(k+1)μ |
|
(n-1)μ |
nμ |
3. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
СМО содержит один обслуживающий канал. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если заявка застала обслуживающий канал занятым, то она встает в очередь и ожидает начала обслуживания.
Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ.
Среднее время обслуживания одной заявки tобсл = 1/μ.
Возможные состояния СМО: S0 (канал свободен), S1 (канал занят, очереди нет), S2 (канал занят, в очереди одна заявка), S3 (канал занят, в очереди две
λ |
λ |
λ |
… |
λ |
|
λ |
… |
S0 |
S1 |
S2 |
|
Sk |
|
||
… |
|
|
… |
||||
μ |
μ |
μ |
|
μ |
|
μ |
|
заявки) и т.д. Размеченный граф состояний имеет следующий вид:
При ρ = λ/μ < 1 существуют предельные вероятности: р0, р1 р0 р0 ,
р2 р1 р0 2 р0 , р3 р2 2 р0 3 р0 и т.д. рk kр0 , k = 0, 1, 2, …
Вероятность того, что канал свободен, равна р0 = 1 – ρ. Вероятность состояния Sk (канал занят, в очереди k – 1 заявка) – рk kр0 k(1 ) , k = 1, 2, …
Вероятность того, что канал занят, равна рзан = 1 – р0 = 1 – (1 – ρ) = ρ.
Среднее число заявок в системе Lсист 1 .
Тогда среднее время пребывания заявки в системе Тсист = Lсист/λ.
Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, Lобсл = ρ.
Тогда среднее число заявок в очереди Lоч Lсист Lобсл |
|
|
|
2 |
. |
|
|
1 |
|||
1 |
|
|
Отсюда среднее время пребывания заявки в очереди Точ = Lоч/λ.
4. Многоканальная СМО с неограниченной очередью
СМО содержит п обслуживающих каналов. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если в момент поступления требования имеется свободный канал, то он немедленно приступает к обслуживанию поступившего требования. Каждый канал может одновременно обслуживать только одно требование. Все каналы функционируют независимо.
Если заявка застала все обслуживающие каналы занятыми, то она встает в очередь и ожидает начала обслуживания.
Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ.
Среднее время обслуживания одной заявки tобсл = 1/μ.
Возможные состояния СМО: S0 (все каналы свободны), S1 (один канал занят, остальные свободны), S2 (два канала заняты, остальные свободны), ..., Sn
(все каналы заняты), Sn+1 (все каналы заняты, в очереди одна заявка), Sn+2 (все каналы заняты, в очереди две заявки) и т.д.
Приведенная интенсивность потока заявок ρ = λ/μ. Размеченный граф
λ |
λ |
|
λ |
λ |
… |
λ |
λ |
|
λ |
λ |
… |
S0 |
S1 |
S2 |
S3 |
|
|
Sn |
Sn+1 |
Sn+2 |
|
||
|
… |
|
|
… |
|||||||
μ |
2μ |
|
3μ |
4μ |
|
nμ |
nμ |
|
nμ |
nμ |
|
состояний имеет следующий вид:
При ρ/n > 1 очередь растет до бесконечности и существуют предельные
вероятности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р , |
|
|
|
|
р |
|
р |
|
р |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
р |
|
|
|
|
2 |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
р |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
р |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рn |
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||
р |
3 |
|
|
р2 |
|
|
|
|
|
р |
0 |
|
|
|
р0 , |
|
|
|
…, |
|
|
|
|
|
рn |
|
|
р |
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
0 |
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
3 2! |
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
n n! |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
n |
р0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
3 |
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||
рn 2 |
|
|
|
|
рn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
рn 3 |
|
|
|
|
рn |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р0 |
||||||||||||||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
n |
n |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n! |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n! |
|
|
и т.д.
Вероятность того, что все каналы свободны, равна
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
n |
|
n |
|
|
|
1 |
|
р |
0 |
1 |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2! |
|
3! |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n! n |
|
Вероятность того, что заявка окажется в очереди, равна
n |
|
р |
|
|
|
n! |
1 / n . |
||||
|
|
|
|
0 |
|
n 1
Среднее число заявок в очереди Lоч (n 1)!(n )2 p0 .
Тогда среднее время пребывания заявки в очереди Точ = Lоч/λ.
Среднее число занятых каналов Nзан = λ/μ = ρ.
n 1
Среднее число заявок в системе Lсист Lоч Nзан (n 1)!(n )2 p0
Среднее время пребывания заявки в системе Тсист = Lсист/λ.
5. СМО с фиксированным временем обслуживания
Некоторые СМО имеют постоянное, а не экспоненциальное распределение времени обслуживания. В таких системах заявки обслу-
живаются в течение фиксированного периода времени tобсл. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность выходного потока
µ = 1/tобсл. Параметрами одноканальной СМО с фиксированным временем обслуживания являются:
|
2 |
|
– средняя длина очереди Lоч |
|
; |
2( ) |
–среднее время ожидания в очереди Точ = Lоч/λ;
–среднее число заявок в системе Lсист = Lоч + λ/µ;
–среднее время пребывания заявки в системе Тсист = Lсист/λ = (Lоч + λ/µ)/λ =
=Lоч/λ + (λ/µ)/λ = Точ + 1/µ = Точ + tобсл.
6. Одноканальная СМО с ограниченной очередью
СМО содержит один обслуживающий канал. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Если заявка застала обслуживающий канал занятым, то она встает в очередь и ожидает начала обслуживания. Число мест в очереди ограничено и равно т. Если заявка застала обслуживающий канал занятым и в очереди нет свободных мест, то она покидает систему необслуженной.
Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ.
Среднее время обслуживания одной заявки tобсл = 1/μ.
Возможные состояния СМО: S0 (канал свободен), S1 (канал занят, очереди нет), S1+1 (канал занят, в очереди одна заявка), S1+2 (канал занят, в очереди две
λ |
λ |
λ |
|
λ |
… |
λ |
λ |
S0 |
S1 |
S1+1 |
S1+2 |
|
S1+(т-1) |
S1+m |
|
|
… |
||||||
μ |
μ |
μ |
|
μ |
|
μ |
μ |