202910
.pdfМИНИСТЕРСТВО СПОРТА, ТУРИЗМА И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма (ГЦОЛИФК)»
МАТЕМАТИКА
Методические рекомендации к практическим и семинарским занятиям
МОСКВА – 2011
2
МИНИСТЕРСТВО СПОРТА, ТУРИЗМА И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма (ГЦОЛИФК)»
МАТЕМАТИКА
Методические рекомендации к практическим и семинарским занятиям
3
МОСКВА – 2011
Утверждено и рекомендовано Экспертно-методическим Советом ИТРРиФ ФГБОУ ВПО РГУФКСМиТ
Протокол №8 от 09.06.2011г.
УДК 51(07) М 34
Составители: Конюхова Г.П. – кандидат педагогических наук, доцент кафедры ЕНД РГУФКСМиТ;
Конюхов В.Г. – кандидат технических наук, доцент кафедры ЕНД РГУФКСМиТ;
Яшкина Е.Е. – кандидат педагогических наук, доцент кафедры ЕНД РГУФКСМиТ.
Рецензент: Попов Г.И. – д.п.н., профессор кафедры ЕНД РГУФКС-
МиТ.
Методические указания разработаны к практическим и семинарским занятиям по курсу «Математика» для студентов, обучающихся по направлениям 032100.62 «Физическая культура», 100200.62 «Туризм», 080100.62
«Экономика», по специальностям: 032101.65 «Физическая культура и спорт», 032103.65 «Рекреация и спортивно-оздоровительный туризм»,
100201.65 «Туризм», 032102.65 «Физическая культура для лиц с отклонениями в состоянии здоровья (АФК)», 030602.65 «Связи с общественностью»,
080507.65 «Менеджмент организации», 030301.65 «Психология», 040104.65
«Организация работы с молодежью», 050720.65 «Физическая культура».
4
Введение
Данное учебное пособие предназначено для студентов высших учеб-
ных заведений физической культуры и спорта, изучающих основы высшей математики и математической статистики.
При написании учебного пособия авторы исходили из требований государственного образовательного стандарта и опыта проведения лекци-
онных и практических занятий по данной дисциплине на кафедре естествен-
нонаучных дисциплин и информационных технологий Российского госу-
дарственного университета физической культуры.
Главной целью работы является помощь студентам как очной, так и заочной форм обучения в изучении курса «Математики».
Учитывая прикладной характер изложения основных понятий и мето-
дов в курсе «Математика», наибольшее внимание уделено решению задач по темам, наиболее близким по своей постановке к области физической куль-
туры и спорта. В работе приведены примеры решения типовых задач и за-
дачи для самоконтроля.
Содержание учебного пособия выдержано в рамках учебного плана.
5
1. Понятие функции
Пример. Найти область определения функции y=2x3-3x+4.
Функция y=2x3-3x+4 определена на всей числовой оси x R.
Пример. Найти область определения функции y |
x 1 |
|
|
||||
|
|
. |
|
|
|||
(x 6) (x 3) |
|
|
|||||
Знаменатель дроби не может быть равным нулю. Следовательно, |
|||||||
функция определена, если (x 6) (x 3) 0 . Произведение равно нулю, |
ес- |
||||||
ли равен |
нулю, хотя |
бы один из сомножителей, поэтому x 6 0 |
и |
||||
x 3 0 , |
или x 6 и |
x 3. Следовательно, функция y |
x 1 |
|
|
||
|
|
||||||
(x 6) (x 3) |
определена на всей числовой оси, за исключением точек -3 и 6: x (- ,-3) (- 3,6) (6,+ ).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти область определения функции y |
1 x2 . |
|
|
|
|||||||||||
|
Подкоренное выражение не может быть отрицательным. Следователь- |
|||||||||||||||
но, функция определена, |
если 1 x2 0 |
или (1 x)(1 x) 0 . |
Методом ин- |
|||||||||||||
тервалов получаем, что |
x [ 1, 1]. Область определения заданной функции |
|||||||||||||||
иметь вид x [-1,1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример. |
Найти область определения функции y |
|
|
ln( x 2) |
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|||||||||||
|
x 2 2x 3) |
|||||||||||||||
|
Заданная |
функция |
определена, если определен |
ln( x 2) , |
то есть |
|||||||||||
x 2 0, и подкоренное выражение в знаменателе положительно, |
то есть |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x2 2x 3 0. |
Решением |
неравенства |
|
x 2 0, является |
x 2 , или |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x ( 2, ) . Для |
решения |
неравенства |
|
x2 2x 3 0 найдем предвари- |
||||||||||||
тельно корни уравнения |
x2 |
2x 3 0 . Ими являются x =-1 и x =3. После |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
этого методом интервалов получаем, что x ( , 1) (3, ). Учитывая оба
6
полученные условия, получаем, что, область определения заданной функ-
ции иметь вид x ( 2, 1) (3, ).
Пример. Исходя из определения, предела показать, что lim (3x 5) 1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
Зададимся произвольным |
0 . Необходимо найти такое 0 , что для |
||||||
всех x, удовлетворяющих |
неравенству |x-2|<δ, выполняется неравенство |
||||||
| (3x 5) 1| . |
Раскрывая скобки, |
запишем последнее неравенство в виде |
|||||
| 3x 6 | , или |
|
x 2 |
|
|
. Выбирая |
, получим, что для всех x, удовле- |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
творяющих неравенству |
|x-2|<δ выполняется неравенство | (3x 5) 1| . |
Значит lim (3x 5) 1.
x 2
Пример. Сравнить порядок функций α=4x3 и β=5x3 при x→∞.
|
|
|
( x) |
|
|
4x3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поскольку lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
, то функции α(х) и β(х) являются беско- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
( x) |
|
x 5x3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
нечно малыми одного порядка при x→∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример. Найти асимптоты графика функции y |
x2 |
x 6 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку |
lim |
|
x2 x 6 |
, и |
lim |
x2 |
x 6 |
, то прямая x=-4 |
|||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
x 4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
является вертикальной асимптотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Вычисляя |
|
значения |
|
|
|
|
пределов |
|
k lim |
|
x2 |
x 6 |
1 |
и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x( x 4) |
|
|
||||||
b lim [ |
x2 |
x 6 |
x] lim |
3x 6 |
3 |
(аналогично и при x→-∞), получа- |
|||||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
x 4 |
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ем, что прямая y=x-3 является наклонной асимптотой.
7
|
y= |
1-x 4, x≠0 |
|
|
0, |
|
|
Пример. Исследовать на непрерывность функцию |
|
. |
|
|
|
||
В точке x=0 функция имеет устранимый разрыв, |
поскольку в этой |
точке существует предел функции, равный 1 ( lim y( x) 1), который не равен
x 0
значению функции в этой точке y(0)=0. Чтобы функция стала непрерывной в
точке x=0 следует определить ее значение в этой точке равным ее предель- |
||||||||||
ному значению в этой точке y(0) lim y(x) 1. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y= |
x2, x<1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x, x≥1 |
|
||
|
Пример. Исследовать на непрерывность функцию |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
Функция |
имеет |
в |
точке |
x=1 разрыв |
первого |
рода, |
поскольку |
||
lim |
y(x) 1, а |
lim y( x) 2 . |
|
|
|
|
|
|
||
x 0 1 |
|
x 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y= |
x, |
x<0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1/x, x>0 |
|
||
|
Пример. Исследовать на непрерывность функцию |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
Функция |
имеет |
в |
точке |
x=0 разрыв |
второго |
рода, |
поскольку |
||
lim |
y(x) 0 , а |
lim y(x) - правый предел в точке x=0 не существует. |
||||||||
x 0 0 |
|
x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Исследовать на непрерывность функцию y=cos(1/x). |
|
|||||||
|
Точка x=0 является точкой разрыва второго рода для функции |
y=cos(1/x), поскольку не существует ни левого, ни правого предела этой функции при x 0.
Упражнения
1. Установите области определения функций:
|
y 2x2 3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1.1. |
|
1.6. |
y (x 5)(2x 8) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y 2x10 3x5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. |
|
1.7. |
y |
4x2 |
x 7x |
|
|
|||
|
|
( x 8)( x 5) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
5x 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.3. |
|
1.8. |
y |
|
x2 9x 14 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x(2x 10) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.4. |
y |
|
2x 7 |
|
1.9. |
y |
|
|
3x 5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2 5x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4x2 1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5. |
y |
|
|
x 2 |
|
1.10. |
y |
|
|
|
|
(x 1)( x 8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2)( x 5) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Используя определение, покажите, что следующие функции являются бесконечно большими:
|
2.1. |
y x2 1, |
x + |
2.2. |
y |
3 |
, a=2 |
||||||
|
|
|
|||||||||||
x 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Вычислите значения следующих пределов: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3.1. |
lim |
2x2 2 |
|
|
lim |
|
x 5 2 |
|
||||
|
3x2 2x 1 |
|
|
x 1 |
|||||||||
|
|
x 1 |
3.2. |
x 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Исследуйте данные функции на непрерывность на отрезке [c,d], если:
5.1. y |
3x 10 |
|
а) [c,d]=[-10, 20], б) [c,d]=[-0.5, 0.5] |
|
|
|
|||
(x 2)( x 1) |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
2. Понятие производной
Пример. Найти производную функции y=5sinx. y'=(5sinx)'=5(sinx)'=5cosx.
Пример. Найти производную функции y=2x3+4cosx. y'=(2x3+4cosx)'=(2x3)'+(4cosx)'=2(x3)'+4(cosx)'=2·3x3-1+4·(-sinx)=6x2-4sinx.
Пример. Найти производную функции y=2x·tgx.
y'=(2x·tgx)'=(2x)'·tgx+2x·(tgx)'=2x·ln2·tgx+2x· |
|
1 |
=2x·tgx·(ln2+ |
|
2 |
). |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
cos2 x |
sin 2 x |
|||||||||||||||
Пример. Найти производную функции |
y |
|
5x |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5x |
(5x ) sin x 5x (sin x) |
|
|
5x ln 5sin x 5x |
cos x |
|
|
||||||||
y ( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
sin x |
sin 2 x |
|
|
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить производную функции u=earcsinx.
Рассмотрим данную функцию как сложную функцию u=ev, где v=arcsinx. Используя первую формулу для дифференцирования сложной функции, получим
u (ev ) (arcsin x) ev |
1 |
|
earcsinx |
1 |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
1 x2 |
1 x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить производную функции u=sin5x.
Рассмотрим данную функцию как сложную функцию u=v5, где v=sinx.
Применим вторую формулу для дифференцирования сложной функции и получим
u'=5sin5-1x·(sinx)'=5sin4x·cosx.
Пример. Вычислить производную функции, заданной параметрически
x=5(t-sint) y=5(1-cost)
Здесь (t)= 5(t-sint), а (t)==5(1-cost), поэтому
|
|
(5(1 cost)) |
|
(1 cost) |
|
|
sin t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yx |
(5(t |
sin t)) |
(t |
sin t) |
cost |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|||
|
2sin |
|
cos |
|
|
|
t |
|
|||
|
2 |
2 |
ctg |
, t ≠ πn, n- целое. |
|||||||
2sin |
2 t |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти производную неявной функции y', заданной уравнени-
ем x2+y2=5.
Поскольку y является функцией переменной x, то будем рассматривать y2 как сложную функцию переменной x. По правилу дифференцирования сложной функции имеем (y2)'=2yy'. Дифференцируя по x обе части исход-
ного уравнения, получим уравнение
2x+2yy'=0
для определения искомой производной. Из него находим
10