Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 1 «Комплексные числа» (90
.pdfz1 ________________________________________________________________
z2 _________________________________________________________________
Изобразите на комплексной плоскости (на рисунке 15) корни уравнения.
Рисунок 15
Ответ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а) z |
|
|
|
2 cos |
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
; |
|
z |
2 cos |
|
|
|
|
|
isin |
|
|
; |
z |
|
2 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z3 2 cos |
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
z4 |
|
2 cos |
|
|
|
|
|
isin |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5 |
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
б) z |
|
|
|
i,z |
|
|
|
3 |
|
|
i,z |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Задание 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Изобразить |
|
|
|
|
|
на |
|
|
комплексной плоскости |
С |
множество точек, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющих следующим условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
z |
|
3; б) |
|
|
z 2 3i |
|
5; в) |
|
|
z 4 i |
|
3; г) |
argz |
|
; д) |
arg(z 1 2i) |
5 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
|
3 |
|
z |
1, |
|
|
|
е) arg(z 3 4i) |
; ж) 3 Imz 4; з) 1 Rez 5; и) |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|||||
|
|
||||||
4 |
|
argz |
; |
||||
|
4 |
||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z i |
1, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 z z 4, |
|
|
|
|
|
||||||||||
к) |
|
|
|
|
л) |
z i |
|
z 2 |
; м) argz |
|
, |
|
|
||
|
|
|
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 Imz 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg(z 1 i) |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Решение.
а) z 3;
Так как r z x2 y2 , то x2 y2 3 и x2 y2 9. Мы получили уравнение окружности с радиусом R 3 с центром в начале координат (рисунок 16).
Рисунок 16
б) z 2 3i 5;
Так как z 2 3i x iy 2 3i (x 2) i(y 3) (x 2)2 (y 3)2 ,
то(x 2)2 (y 3)2 5 и (x 2)2 (y 3)2 25. Решением данного неравенства являются точки лежащие внутри окружности с радиусом R 5 с центром в
точке (-2;3) без точек окружности (рисунок 17).
22
x
Рисунок 17
в) z 4 i 3;
_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Изобразите на рисунке 18 множество точек удовлетворяющих данному условию
Рисунок 18
г) argz ;
|
|
|
6 |
|
|
argz |
- главное значение аргумента, заключенное в промежутке 0; 2 или |
||||
; , |
то есть точки z лежащие на комплексной плоскости, |
аргумент которых |
|||
равен |
|
|
лежат на луче выходящем из точки O(0; 0) под углом |
|
к действительной |
|
|
||||
6 |
|
6 |
|
оси (рисунок 19).
23
Рисунок 19
д) arg(z 1 2i) 5 , 6
arg(z 1 2i) arg(x yi 1 2i) arg((x 1) i(y 2)) 5 . Точки z лежащие на 6
комплексной плоскости, на лучах выходящих из точки( 1;2) аргументы которых
больше чем |
5 |
и меньше чем 2 .Точки лежащие на луче |
5 |
не принадлежат |
|
6 |
|||
6 |
|
|
данному множеству, а точки лежащие на луче2 принадлежат этому множеству.
Изобразите на рисунке 20 множество точек удовлетворяющих данному условию.
Рисунок 20
е) arg(z 3 4i) 3 ; 4
___________________________________________________________________
Изобразите на рисунке 21 множество точек удовлетворяющих данному условию.
24
Рисунок 21
ж) 3 Imz 4;
Так как Imz y, то 3 y 4. Точки удовлетворяющие данному неравенству будут лежать между двумя горизонтальными прямыми y 3, y 4.
Причем точки прямой y 3удовлетворяют неравенству, а точки прямой y 4 не удовлетворяют.
Рисунок 22
з) 1 Rez 5;
____________________________________________________________________
Изобразите на рисунке 23 множество точек удовлетворяющих данному условию
Рисунок 23
|
z |
1, |
|
|
|
и) |
|
|
|
|
|
|
argz |
3 |
; |
||
|
|||||
|
4 |
||||
4 |
|
25
_____________________________________________________________________
Изобразите на рисунке 24 множество точек удовлетворяющих данному условию
Рисунок 24
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z z 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
к) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 Imz 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так |
как z |
|
x iy (x iy) x2 |
y2 , а |
Imz y, то данную систему |
|||||||
z |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
4, |
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|||
неравенств можно записать в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 y 0. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенства 1 x2 y2 4 задают кольцо между окружностями, включая их |
||||||||
границы радиусов |
R 1 |
и |
R 2 с центром в начале координат. Неравенства |
|||||||
|
|
y 0 определяют горизонтальную полосу между прямыми |
y |
|
и y 0, |
|||||
3 |
3 |
|||||||||
включая прямые |
y |
|
|
и |
y 0. Искомое множество точек |
заштриховано на |
||||
3 |
||||||||||
рисунке 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 25
л) z i z 2
z i ______________________________________________________________
26
z 2 _____________________________________________________________
____________________________________________________________________
Изобразите на рисунке 26 множество точек удовлетворяющих данному условию
Рисунок 26
Ответ: y 2x 3- прямая
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
z i |
1, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
м) argz |
, |
|
|
||||
4 |
|||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
arg(z 1 |
i) |
|
. |
||||
|
|||||||
|
|
4 |
|
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Изобразите на рисунке 27 множество точек удовлетворяющих данному условию
Рисунок 27
Многочлены на множестве комплексных чисел.
Алгебраическое уравнение Pn(z) anzn an 1zn 1 ... a1z a0 0
27
положительной степени с коэффициентами ai из множества комплексных чисел С имеет хотя бы один корень, принадлежащий данному множеству С.
СЛЕДСТВИЯ
Алгебраическое уравнение n-й степени Pn(z) 0 имеет ровно n корней, в
общем случае комплексных и, возможно, кратных.
Корни многочлена Pn(z) 0 в общем случае комплексные и кратные.
Рассмотрим теперь многочлен с действительными коэффициентами:
Pn(z) anzn an 1zn 1 ... a1z a0 0,ai R
Справедливо утверждение: если комплексное число z1 является корнем многочлена, то и сопряженное число z1 также является его корнем.
Если z1 является корнем многочлена кратности m, то и сопряженное ему z1
также является корнем той же кратности m. Отсюда следует, что в разложении
многочлена с действительными |
коэффициентами |
наряду с |
множителями |
вида |
||||||||
(z z )m |
обязательно имеются |
множители |
вида |
(z |
|
)m. |
Это |
означает, |
что |
|||
z |
||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
многочлен можно представить в виде: P (z) (z z |
)m (z |
|
)m |
P |
|
(z). |
|
|||||
z |
|
|
||||||||||
|
|
n |
1 |
1 |
|
n 2m |
|
|
Любой многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители первой и второй степени относительно z, причем первые соответствуют действительным, а вторые – комплексно сопряженным корням многочлена, и это разложение единственно.
Задание 11
Найдите корни уравнение на множестве комплексных чисел:
а) z2 2z 5 0; б) z2 6z 25 0.
Решение.
а) z2 2z 5 0. Решим квадратное уравнение относительно переменной z,
тогда D 4 4 5 16 16i2 , z |
|
2 4i |
1 2i. |
|
|||
1,2 |
2 |
|
|
|
|
||
б) z2 6z 25 0. |
|
|
|
_____________________________________________________________
28
Ответ. а) z1,2 1 2i б) z1,2 3 4i.
Задание 12
Решить биквадратное уравнение на множестве комплексных чисел:
а) z4 18z2 |
81 0; б) z4 16 0. |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
а) z4 18z2 |
81 0; |
|
|
|
|
Введем переменную z2 t, получим |
квадратное уравнение t2 |
18t 81 0 |
|
||
(t 9)2 0 t 9 0 z2 9 0 z |
2 9i2 0 z2 9i2 z |
|
3i. |
|
|
|
|
1,2 |
|
|
б) z4 16 0.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Ответ. а) z1,2 3i; б) z1,2 2.
Задание 13
Решить уравнение на множестве комплексных чисел:
а) z z 1 2i; б) z z 8 12i.
Решение.
|
|
|
а) |
z |
z 1 2i. |
x2 y2 x iy 1 2i. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y 2, |
|
y 2, |
|
|
|
|
||||||||||
x |
2 |
y |
2 |
x 1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 x 1, |
|
x |
4 1 x, |
|||||||||
y 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y 2, |
|
|
|
|
|
|
y 2, |
y 2, |
|
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2i. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x2 4 1 2x x2 |
, 2x 3, |
x |
|
. |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) z z 8 12i.
________________________________________________________________________
29
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Ответ. а) z 3 2i; б) z 5 12i
2
Задание 14
Разложить на сумму простейших дробей над полем :
а) |
( 1 i)z 11 5i |
; б) |
(1 i)(z 5) |
. |
|
z2 2z 5 |
|
z2 2z 5 |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
а) |
( 1 i)z 11 5i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z2 2z 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Разложим на множители квадратный трехчлен, для этого решим квадратное |
|||||||||||||||||||||
уравнение: z2 2z 5 0. D 4 4 5 4 20 16 16i2 z |
1 2i. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
||
|
|
( 1 i)z 11 5i |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
B |
|
A(z 1 2i) B(z 1 2i) |
|
||||||||
|
(z 1 2i)(z 1 2i) |
|
|
|
|
z 1 2i |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
z 1 2i |
|
|
|
|
z2 2z 5 |
|
|
||||||||||||||
|
Az A 2Ai Bz B 2Bi |
|
z(A B) A B 2Ai 2Bi |
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
z2 2z 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 2z 5 |
|
|
||||||||
A B 1 i, |
|
|
|
A 1 i B, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A B 2Ai 2Bi 11 5i, |
A B 2Ai 2Bi 11 5i, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
A 1 i B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( 1 i B) B 2i 1 i B 2Bi 11 5i, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A 1 i B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 i B B 2i 2 2Bi 2Bi 11 5i, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
A 1 i B, |
A 1 i B, |
A 1 i B, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4Bi 8 4i, / i 4B 8i 4, /:4 |
B 2i 1, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
A 1 i 2i 1, |
A 3i 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
B 2i 1, |
B 2i 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, |
( 1 i)z 11 5i |
|
|
3i 2 |
|
|
1 2i |
. |
|
|
|||||||||||||
z2 2z 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z 1 2i |
z 1 2i |
|
|
30