1594
.pdfВариант № 3
1. Используя различные признаки, исследовать на сходимость положительные ряды:
|
2 |
|
2n2 |
|
|
n |
2) ; |
|
3 |
|
|
||
1) n |
2 |
2 |
|
; |
2) arctg (3 |
( 1) |
|
3) ln (3n2 |
1) |
; |
|||
n 1 |
n |
|
4 |
|
|
n 1 |
n 1 |
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
n 3 n 1 |
|
|
2 |
n |
n! |
|
|
4) |
; |
5) |
|
; |
6) e n . |
|||
n |
n |
n |
||||||
n 1 |
|
n 1 |
|
|
n 1 |
2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд
|
|
ln |
2 |
n . |
|
( 1)n |
|
|
|||
n 2 |
|
n 2 |
|
||
3. Найти область сходимости ряда |
|
|
|
|
|
|
n2 ln n |
5x 1 n |
|||
|
|
|
|
|
. |
n |
2 |
2 |
|||
n 1 |
3 |
|
|
4. Разложить в ряд Маклорена функцию arctg 9xx 182 .
5. Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл
1 |
ln (1 |
x2 |
) |
|
7 |
|
|||
|
|
|
dx. |
|
x |
|
|
||
0 |
|
|
|
6. Найти решение задачи Коши
y 6x y 12 y 24 , y(0) 2 , y (0) 1,
представив его в виде разложения в ряд Маклорена.
7. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; ] функцию
|
|
x |
, 0 x 2, |
|
1 |
|
|||
2 |
||||
f (x) |
|
|
||
|
0, |
2 x . |
||
|
91
Вариант № 4
1. Используя различные признаки, исследовать на сходимость положительные ряды:
|
n2 |
1 |
n |
|
2 |
( 1)n 1 cos n |
|
|
|
|
|
ln2 n |
|
|
||||||||
1) |
|
|
|
|
; |
2) |
|
|
|
|
; |
3) |
|
|
|
|
; |
|
||||
|
2 |
3 |
10 n 7 |
|
|
|
n |
3 |
3 |
|
||||||||||||
n 2 n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
! |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4) |
|
n 3 |
|
n 1 sin |
; 5) 3 nn |
; |
6) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
1) |
||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
n 1 |
|
n ln(3n |
|
2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд
|
n 1 |
|
|
3n |
|
|
( 1) |
|
ln 1 |
|
|
|
. |
|
n |
2 |
2 |
|||
n 1 |
|
|
|
|
3. Найти область сходимости ряда
|
n2 2n |
3x 7 n |
||||
|
|
|
|
|
|
. |
3 |
n |
2 |
5 |
|||
n 1 |
|
|
|
4.Разложить в ряд Маклорена функцию
x2 arcctg 63xx 42 .
5.Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл
1 cos (x2 ) dx.
0
6. Найти решение задачи Коши
y |
|
3x |
2 |
y |
|
9xy 2 15x |
3 |
, |
y(0) 0, |
|
1, |
|
|
|
|
y (0) |
представив его в виде разложения в ряд Маклорена.
7. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; ] функцию
x , |
0 x |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x . |
|||||
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
92
Вариант № 5
1. Используя различные признаки, исследовать на сходимость положительные ряды:
1) |
|
n2 |
|
2 |
3n2 |
|
arctg (3 ( 1)n |
) |
|
(n 1) ln (2n 3) |
; |
||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
; 2) |
|
|
2 n 5 |
|
; 3) |
|
|
n |
3 |
|
|
|||||||
|
n 2 |
n |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3n 7 |
n |
n 1 |
|
n2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4) |
|
en |
|
1 1 ; 5) |
|
|
|
|
|
|
; 6) |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
ln (n |
3 |
1) |
|
|||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n 2 n 2 |
|
|
n 2 |
|
|
2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд
|
|
|
( 1)n 1 |
ln 1 |
|
n 1 |
|
|
3. Найти область сходимости ряда
n |
|
|
|
. |
|
n 20 |
||
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
(5x 1)n . |
|
2 |
n |
|
n |
||
n 1 |
|
3 |
|
4. Разложить в ряд Маклорена функцию
ln 3xx 25 .
5. Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл
1
sin (x2 ) dx.
0
6. Найти решение задачи Коши
y |
|
4x y |
|
8 y 24 , |
y(0) 3, |
|
1, |
|
|
y (0) |
представив его в виде разложения в ряд Маклорена.
7. Найти ряд Фурье по синусам на отрезке [0; ] функции
x , |
|
0 x |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x |
|
|||
|
|
|
|||||
|
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
и исследовать его сходимость.
93
Вариант № 6
1. Используя различные признаки, исследовать на сходимость положи-
тельные ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 |
3 |
n2 |
|
n2 (2 cos n) |
|
1 |
) ; |
||||
1) |
2n |
2 |
1 |
|
; |
2) |
2 n |
3 |
1 |
; 3) n (1 cos |
n |
|
n 2 |
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
(n!) |
2 |
|
|
|
n |
|
|
4) |
|
|
; |
5) |
; |
6) n2 e n3 . |
||
(2 n)! |
n |
|||||||
n 1 |
|
n 2 |
(ln n) |
n 1 |
2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд
|
n 1 |
|
2 n 1 |
|
|||
( 1) |
|
sin |
|
|
|
|
. |
|
3n |
2 |
1 |
||||
n 1 |
|
|
|
|
3. Найти область сходимости ряда
|
3n |
1 |
|
7x 3 |
|
n |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
. |
||
2n |
2 |
3 |
5 |
|||||
n 1 |
|
|
|
|
4. Разложить в ряд Тейлора по степеням x 3 функцию
2 1 . x 4x 12
5. Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл
0,1 ex 1 dx .
0 x
6. Найти решение задачи Коши
y |
|
2x y |
|
4 y 8 , |
y(0) 2 , |
|
1, |
|
|
y (0) |
представив его в виде разложения в ряд Маклорена.
7. Разложить в ряд Фурье на отрезке [ ; ] функцию f (x) 2 x2 .
94
Вариант № 7
1. Используя различные признаки, исследовать на сходимость положительные ряды:
|
|
2n 1 |
3n |
|
|
arctg (3 ( 1)n 1 2) |
|
|
|
1 |
|
ln (3n2 |
1) |
|
|||||||
1) |
|
|
|
; 2) |
|
|
sin |
|
|
; 3) |
n |
3 |
|
|
|
|
; |
||||
2n 3 |
n |
|
|
n |
|
9 |
|
||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||||||||
|
4n2 5n 1 |
|
|
n2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
n2 |
|
||||
4) |
|
|
|
|
|
; |
5) |
|
|
|
|
; |
6) n |
|
e |
|
. |
||||
|
9n8 3n |
1 |
(ln (n 1)) |
n |
|
|
|
||||||||||||||
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд
|
n 1 |
|
2n |
|
|||
( 1) |
|
arcsin |
|
|
|
|
. |
|
3n |
2 |
1 |
||||
n 1 |
|
|
|
|
3. Найти область сходимости ряда.
2n2 3 |
|
|
n |
|||
|
||||||
x 1 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n 5 |
x 2 |
|
|
4. Разложить в ряд Тейлора по степеням x 1 функцию
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 8x 15 |
|
|
||
5. |
Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
arctg x dx . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
||
6. |
Найти решение задачи Коши |
|
|
|||||||||
|
y |
|
3x |
2 |
y |
|
9x y |
0 , y(0) |
|
1, |
||
|
|
|
|
0, y (0) |
представив его в виде разложения в ряд Маклорена.
7. Разложить в ряд Фурье на отрезке [ |
|
; |
|
] функцию |
f (x) | sin x |. |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
95
Вариант № 8
1. Используя различные признаки, исследовать на сходимость положительные ряды:
|
|
3n 1 |
2n 1 |
|
n (3 ( 1)n 2) |
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||
1) |
|
|
|
|
|
; 2) |
|
|
|
|
|
; 3) |
|
ln (1 sin |
|
) ; |
|
3n |
7 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
n |
||||||||
n 1 |
|
|
|
n 1 |
5n |
|
|
n 1 n |
|
|
|||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4) ln (2n |
|
1) |
; |
5) 3 (n!) |
|
; |
|
6) n5 e n3 . |
|||||||||
n 1 |
|
n 7 |
|
|
n 1 |
(2 n)! |
|
|
|
n 1 |
|
|
2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
( 1)n |
1 (1 cos |
). |
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
|||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти область сходимости ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
1 |
|
|
|||
|
|
arctg |
|
. |
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
||||||||
|
|
n 1 |
|
|
3 |
|
x 2 |
|
|
||||
4. Разложить в ряд Маклорена функцию |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x3 arcctg |
2x 3 . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
6x 1 |
|
|
|
|
||||
5. Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 ln (1 2x3 ) |
dx. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Найти решение задачи Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
x y 0 , |
y(0) 1, y |
|
|
|
|||||||
|
(0) 0, |
представив его в виде разложения в ряд Маклорена.
7. Разложить в ряд Фурье на отрезке [ 4 ; 4 ] функцию cos2 x 12 .
96
Вариант № 9
1. Используя различные признаки, исследовать на сходимость положительные ряды:
|
|
|
|
2 |
1 |
n2 1 |
|
2 |
cos |
2 n |
|
|
|
|
|
2 |
1) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1) |
|
3n |
|
; |
2) |
|
|
|
|
3 |
|
|
; |
3) n ln (23 n |
|
; |
|||||||||
|
2 |
2 |
|
n 3 |
|
|
|||||||||||||||||||
n 1 |
|
3n |
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
9n |
3 |
|
n |
|
|
n2 |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4) n |
|
n sin n ; |
5) |
|
|
n 3 |
|
; 6) |
|
|
. |
||||||||||||||
|
n 7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
4n8 1 |
n 1 |
|
|
|
n 5 |
|
n 1 |
n ln (n3 3) |
2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|||
( 1) |
|
ln |
|
|
|
. |
||
|
|
n 1 |
||||||
n 2 |
|
|
|
|
||||
3. Найти область сходимости ряда |
|
|
|
5x 3 n |
||||
|
n2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
n |
n |
4 |
|
|
||||
n 1 |
3 |
|
|
|
|
4. Разложить в ряд Тейлора по степеням x 3 функцию
x2 91x 20 .
5. Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл
1 sh x dx.
0 x
6. Найти решение задачи Коши
y 2 x y 14 y 0 , y(0) 0, y (0) 1,
представив его в виде разложения в ряд Маклорена.
7. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; ] функцию
|
, |
0 |
|
|
2 |
|
|
f (x) |
|
|
|
x , |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
x 2 ,
x .
97
Вариант № 10
1. Используя различные признаки, исследовать на сходимость положительные ряды:
|
|
3n 2 |
|
7n |
|
n (2 cos |
2 n |
) |
|
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2) |
|
|
3 |
|
|
3) |
|
|
|
|
||||||
1) |
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|||||
3n 11 |
n |
2 |
1 |
(3 ( 1) |
n |
) |
n |
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n3 3n |
|
|
n 1 |
n (n 1) |
|
||
4) ln |
|
|
|
; |
5) |
|
; |
|
n |
3 |
1 |
||||||
n 1 |
|
|
n 2 |
n 1 |
|
|
2. Исследовать на сходимость и абсолютную щийся ряд
|
( 1) |
n 1 |
|
|
|
|
. |
||
n2 4n 10 |
||||
n 1 |
|
|
1 |
|
|
|
6) |
|
|
|
. |
(n 1) ln (2n |
2 |
) |
||
n 1 |
|
|
сходимость знакочередую-
3. Найти область сходимости ряда
|
|
|
|
|
|
( 1)n |
|
1 x |
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
1 |
1 x |
|
|
||||||
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Разложить функции sin 3x и cos 2 2x |
в ряд Тейлора по степеням x |
. |
||||||||||||
5. |
Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл |
|
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
e 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Найти решение задачи Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
x y |
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
y(0) 1, y |
(0) |
|
представив его в виде разложения в ряд Маклорена.
7. Найти ряд Фурье на отрезке [ 1;1] функции
f (x) x, 1 x 0,
x 1, 0 x 1
и исследовать его сходимость.
98
Вариант № 11
1. Используя различные признаки, исследовать на сходимость положительные ряды:
|
|
|
2n2 1 |
n2 3 |
|
|
|
2 cos n |
|
|
|
n3 ln n |
|
|
|
||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
2) |
|
|
|
; |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
2n |
2 |
11 |
n ln n |
(5 ( 1) |
n |
) |
n |
|
||||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2n n |
|
|
|
|
|
n2 3 |
n3 1 |
|
|
|
2 ln n |
|
|
|
|
||||||||||
4) |
|
|
n |
|
|
; |
|
|
|
5) |
|
|
|
|
; |
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
n (ln |
3 |
n 1) |
|||||||||||||
n 1 |
|
3 1 |
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
( 1) |
|
|
ln 1 |
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
n |
20 |
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Найти область сходимости ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2n 3 |
3x |
2 |
n |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
4n |
2 |
1 |
|
3x |
||||||||
n 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
4. Разложить в ряд Тейлора по степеням |
x 1 функцию |
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
x2 5x 6 |
|
|
|
5. Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл
0,5
cos (4x2 ) dx .
0
6. Найти решение задачи Коши
y |
|
xy 0 , |
y(0) 0, |
|
1, |
|
y (0) |
представив его в виде разложения в ряд Маклорена.
7. Найти ряд Фурье на отрезке [ l ;l] функции
1, |
l x 0, |
|
f (x) |
1, |
0 x l |
|
и исследовать его сходимость.
99
Вариант № 12
1. Используя различные признаки, исследовать на сходимость положительные ряды:
|
n3 |
1 |
2n3 |
|
arctg (5 1)n 4 |
|
|
n3 1 |
|
|
|
|||||
1) |
|
|
|
|
|
; |
2) |
|
; |
3) |
|
|
|
|
; |
|
|
3 |
3 |
7n l |
(4 ( 1) |
n |
2) |
n |
|||||||||
n 1 |
n |
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
4) ( |
n 1 |
n ) arctg 1 |
; 5) |
nn lnn (1 |
|
1 ) ; 6) |
|
1 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
n 1 |
|
2n |
n 2 (2n 1) |
ln (2 n 1) |
|
2. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующийся ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n |
1 arctg |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
||
3. Найти область сходимости ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2n |
( 1)n n x 3 n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
3 |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
8 |
||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Разложить в ряд Маклорена функцию |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
1 cos 2t |
dt. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Вычислить с точностью до 0, 001 интеграл |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
4 x |
dx . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Найти решение задачи Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
xy |
|
y 0 |
, y(0) 1, |
|
|
|
0, |
|||||||
|
|
y (0) |
||||||||||||||
представив его в виде разложения в ряд Маклорена. |
|
|||||||||||||||
7. Найти ряд Фурье на отрезке |
[ 2;2] функции |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0, |
|
2 |
x 0, |
|
|
||||||
|
|
|
f (x) |
1, 0 x 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и исследовать его сходимость.
100