1785
.pdfПример 2.6.3.
|
x3 |
4x2 5x 2 |
|
x 1 2(x 2) |
||
lim |
|
|
lim |
|
|
0. |
|
x3 2x 3 |
x 1 (x2 |
|
|||
x 1 |
x 0 |
x 3) |
3. Если дробь является иррациональной, т.е. в числителе или знаменателе есть корни, то для раскрытия неопределенно-
0
сти вида необходимо выделять в качестве множителей
0
бесконечно малые величины, не содержащие радикалов, посредством умножения числителя и знаменателя на иррационально сопряженное выражение.
Пример 2.6.4.
|
lim |
3 |
x |
1 |
lim |
(3 |
|
x |
1)(3 x2 |
|
3 |
x |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 1 x 1 |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1)( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
(x 1) |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x 1 (x 1)(3 x2 |
|
3 |
|
x |
1) |
x 1(3 |
|
x2 3 |
x |
1) |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 2.6.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)( |
|
|
|
|
|
1) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
x2 1 |
1 |
lim |
( |
|
|
|
x2 1 |
|
x2 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x( x |
2 |
1 1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 1) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 x( |
x2 1 1) |
|
|
|
x 0 x( |
|
x2 1 1) |
|
При раскрытии неопределенности вида для представления бесконечно малых величин в удобном виде, не содержащем иррациональности, необходимо умножить и разделить на иррационально сопряженное выражение.
Пример 2.6.6.
|
x |
2 |
1 |
x |
2 |
1 |
|
|
lim |
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
20
|
|
|
x |
2 |
1 |
x |
2 |
1 |
|
|
x |
2 |
1 |
x |
2 |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
x |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
x2 |
|
1 x2 |
1 |
|
2 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x x2 1 x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Раскрытие |
|
другого |
варианта |
неопределенности вида |
требует приведения к общему знаменателю. В результате преобразований получим уже рассмотренный случай не-
определенности |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 2.6.7. |
|
|
1 x x2 3 |
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x3 |
|
|||||||||
|
x 1 1 x |
1 x3 |
|
x 1 |
|
0 |
|
||||||||
lim |
(x 1)(x 2) |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 1 (1 x)(1 x x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7. Сравнение бесконечно малых величин
Бесконечно малые величины x и x называются
бесконечно малыми величинами одного порядка малости при
x a, если lim x C , где C является не равной нулю кон-
x a x
стантой.
Бесконечно малые величины x и x называются эк-
вивалентными бесконечно малыми величинами при x a, ес-
ли lim x 1. В качестве эквивалентных бесконечно малых
x a x
величин можно назвать величины x и sin x при x 0 .
21
Пример 2.7.1. Показать, что бесконечно малые величины
x и ln 1 x |
при x 0 являются эквивалентными. |
|
|||||||||||||||||
|
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
ln 1 x |
lim |
1 |
ln 1 x lim ln 1 x 1/ x lne 1. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
x 0 |
x |
x 0 x |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример 2.7.2. Показать, что бесконечно малые величины |
||||||||||||||||||
x и ex |
1 при x 0 являются эквивалентными. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Рассмотрим |
|
ex 1 |
|
y |
1 |
1 |
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
x |
y 0 ln y 1 |
x 0 |
|
1 |
lne |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 y |
|
y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бесконечно малая величина x является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой величиной x , если
lim x 0.
x a x
При вычислении пределов бесконечно малые величины могут заменяться эквивалентными.
|
Основные эквивалентности: |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
sin x ~ x ; |
|
|
6. |
ex |
1 ~ x; |
|
|
||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
2. |
tgx ~ x; |
|
|
7. |
ax |
1 ~ xlna; |
|
|||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
3. |
1 cosx ~ x2 |
2 |
; |
8. |
1 x k 1 ~ kx; |
|||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
||
4. |
ln 1 x ~ x; |
|
|
9. |
k |
|
1 ~ |
x |
; |
|
|
|
1 x |
||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
k |
|
5. |
loga 1 x ~ |
xloga e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. a0 xn a1xn 1 an x~ a0 xn a0 0 .
22
Пример 2.7.3.
lim |
sin 6x |
lim |
|
6x |
|
lim |
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
4x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x 0 tg2 4x |
x 0 |
|
|
x 0 8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Пример 2.7.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 x2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 xsin x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Пример 2.7.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 1 |
4x 1 |
|||||||||||||||||||
lim |
5x |
4x |
lim |
5x 1 1 4x |
|
lim |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 x |
|
|
x2 x |
|
|
|
|
x |
2 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
xln5 xln4 |
|
|
|
|
xln |
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
lim |
|
4 |
|
|
|
ln |
lim |
|
|
|
ln |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
x2 x |
|
|
|
x 0 x x 1 |
|
|
4 x 0 x 1 |
4 |
|
2.8. Непрерывность функции в точке
Пусть функция y f x определена на некотором интервале a,b . Возьмем произвольную точку x0 a,b . Для любо-
го x0 a,b |
разность |
x x0 называется приращением аргу- |
|
мента x в |
точке x0 |
и обозначается |
x x x0 . Отсюда |
x x0 x . Разность значений функции |
f x f x0 называет- |
ся приращением функции f(x) в точке x0 и обозначается y
или f .
y
y f x
f x0 x
y
f x0
x0 x |
x0 x |
x |
|
||
Рис. 4 |
|
|
23 |
|
|
Функция y f x , определенная в точке x0 и ее окрест-
ности, называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно
малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.
lim y 0.
x 0
Можно дать второе определение непрерывности функции, следующее из первого. Для этого рассмотрим детальнее предыдущее определение
lim y lim f x f x0 |
lim |
f x lim f x0 0. |
|
x 0 |
x 0 |
x 0 |
x 0 |
Воспользовавшись тем, что предел постоянной f x0 есть |
|||
сама постоянная, получим |
|
|
|
|
lim f x lim |
f x f x0 . |
|
|
x 0 |
x x0 |
|
Функция y f x , определенная в точке x0 и в некото-
рой ее окрестности, называется непрерывной в точке x0 , если
существует предел функции в этой точке, который равен значению функции точке x0. Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции достаточно в выражение функции f x подставить вместо аргумента x его значение x0 .
Третье определение непрерывности функции в точке связано с понятием одностороннего предела. Предел функции y f x называется левосторонним, если при x a аргумент x остается все время меньше a, что обозначается таким обра-
зом: lim f x или |
lim f x . Предел функции |
y f x называ- |
x a |
x a 0 |
|
ется правосторонним, если при x a аргумент x остается все время больше a. Правосторонний предел записывается так:
lim f x или lim f x .
x a x a 0
Функция y f x , определенная в точке a и ее окрестности, называется непрерывной в точке a, если предел функ-
24
ции y f x справа при x a равен пределу функции слева и равен значению функции y f x в самой точке a:
lim |
f x = |
lim f x = f a . |
x a 0 |
|
x a 0 |
Если функция y f x непрерывна в каждой точке неко-
торого интервала a;b , то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.
2.9. Точки разрыва функции и их классификация
Если в точке a не выполняется хотя бы одно из условий третьего определения непрерывности функции y f x , то точка a является точкой разрыва. Существует три типа точек разрыва: точка устранимого разрыва, точка разрыва первого рода или скачок, точка разрыва второго рода.
Точка устранимого разрыва образуется, если функция y f x определена в окрестности точки a, но не в самой точке, а пределы функции слева и справа должны быть одинаковы, т.е.
|
|
|
|
|
|
lim |
f x = lim |
f x . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
x a 0 |
x a 0 |
|
|
|
|
|
|
Примером функции, имеющей подобную точку разрыва, |
|||||||||||
является функция y |
sin x |
, |
у которой точка x 0 выкалыва- |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
ется |
из |
области |
определения |
|
функции, |
но |
||||||
lim |
sin x |
= |
lim |
sin x |
=1. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 0 0 |
x |
x 0 0 x |
|
|
|
|
|
|||||
|
В этом случае функция доопределяется таким образом, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,если x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
чтобы устранить точку разрыва, т.е. y |
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, если x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в точке aсуществуют конечные неравные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.
25
lim f x A, |
lim f x B , |
A B, |
x a 0 |
x a 0 |
|
то точка a называется точкой разрыва первого рода или скачком.
y
B
A
a x
Рис. 5
Точки разрыва первого рода или скачки часто имеют ку- сочно-непрерывные функции. Например, функция
x 1, f x =
2 x,
испытывает скачок в точке
lim f x 0.
x 2 0
если |
-1 x 2 |
если |
2 x 5 |
x 2 , |
поскольку lim f x 1, |
|
x 2 0 |
Если хотя бы один из односторонних пределов стремится к бесконечности или не существует, то имеет место точка разрыва второго рода.
Например, функция y 31/ x a разрывна, поскольку при
x a функция не определена (рис. 6), а |
lim 31/ x a , |
|
x a 0 |
lim 31/ x a 0. Точка x aявляется точкой разрыва второго
x a 0
рода.
Для функции y 1 (рис. 7) точка x 0 является точкой x
26
разрыва второго рода, поскольку lim 1 , lim 1 .
|
|
|
|
x 0 0 x |
|
x 0 0 x |
||
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y 3 |
x a |
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
a |
|
x |
0 |
|
|
x |
Рис. 6 Рис. 7
2.10. Основные теоремы о непрерывных функциях
Теоремы о непрерывности функций в точке a и ее окрестности следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.
Теорема 1. Сумма двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности.
Теорема 2. Произведение двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности, есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности.
Теорема 3. Частное от деления двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности, если знаменатель в точке a не равен нулю.
Теорема 4. (Теорема о непрерывности сложной функции) Пусть y f x - сложная функция. Если функция
27
x непрерывна в точке a, а функция y f непрерывна
вточке a a , то сложная функция непрерывна в точке a.
2.11.Свойства функций, непрерывных на отрезке
1.Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.
y |
|
|
|
M |
|
y f x |
|
m |
|
|
|
0 |
a x1 |
x 2 b |
x |
|
Рис. 8 |
|
|
Изображенная на рис. 8 функция |
y f x непрерывна на |
отрезке a;b , принимает наибольшее значение M в точке x1,
а наименьшее m- в точке x2 . Для любого x a;b имеет ме-
сто неравенство m f x M .
2.Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
3.Если функция y f x непрерывна на отрезке a;b , и
на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка a;b найдется хотя бы одна точка c, в которой данная функция y f x обращается в ноль: f c 0.
Геометрический смысл заключается в том, что если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ox на другую, то он обязательно пересекает ось Ox (рис.9).
28
y
|
y |
f x |
|
a |
c |
b |
x |
Рис. 9
В случае нарушения условия о непрерывности функции на отрезке вышеуказанная теорема может не выполняться
(рис. 10).
4. Если функция y f x непрерывна на отрезке a;b , и принимает на его концах неравные значения f a A и f b B , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между A и B .
Геометрическая интерпретация сводится к тому, что для любого числа C , заключенного между A и B , найдется такая внутренняя точка c, что f c C , т.е. прямая y C пересечет график функции y f x , по крайней мере, в одной точке
(рис. 11).
y
|
y f x |
|
|
B |
y f |
x |
|
|
|
|
C |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
A |
|
|
|
a |
b |
x |
a |
c |
b |
x |
|
|
Рис. 10 |
|
|
|
Рис. 11 |
|
29