Математика. Функции одной переменной. Пределы. Дифференцирование (110

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

21

Пример 4. Найти производную

функции

x2

y2

1..

4

9

x

2 yy

9x

Решение. 2

9

0 .

y

4 y .

Пример 5. Найти производную

yx , если r a (спираль Архимеда).

Решение. Так как

x cos ;

y sin ,

то

1 x cos sin x

dy

dx

x sin cos x ,

откуда

d

x yy

;

d

xy y

.

dx

dx

2

Продифференцируем обе части уравнения по x

d

a

d

, получим

dx

dx

x yy

a

xy

y

,

2

тогда

( y ax)y x ay .

Выразим отсюда

yx

x

y

x ay

y

ax y ,

y

,

x

y

x y

cos sin

tg

x y cos sin

y

, y

1 tg ,

y

tg( arctg )

Контрольные примеры

Найти производные неявных функций.

1. 2x 5y 10 0 .

2. x2 y2 4xy 0

3.

xy2

x2 y 2 .

4.

x sin y 0 .

5.

x2

y2

1.

6. x3 y3 a3

a2

b2

7. x3 x2 y y2 0

8. e y x y .

9. x y a .

11.y3 x y .

xy

13.ln y 2x 0 .

15. tgy xy .

17. xy arctg xy .

	2		2		2
10. x 3		y	3	a	3	.

12. y 0,3sin y x .

14. y2 x4 x2 . 16. a cos2 (x y) b

18. arctg(x y) x .

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

22

y

1

ln( x2

y2 ) .

y

.

19.

arctg

20.

x2 y2

c arctg

x

2

x

ln x e

y

x

c .

ln y

c

21.

x

22.

y

23.Найти

24.Найти

25.Найти

26.Найти

27.Найти

28*. Найти

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

вточке М(1,1), если 2 y 1 xy3 .

вточке А(1,1), если xy xy 2 .

при x 2 и	y 1, если	(x y)3 27(x y) .
при x 0 и	y 1, если	ye y ex 1 .
при x 1 и	y 1, если	y2 x ln	y	.
			x

при y 0 , если xcos y sin y sin 2y 1.

2.4.Производные высших порядков

Производные высших порядков от			функции		y f (x) определяются
последовательно соотношениями f	n	(x) ( f	(n 1)		n 2,3,...
				(x)) ,

Механический смысл второй производной. Если y f (x)

закон прямолинейного движения точки, то y f (x) - ускорение этого движения.

Пример 1. Найти производную второго порядка функции y cos2 x .

Решение. Дифференцируя, получим первую производную y 2cosx( sin x) sin 2x . Дифференцируя еще раз, получим искомую

производную второго порядка y ( sin 2x) 2cosx .

Формула Лейбница для производной n -го порядка для произведения двух функций

(u v)

(n)

u

(n)

v nu

(n 1)

n(n 1)

u

(n 2)

v

(n 1)

uv

(n)

.

v

2!

... nu v

Пример 2. Найти производную третьего порядка функции

y 5x2 4x 28 .

Решение. y 10x 4,

y 10,

y 0.

Пример 3.

Найти производную четвертого порядка функции y sin x .

Решение. y cosx,

y sin x,

y cosx,

y(4) sin x.

Пример 4.

Найти производную четвертого порядка функции y a x .

Решение. y a x ln a,

y a x (ln a)2 ,

y a x (ln a)3 ,

y(4)

a x (ln a)4 .

Замечание. (a x )(n) a x (ln a)n .

Пример 5.

Найти производную десятого порядка для функции порядка

функции y ex (x3 2) .

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

23

Решение. Применяя формулу Лейбница, получим

y(10)
(e	x		(10)		3	2) 10(e	x		(9)		3	2)			10 9		x		(8)		3	2)			10 9 8		x		(7)		3
																									1 2 3
		)		(x				)		(x					2	(e		)		(x						(e		)		(x		2) .

Все последующие слагаемые равны нулю, так как все высшие производные

от функции (x3 2) ,

начиная с

четвертой, обращаются

в нуль. Так как

производные любого порядка от ex есть ex , то

y(10)

ex (x3

2) 30 ex x2 45 ex 6x 120 ex 6;

y(10)

ex (x3

30x2

270x 718).

(4)

(0), если f (x) cos2x .

Пример 6. Найти f (0), f (0), f

(0), f (0), f

Решение. Находим производные первого, второго, третьего и

четвертого порядков:

f

4cos2x,

(x) 2sin 2x,

f (x)

f (x) 8sin 2x,

f (4) (x) 16cos2x.

Придавая x значение, равное нулю, находим

( 4)

(0) 16

f (0) 1, f (0)

0, f (0) 4,

f (0) 0, f

Контрольные примеры

Найти производные 2-го порядка от следующих функций :

1. y x8 7x6 5x 4 .

2. y (x2 1)2 .

3.

y ln x .

4.

y tgx .

5.

y ctgx .

6.

y a x

7.

y ex2 .

8. f (x) (1 x2 )arctgx .

9. y ln x

y sin 2 x

a2 x2

10.

11. y (arcsin x) 2 x

12.

y ln 3 1 x2 .

13. y a ch

x

.

a

Найти производные 3-го порядка от следующих функций :

14. r a( sin ) .

15. r a(1 cos )

16. s asin 4t

17. s a cos3t

18*.

Показать,

что

функция

y

x2

2x 2

удовлетворяет

2

дифференциальному уравнению

1 y 2 2 yy .

*

y

1

x

2

e

x

19 .

Показать,

что

функция

удовлетворяет

2

дифференциальному уравнению y 2 y y ex .

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

24

20*. Показать, что функция y C e x C					ex	при любых постоянных С1
		1		2
и С2 удовлетворяет уравнению y 3y 2y 0 .
21*. Показать, что функция			y e2x sin 5x				удовлетворяет
дифференциальному уравнению y 4y 29 y 0.
22. Найти	y , если	y x3 5x2	7x 4
23. Найти		f (x) (2x	3)	5
	f (3) , если

24.Найти y(5) от функции y ln(1 x)

25.Найти y( 6 ) от функции y sin 2x

		f					, если	f (x) e				x	sin x
26. Найти f (0), f (0),			(0),		f (0)
Применяя формулу Лейбница,					найти производную n -го порядка от
функций:
27.	y sin x ;	28.	y cos2x ;				29.	y e 3x ;
30.	y ln(1 x) ;	31.	y		1		32.	y	1	x
					x					x
			1					1
33.	y sin 2 x	34.	y xe x				35.	y x2e 2 x
36.	y (1 x2 )cosx	37.	y x3 ln x .

2.5.Производные функции, заданной параметрически

Система уравнений	x (t)	( t ) ,
	y (t)

где (t) , (t) - дифференцируемые функции и (t) 0 , определяет y как однозначную дифференцируемую функцию от x

y ( 1 (x)), причем производная этой функции может быть найдена по

yt

.

формуле yx

xt

Пример 1. Найти

, если x Rcost; y

Rsin t

yx

Решение.

x

R cost

cost

R

yx

R sin t

t

1 cos2 t

x2

t arccos

t

R

t arccos

1

R	R2

Если воспользоваться явным выражением y R2 x2 , то получим тот же результат

(0 t ) .

				x		, (x R) .
			R2	x2

для функции y от x :

		2x					x
									(x R).
yx	2 R2		x2				R2 x2
Пусть существуют вторые производные функций (t)										и (t) в

некоторой точке t . Тогда можно вычислить вторую производную функции,

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

25

заданной

параметрически.

Заметим,

что

функция

yt

, задана

yx

xt

параметрически уравнением

yt

и x x(t) ,

yx

xt

следовательно,

y

ytt

xt

yt

xtt

t

y (x) yxx ( y (x))x

3

.

(x ) t

xt x

Пример 2. Найти

(0 t ) .

y (x) , если x cost; y sin t

Решение.

sin t;

y (t) cost;

y (t)

x (t) sin t; x

(t) cost.

sin 2 t cos2 t

sin t( sin t) ( cost) cost

y (x)

( sin t)3

( sin t)3

t arccosx

t arccosx

1

1

.

t arccosx

sin 2 t

(1 x2 ) 32

Контрольные примеры

Найти производную

для функций, заданных параметрически:

yx

1.	x 2t 1,
	y t 3 .
		3at
	x			,
4.		1 t 3
		3at 2
	y				.
		1 t	3

7.x a cos2 t,

y bsin 2 t.

10.x e t ,y e2t .

				1										x		2at
	x							,														,
			t	1
																2
2.													3.			1 t
						t					2														2 )
	y													y		a(1 t
										.																					.
																								2
			t 1														1 t
														x
																	t 2 1,
				t ,
	x																	t 1
5.													6.		y
			3		t .																										.
	y																	t		2			1
																					3
																cos								t
														x														,
								3
										t,								cos2t
	x a cos
8.								3					9.								3
										t.						sin								t
	y bsin
														y															.
																		cos2t
												t
		x a(ln tg											cost sin t),
11.												2
												cost).
		y a(sin t

				x a(t sin t),
12. Вычислить			, если
	yx при t
		2		y a(1	cost).

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

26

x t ln t,

13. Вычислить

ln t

yx при t 1, если

y

.

t

t

x e

cost,

14. Вычислить

, если

yx при t

4

t

y e

sin t.

15*. Доказать, что функция y , заданная параметрически уравнениями

x 2t 3t 2 ,

t

2 2t 3 ,

y

удовлетворяет уравнению

2

3

y yx

yx .

Найти

от следующих функций:

yxx

x ln t,

x arctgt,

x arcsint,

16.

3

17.

2

18.

2

y

1 t

.

y t .

y ln(1 t

).

x a cost,

x a(t sin t),

3

t,

19.

20.

21.

x a cos

y a sin t.

y a(1 cost).

3

y a sin

t.

x cos2t,

x arctgt ,

x ln t,

22.

23.

1

24.

1

y sin 2 t.

y

t 2 .

y

.

1 t

2

x e

at

,

t

cost,

x a(sin t t cost),

25.

26.

x e

27.

y e

at

y a(cost t sin t).

.

t

sin t.

y e

2

x ln(1 t

),

28. Найти yxx при t 0, если

2

y t

.

2.6.Дифференциал функции

Дифференциалом функции y f (x) называется главная часть ее

приращения, линейная относительно приращения x независимой переменной x

dy f		(1)
	(x) x .
В частности, при y x получим		dx 1 x; dx x , т.е.

дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, и формулу (1) можно переписать

		(2)
dy f (x)dx
При малых x справедлива приближенная формула
f (x x) f (x) f		(3)
	(x) x

или

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

	27
f (x x) f		(4)
	(x) x f (x)

Найти дифференциалы функций Пример 1. y cosx .

Решение. По формуле (2) находим

dy d(cosx) (cosx) dx sin xdx dy sin xdx

Пример 2. r a( cos )

Решение. dr r d a( cos ) d a(1 sin )d

Пример 3. Вычислить значение дифференциала функции y x3 5x2 ,

когда x изменяется от 1 до 1,1.

Решение. Находим дифференциал функции dy (x3 5x2 ) dx (3x2 10x)dx .

Подставляя значение x 1, dx 1,1 1 0,1 в последнюю формулу, получим искомое значение дифференциала

dy (3 12 10 1) 0,1 13 0,1 1,3.

Пример 4. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно найти arctg1,02.

1

Решение. arctg (x x) arctgx

0,02

4 0,02

0,795.

1 12

Пример 5. Вычислить

y и dy

функции

y 3x2

x при

x 1 и

x 0,01.

Решение. y 3(x x)2

(x x) 3x2

x (6x 1) x 3( x)2 .

Подставим значения x 1 и x 0,01 в полученную формулу

y 5 0,01 3(0,01)2

0,0503

и

dy (6x 1) x 5 0,01 0,0500.

Пример 6. Найти dy , если

x2 2xy y2

a2 .

Решение. Пользуясь инвариантностью формы дифференциала,

получим:

2xdx 2( ydx xdy) 2ydy 0 . Отсюда

dy

x y

dx.

x y

Пример 7. Найти приближенно значение sin 31 .

Решение. Полагая, x arcsin30

и

x arcsin1

, из формулы

6

180

(4) имеем: sin 31 sin 30

cos30

0,500 0,017

3

0,515.

180

6

2

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

	28
Контрольные примеры
Найти дифференциалы функций:
1. y x4 4x3 6x2 4x .	2. y	x2 1	.
		x2

3. y x1m .

5. y arcsin ax .

7. y e x2 .

4.	y	x			.
		1 x
6.	y arctg					x		.
						a
8.	y ln		1	x			.
	1			x

9. y tg 2 2x .		10.	y	x3 6x2 .
11.	y esin4 x .	12.	r cos sin .
13.	s bsin 3 t .	14.	s arcctget .
15.	y x3 , x t 2 1.	16.	r ctg cosec .

17.	Дана функция y x4 4x . Найти	y	и dy , сравнить их между
собой, если: 1) x 1, x 1; 2) x 1, x 0,1.
18.	Вычислить приближенно приращение		функции y x2 2x 3,

когда x меняется от 2 до 1.98.

Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно найти:

19.	arctg1,05.	20.	e0,2 .	21.		ln1,01.					22. sin 46 .
23.	cos61 .	24.	tg44 .	25.		ln 0,9 .
26.	Найти дифференциал функции y					2			при	x 9	и x 0,01.
							x
27.	Вычислить дифференциал функции						y tg x			при	x и x			.
												180
											3

Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно:

									x
	(x y)2 (2x y)3 1.
28.						29. y e				y .
				y	.
30.	ln	x2 y2 arctg
				x
31*. Найти dy в точке (1;2), если y3 y 6x2 .
2.7. Правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей
І. Раскрытие неопределенностей вида							0	и
						0
Пусть		функции		y f (x)		и y (x)					дифференцируемы при

0 | x a | h , причем производная
	(x) 0.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

29

Если f (x) и (x) - обе бесконечно малые или обе бесконечно большие

при x a ,

т.е. если

частное

f (x)

представляет в точке

x a

(x)

неопределенность типа

0

или

,

то

0

f (x)

lim

lim

f (x)

(x)

x a

x a

при условии,

что предел отношения производных существует (правило

Лопиталя-Бернулли).

Правило это применимо и в случае, когда a .

f

Если частное

(x)

вновь дает неопределенность в точке

x a

(x)

одного из двух упомянутых типов и

f (x) и

(x) удовлетворяют всем

требованиям, ранее сформулированным для f (x) и (x), то можно перейти

к отношению вторых производных и т. д.

Замечание 1. Предел отношения функций может существовать в то время, когда отношения производных не стремятся ни к какому пределу.

ІІ. Раскрытие неопределенностей вида 0 , , 1 , 00 , 0

1. Для раскрытия неопределенностей типа

0

необходимо

преобразовать

соответствующее

произведение

f (x) (x),

где

lim f (x) 0,

lim (x) , в частности,

x a

x a

f (x)

0

(x)

﴾вид

﴿

или

﴾вид

.﴿

1

0

1

(x)

f (x)

2. В

случае

неопределенности

вида

необходимо

преобразовать

соответствующую

разность

f (x) (x) ,

где

lim f (x) ,

lim (x) ,

в произведение

(x)

и раскрыть

f (x) 1

x a

x a

f (x)

сначала неопределенность

(x)

; если

lim (x) 1

,

то следует привести

f (x)

x a f (x)

1

(x)

выражение к виду

f (x)

﴾вид

0

﴿.

1

0

f(x)

3.Неопределенности видов 1 , 00 , 0 раскрываются с помощью

предварительного логарифмирования		и нахождения	предела степени
( x)	. Эти неопределенности сводятся к случаю		неопределенности
f (x)

0 , при этом используется тождество

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

30

f (x)

e

.

( x)

( x)ln f ( x)

Замечание 2. Выражение «раскрыть неопределенность

типа 00 »

( x)

при условии

lim f (x) lim (x) 0 .

означает найти предел lim f (x)

x a

x a

x a

Пример 1. Найти предел

lim

sin x ex

5x

.

4x2

x 0

x 0

7x

Решение.

При

числитель и знаменатель дроби обращаются в

нуль, получаем неопределенность

0

.

0

Применяя правило Лопиталя-Бернулли, находим

sin x e

x

5x

(sin x e

x

5x)

cos x e

x

sin x

e

x

5

4

lim

lim

lim

.

4x2 7x

(4x2 7x)

8x 7

x 0

x 0

x 0

7

Пример 2. Найти lim

sin x e2 x

x

.

5x2

x3

x 0

Решение. В данном случае

правило ЛопиталяБернулли нужно

применить

дважды,

так

как

отношение первых

производных

снова

представляет неопределенность

0

.

0

Действительно,

sin x e

2 x

x

(sin x e

2 x

x)

cos x e

2 x

2sin x e

2 x

1

lim

lim

lim

.

(5x2 x3 )

10x 3x2

x 0

5x2 x3

x 0

x 0

При

x 0 снова получаем неопределенность

0

. Применяя еще раз

0

правило Лопиталя-Бернулли, находим

cos x e

2 x

2sin x e

2 x

1

(cosx e

2 x

2sin x e

2 x

1)

lim

lim

10x 3x2

x 0

x 0

(10x 3x2 )

lim

sin x e2 x

4cos x e2 x

4sin x e2 x 1

4

2

.

10 6x

10

5

x 0

1

1

Пример 3. Найти lim

.

x 0 x

sin x

Решение.

При

x 0

получаем

неопределенность вида

.

0

Раскроем эту неопределенность, приводя ее к неопределенности и

0

применяя правило Лопиталя-Бернулли:

1

1

lim

sin x x

lim

cos x 1

lim

sin x

0 .

lim

x 0 x

sin x

x 0

xsin x

x 0 sin x x cos x

x 0 cos x cos x xsin x

3

Пример 4. Найти lim (cos2x) x2 (неопределенность типа 1∞).

x 0