635582
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ:
«ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ»
Учебно-методическое пособие
Воронеж Издательский дом ВГУ 2016
Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 15 мая 2016 г., протокол № 9
Составители: П. С. Украинский, А. И. Шашкин, Г. А. Виноградова, Э. Л. Шишкина
Рецензент – д-р ф.-м. н., доц. С. П. Зубова
Подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Рекомендовано студентам первого курса очной и очно-заочной форм обучения факультета прикладной математики, информатики и механики
Для направлений: 010400 – Прикладная математика и информатика, 010300 – Фундаментальная информатика и инфор-
мационные технологии, 010500 – Математическое обеспечение и админист-
рирование информационных систем, 080500 – Бизнес-информатика, 010800 – Механика и математическое
моделирование
Введение
Понятие предела последовательности и предела функции лежит в основе современного понимания математического анализа. Умение вычислять пределы используют на протяжении всего курса математического анализа. Задачи с теоретическим содержанием позволяют глубже понимать суть вопроса. Данная методическая разработка предназначена для домашней контрольной работы. Примеры решаются с помощью основных типовых методов, изложенных в [2]. Желаем успехов.
3
Вариант 1
Пользуясь определением предела последовательности, доказать.
1: lim |
sin(2n + 3) |
= 0; |
2: lim |
21 |
4n |
= 4: |
||||
|
|
|
|
|
||||||
n |
!1 |
p |
|
n |
!1 |
3 |
n |
|||
|
|
n |
|
|
Вычислить пределы последовательностей.
3: lim (n + 1)3 (n 1)3 ; n!1 (n + 1)2 (n 1)2
|
: lim np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
n n |
|
n |
; |
||
5 |
n |
+ 1)( |
||||||
n!1( |
( |
|
+ 2)) |
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
4: lim |
n |
7n |
3 64n6 + 9 |
; |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
(n |
p |
|
p |
|
2 |
|
|||||||
n |
!1 |
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n) 11 + n |
|
|
|
|
||||||
6: lim |
1 2 + 3 4 + 2n |
: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n!1 |
|
|
p3 n3 + 2n + 2 |
Вычислить пределы функций.
7: |
lim |
|
x2 + 2x 3 |
; |
|
|
||||||||
x! 3 x3 + 4x2 + 3x |
|
|
|
|
||||||||||
9: |
lim |
|
|
|
|
x sin 2x |
|
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x!0 1 + cos(x 3 ) |
||||||||||||||
11: |
lim |
|
|
2x 1 |
|
|
|
x+1 |
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(2x + 1) |
|
|||||||||||||
|
x!1 |
|
|
|
|
|
||||||||
13: |
lim |
|
ln(sin x) |
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(2x ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x! 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15: |
lim |
|
|
|
3x+1 3 |
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x!0 ln(1 + xp1 + x2) |
8: lim |
p |
|
|
5 |
|
|
||||||
9 + 2x |
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
! |
|
|
( |
x 2) |
|
|
|||||
x |
|
8 |
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
: |
lim |
cos( x=2) |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10 |
x!1 |
|
1 px |
|
|
|||||||
12 |
x!0 |
|
ln(x2 + 1) |
|||||||||
2 p2x2 + 4 |
||||||||||||
: |
lim |
|
ex e 2x |
|
; |
|||||||
14: |
lim |
|
; |
|
||||||||
|
x!1 x + sin(x2) |
() 1
|
1 + x cos 2x |
x3 |
|
16: lim |
|
: |
|
1 + x cos 5x |
|||
x!0 |
|
17. Доказать, что lim sin(x + 1) не существует.
x!1
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пользуясь определением предела последовательности, доказать. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos (1 + |
1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 3n |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1: nlim |
|
|
|
|
|
|
|
= 0; |
|
|
|
2: nlim |
|
|
|
|
|
= 3: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2n + 3 |
|
|
|
|
6 |
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вычислить пределы последовательностей. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(n + 2)3 (n 2)3 |
|
|
|
|
|
p |
|
p |
|
|
; |
||||||||||||||||
3: |
lim |
|
; |
4: |
lim |
n + 6 |
n2 5 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
n4 + 2n2 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
n!1 p3 n3 + 3 + p4 n3 + 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 7n |
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
: |
lim |
pn |
|
n |
|
|
|
|
|
|
n(n |
|
1) ; 6: |
lim |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|||||||
5 |
n!1 |
( |
|
|
|
|
√ |
) |
n!1 2n 7n 1 |
|
|
|
|
Вычислить пределы функций.
7: |
lim |
|
x3 2x 1 |
; |
|
|
|
||||
|
x4 + 2x + 1 |
|
|
|
|||||||
x! 1 |
|
|
|
|
|
||||||
9: lim |
tg x sin x |
; |
|
|
|
||||||
x!0 x(1 cos 2x) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x3 + x + 1 |
) |
2x2 |
||||
: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11 |
x!1 ( x3 + 2 |
|
|
|
|||||||
13: |
lim |
35x 2 7x |
; |
|
|
|
|
||||
|
x!0 |
|
2x tg x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 + x 3x |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
tg2x |
|
|||||
: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
(1 + x 7x ) |
|
||||||||||
15 |
x!0 |
|
|
|
17. Доказать, что lim sin 1
x!0 x
|
|
|
|
p4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
8: |
lim |
x |
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x!16 (√3 (p2x |
|
4)2 |
|
|
||||||||||||||
10: lim |
1 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12: lim |
ax2 a2 1 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x!a tg ln ( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
p |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|||||||||
14: lim |
|
|
cos x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x!0 |
|
|
sin2 2x |
|
|
)) |
|
|
||||||||||
16 |
x!0 |
(tg ( |
4 |
|
|
|
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
ex |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
: |
не существует.
5
Вариант 3
Пользуясь определением предела последовательности, доказать.
|
|
|
sin |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6n + 5 |
= 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1: |
lim |
n + 1 |
|
= 0; |
|
|
|
|
2: |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вычислить пределы последовательностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(3 n)4 (2 n)4 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 + 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3: |
lim |
; |
|
4: |
lim |
n 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n!1 |
(1 n)3 (1 + n)3 |
|
|
|
|
n!1 p3 n3 + 1 p |
n 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5: nlim (n p3 |
n3 5)np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
1 + 3 + 5 + + (2n |
|
1) 2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!1 ( |
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить пределы функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x3 2x 1)(x + 1) |
|
|
|
|
8: lim p |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
7: |
lim |
|
; |
|
|
|
|
x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x! 1 |
|
|
|
|
|
x4 + 4x2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x!1 p3 x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9: lim |
3x2 5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10: lim |
1 + cos 3x |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x!0 |
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!1 |
|
|
|
sin2 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11: |
lim |
|
|
|
|
x2 1 |
|
x4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12: |
lim |
|
2cos2 x 1 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x!1 ( x |
2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x! 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
13: lim |
|
62x 7 2x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14: |
lim |
|
|
|
|
|
x3 + 1 |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x!0 sin 3x 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x! 1 sin(x + 1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
15: lim |
|
|
1 + x |
|
2x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
16: lim |
|
|
|
2x 1 |
|
|
px 1 |
: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x!0 |
( |
|
|
3x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!1 ( |
|
|
|
|
|
) |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Доказать, что x |
0 |
|
|
|
|
|
2) |
не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim cos(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!
6
Вариант 4
Пользуясь определением предела последовательности, доказать.
1: lim |
cos(n2 1) |
= 0; |
2: lim |
2n 5 |
= |
2 |
: |
|
ln n |
3n + 1 |
3 |
||||||
n!1 |
|
n!1 |
|
|
Вычислить пределы последовательностей.
3: lim (1 n)4 (1 + n)4 ; n!1 (1 + n)3 (1 n)3
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
: |
lim |
n2 |
+ 1)( |
n2 |
4) |
n4 |
; |
||||
5 |
n!1(√( |
|
|
|
|
9) |
Вычислить пределы функций.
|
|
|
p3 |
|
+ 7n2 |
|
||||
4: |
lim |
n2 1 |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
n!1 p4 n8 + +n + 1 n |
|
||||||||
6: |
lim |
2n+1 |
+ 3n+1 |
: |
|
|||||
|
2n |
|
|
|||||||
|
n!1 |
|
+ 3n |
|
7: lim |
(2x2 x 1)2 |
; |
x!1 x3 + 2x2 x 2 |
|
1 cos2x
9: lim ; x!0 cos 7x cos 3x
11: lim |
|
x 1 |
x+2 |
; |
|
|
|||
(x + 3) |
|
|||
x!1 |
|
|
e5x e3x
13: lim ; x!0 sin 2x sin x
2
15: lim(2 3x)sin x ;
x!0
17. Доказать, что lim cos 1
x!0 x
pp
8: lim |
x + 13 2 x + 1 |
; |
|
x2 9 |
|||
x!3 |
|
10: lim 1 sin 2x; x! 4 ( 4x)2
12: lim |
|
tg x tg 2 |
|
; |
||||||
|
x!2 sin ln(x 1) |
|
||||||||
14: lim |
tg x tg a |
; |
|
|
||||||
|
x!a ln x ln a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
cos x |
|
1 |
|
|
|
|
: |
lim |
|
|
x 2 |
: |
|
||||
(cos 2 ) |
|
|
|
|
||||||
16 |
x!2 |
|
|
|
|
|
не существует.
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пользуясь определением предела последовательности, доказать. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
tg (1 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
7n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1: lim |
n |
= 0; |
|
|
2: lim |
= 7: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
!1 |
p |
|
|
|
n |
!1 n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычислить пределы последовательностей. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(6 n)2 (6 + n)2 |
|
|
|
|
|
p |
|
p3 |
|
|
||||||||||||
3: lim |
; |
|
|
|
4: lim |
3n 1 |
125n3 + n |
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n!1 |
(6 + n)2 (1 n)2 |
|
|
|
|
n!1 |
|
p5 n n |
|
||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5: lim |
|
|
(n5 8) n n(n2 + 5) |
; |
6: lim |
|
|
1 + 2 + 3 + + n |
: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
pn |
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
p9n4 + 1 |
|
|
|
||||||||||||||
Вычислить пределы функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(x2 + 2x 3)2 |
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
+ 2 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7: lim |
|
; |
|
|
|
8: lim |
|
x 6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x! 3 |
|
x3 + 4x2 + 3x |
|
|
x! 2 |
|
|
|
|
|
x3 + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9: lim |
|
|
|
|
4x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
10: lim |
|
1 + cos x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x!0 tg( (2 + x)) |
|
|
|
|
|
|
|
x!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11: lim |
|
|
|
2x2 + 2 |
|
x2 ; |
|
|
12: lim |
|
|
etg 2x e sin 2x |
; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x!1 (2x |
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
x! |
|
|
|
|
|
1 sin x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
32x 53x |
|
|
|
|
|
|
|
14: lim |
p |
|
|
|
p |
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + sin x |
|||||||||||||||||||||||||
13: lim |
|
|
; |
|
|
|
|
|
1 + tg x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x!0 arctg x + x3 |
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 + sin x cos x |
|
ctg3 x |
|
|
|
|
|
|
2x 7 |
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
15: lim |
|
|
; |
|
16: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
||||||||||||||||||
(1 + sin x cos x) |
|
( x + 1 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x!0 |
|
|
x!8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Доказать, что lim sgn x не существует.
x!0
8
Вариант 6
Пользуясь определением предела последовательности, доказать.
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n2 + 1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1: lim |
|
|
|
= 0; |
|
|
2: |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n!1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
3n + 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вычислить пределы последовательностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
+ n |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3: lim |
|
(n 1) |
|
; |
|
4: lim |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
27n |
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
(n |
|
1) |
|
|
(n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 (n + |
|
|
n) 9 + n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5: lim (p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 + 3 + + (2n 1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n2 |
|
3n + 2 |
|
n); |
|
6: |
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
!1 |
|
|
|
1 + 2 + |
|
+ n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вычислить пределы функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x3 2x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7: lim |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
8: |
|
lim |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x! 1 |
|
x4 + 2x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!16 px 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
9: lim |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
10: |
lim |
|
tg 3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x!0 tg(2 (x + 0; 5)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11: lim |
|
|
|
3x2 6x + 7 |
|
|
x+1 |
; |
12: |
lim |
|
|
ln sin 3x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x!1 ( |
3x |
2 |
+ 20x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x! |
|
|
(6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
13: lim |
e2x e3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14: lim |
|
|
|
|
eax ebx |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x!0 tg x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 sin ax sin bx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
15: lim |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16: |
lim (tg x)cos( |
3 |
x) : |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x!1 |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17. Доказать, что lim |
tg x |
не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
jxj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Вариант 7
Пользуясь определением предела последовательности, доказать.
1: |
lim |
n2 |
= 0; |
2: |
lim |
|
9 n3 |
= |
|
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 + 2n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n |
!1 |
n! |
|
|
|
n |
!1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Вычислить пределы последовательностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(1 + 2n)3 8n3 |
|
|
|
|
|
p |
|
p |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3: |
lim |
; |
|
4: |
lim |
|
n + 2 |
n2 + 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(1 + 2n)2 + 4n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
n!1 p4 4n4 + 1 p3 n4 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
lim (n + p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 3 + |
+ (2n |
|
|
|
1) |
|
|
|
||||||||||||||
: |
|
n3 ; |
|
|
|
: |
lim |
|
|
|
|
n |
: |
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
5 |
n!1 |
|
|
) |
|
|
6 |
n!1 ( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
Вычислить пределы функций.
7: lim |
(1 + x)3 (1 + 3x) |
; |
|
|
|
|||||||||
x!0 |
|
x + x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9: lim |
1 cos3 x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x!0 |
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x2 3x + 6 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
11: lim |
|
|
3 |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
(x2 + 5x + 1) |
|
|
|
|||||||||||
x!1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
13: lim |
35x 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x!0 x sin 9x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
p |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
15: lim(1 + ln(1 + px))sin |
3 |
x ; |
||||||||||||
|
|
x!0
8: lim |
p |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9 + 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
p3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x!8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
10: lim |
sin2 x tg2 x |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x! |
|
|
|
|
(x )4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12: |
lim |
|
|
|
|
|
2x sin x |
|
; |
|
||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
p3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
!1 |
|
|
|
x |
+ 7 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
14: |
lim |
|
|
|
|
1 + sin |
|
|
1 |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x!0 |
( |
|
|
|
|
ex |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x!1 |
|
|
|
|
x |
) |
|
p |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x 1 |
|
|
|
|||||||||
16: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
17. Доказать, что lim x sin x не существует.
x!0
10