1936
.pdfЧтобы не вычислять четыре вычета воспользуемся формулой
(5.8). Разложим функцию |
|
f z |
1 |
|
|
в ряд в окрестности |
|||||||||||
1 z4 |
|||||||||||||||||
бесконечно удаленной точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f z |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|||||
|
z4 |
|
|
1 |
z4 |
z8 |
z12 |
||||||||||
1 z4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этого разложения видно, что res f c 1 0. Таким об-
разом согласно формуле (5.8) получим
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i res f zk 2 ires f 0. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 z4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
z3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z4 |
|
0 |
_ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
3 x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|||||||||||||
|
|
|
z3 |
|
|
z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
z |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.8 |
|
|
|
||||||||
Пример 19. Вычислить интеграл |
|
z17dz |
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
3 |
z |
2 2 |
z3 |
8 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Корни знаменателя подынтегральной функции |
||||||||||||||||||||||||
z1 i |
|
, z2 |
i |
|
|
, |
z3 1 i |
|
, z4 |
2, |
z5 |
1 i |
|
|
являют- |
|||||||||
2 |
2 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||
ся полюсами, так |
как |
функцию |
можно |
записать |
в виде |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z17 |
z17 |
||
|
|
|
. |
z2 2 3 z3 8 4 |
z z1 3 z z2 3 z z3 4 z z4 4 z z5 4 |
Замечаем, что все полюса z1, z2, z3, z4, z5 лежат внутри кон-
тура интегрирования на окружностях z 2 и z 2 (рис.
5.8). Поэтому по теореме Коши о вычетах имеем
|
|
|
|
|
z17dz |
5 |
|
I |
|
|
|
|
2 i res f zk . |
||
|
3 |
4 |
|||||
|
z |
|
3 |
z2 |
2 z3 8 |
|
k 1 |
|
|
|
Использование этой формулы приводит к большим вычислениям. Для вычисления данного интеграла удобнее использовать равенство (5.8), в силу которого будем иметь
I 2 ires f . |
(*) |
Разложим подынтегральную функцию в ряд в окрестности бесконечно удаленной точки:
f z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
8 4 |
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
8 4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
z |
2 |
z |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
6 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
640 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
6 |
|
32 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z |
|
z2 |
|
z4 |
z3 |
|
z6 |
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Из этого разложения видно, что |
res f c 1 |
1. Таким |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
образом согласно формуле (*) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
z17dz |
|
|
|
2 i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
3 |
z2 2 z3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121
5.3. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов
В предыдущем пункте показано, что теоремы о вычетах позволяют сводить вычисление интегралов от комплексных функций по замкнутому контуру к вычислению вычетов подынтегральной функции внутри контура. Тем же способом могут быть вычислены и многие определенные интегралы от функций действительного переменного. Во многих случаях удается достаточно просто находить с помощью вычетов определенные интегралы в случаях, когда применение методов математического анализа оказывается неэффективным. Рассмотрим вычисление нескольких типов определенных интегралов.
1. Интегралы от рациональных функций. Рассмотрим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграл I R x dx, |
где R x |
– |
рациональная функция, |
||||||||||
|
Pm x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R x |
, где |
P x |
и Q x |
– многочлены степеней m |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
Qn x |
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и n, соответственно. Если R x |
непрерывна на всей действи- |
||||||||||||
тельной оси (Qn x 0) и n m 2, то |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I R x dx 2 i |
resR z , |
|
|
(5.9) |
||||||||
|
|
|
|
|
z zk |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Imzk 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
где вычеты берутся по всем полюсам функции R z , |
располо- |
||||||||||||
женным в верхней полуплоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||
Пример 20. Вычислить интеграл I |
|
|
. |
|
|||||||||
|
2 1 |
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
Решение. Здесь m 0, |
n 8, поэтому данный интеграл |
||||
сходится. Введем функцию f z |
|
1 |
, которая на дейст- |
||
z2 |
1 4 |
||||
|
|
|
вительной оси (z x ) совпадает с подынтегральной функцией.
Функция |
f z , |
имеет |
|
в |
верхней полуплоскости (Im z 0) |
|||||||||||||||||||
единственную особую |
точку – полюс |
четвертого |
порядка |
|||||||||||||||||||||
z i. Поэтому, согласно формуле (5.9), |
I 2 i Res f |
z |
, i . |
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим вычет функции относительно полюса |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
z i 4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
||||||
Res f z , i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
20lim |
|
|
|
|
|
|
i |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3! |
z i |
i |
4 |
z i |
4 |
|
|
|
z i |
z i |
7 |
|
|
32 |
|
|||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и получаем I |
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
i |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
32 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Интегралы вида |
|
R x cos xdx и |
R x sin xdx, |
|||||||||||||||||||||
где R x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– правильная рациональная дробь, 0 |
– |
любое |
действительное число. Так как
|
R x cos xdx Re |
R x ei xdx, |
|
|
|
|
|
|
|
R x sin xdx Im |
R x ei xdx, |
|
|
то вычисление данных интегралов сводится к вычислению ин-
|
R x ei xdx. При вычислении таких интегра- |
тегралов вида |
|
|
|
лов используется |
|
122 |
123 |
Лемма Жордана. Пусть g z – функция, аналитическая
в верхней полуплоскости, за исключением конечного числа особых точек, и стремится в этой полуплоскости к нулю при
z |
|
. Тогда при |
0 lim |
|
g z ei zdz 0, где C |
R |
– по- |
|
|||||||
|
|
|
R |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
CR |
|
|
|
луокружность в верхней полуплоскости с центром в точке 0 и радиусом R .
Таким образом, если на действительной оси нет полюсов функции R z , то по формуле (5.9) имеем
|
|
res ei zR z . |
|
ei xR x dx 2 i |
(5.10) |
||
|
z zk |
|
|
Imzk 0 |
|
|
|
Замечание. Если 0, то |
|
|
|
|
|
res ei zR z , |
|
ei xR x dx 2 i |
(5.11) |
||
|
z zk |
|
|
|
Imzk 0 |
|
где вычеты берутся по всем полюсам функции R z , располо-
женным в нижней полуплоскости.
|
|
|
|
x 1 cos5xdx |
||
|
Пример 21. Вычислить интегралы |
|
|
и |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
x2 |
2x 5 |
|
x 1 sin5xdx |
|
|
|
|||
|
|
|
. |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||
2x 5 |
|
|
|
Решение. Вычисление данных интегралов сведем к вычислению одного интеграла, замечая, что
|
x 1 cos5xdx |
|
x 1 e5ix |
|||||
|
|
|
|
Re |
|
|
|
dx , |
x |
2 |
2x 5 |
|
2 |
|
|||
|
|
x |
|
2x 5 |
|
x 1 sin5xdx |
|
x 1 e5ix |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Im |
|
|
|
|
dx. |
|
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
2x 5 |
x |
|
2x 5 |
|||||||
|
|
|
|
z 1 e5iz |
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим функцию |
|
|
, |
значения которой совпадают |
||||||||
z2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2z 5 |
|
|
|
|
|
на действительной оси со значениями подынтегральной функ-
ции |
x 1 e5ix |
. Функция |
|
|
||
x2 2x 5 |
|
|
||||
|
|
|
z 1 |
|
z 1 |
|
|
f z |
|
|
|||
|
z |
2 2z 5 |
z 1 2i z 1 2i |
|||
|
|
|
|
имеет в верхней полуплоскости единственную особую точку –
полюс первого порядка z0 1 2i и |
lim f z 0. Поэтому, |
согласно формуле (5.10), |
z |
|
|
|
|
|
|
x 1 e5ix |
|
|
|
z 1 e5iz |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 2 iRes |
|
|
|
,1 2i |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
2z 5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2x 5 |
|
|
|
z2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 i |
z 1 e5iz |
|
|
ie 10 cos5 isin5 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 2z 5 |
z 1 2i |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, значения данных интегралов: |
|
||||||||||||||||||||
x 1 cos5xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re e 10 sin5 icos5 |
e 10 sin5, |
|||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 1 sin5xdx |
e 10 sin5 icos5 e 10 cos5. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Im |
|||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Пример 22. Вычислить интеграл |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinax |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I 0 |
|
dx |
(a 0 |
, b 0). |
(1*) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x2 b2 |
124 |
125 |
y
CR
b
|
Cr |
|
|
|
0 |
|
x |
|
Рис. 5.9 |
|
|
Решение. Введем функцию f z |
eiaz |
такую, что |
|
z z2 b2 |
|||
при z x |
ее мнимая часть Im f z совпадает с подынтеграль- |
ной функцией в (1*). Функция f z имеет особенность на ве-
щественной оси – полюс первого порядка в точке z 0. Поэтому контур интегрирования выберем так, как указано на рис. 5.9 (особая точка z 0 обходится малой полуокружностью Cr
(r b ); большую полуокружность CR выбираем так, чтобы R b ). Таким образом, внутри замкнутого контура находится
лишь один полюс функции |
f z |
в точке z ib . Согласно тео- |
||||||||||||||
реме Коши о вычетах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r |
iax |
|
|
|
|
iaz |
|
|
R |
iax |
|
|
|
|||
|
e |
|
|
|
dx |
|
e |
|
|
|
dz |
e |
|
|
|
dx |
2 |
b |
2 |
|
z |
2 |
b |
2 |
|
2 |
b |
2 |
|
||||
R x x |
|
Cr |
z |
|
r |
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iaz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
dz 2 i , |
|
|
|
|
(2*) |
||||||||
|
|
|
|
2 |
b |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
CR z z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiaz |
|
|
|
|
|
|
|
|
eiaz z ib |
|
|
e ab |
|
|
|||||||
Res |
|
|
|
, ib lim |
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
z z |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 . |
(3*) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z z |
|
b |
|
|
|
z ib |
|
b |
|
|
2b |
|
|
|
Заменяя в первом интеграле (2*) x на x и объединяя его с третьим интегралом, получим
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
iax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
iax |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
e |
dx r |
e |
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x x2 b2 |
x x2 b2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
e |
iax |
e |
iax |
|
|
|
|
|
|
R |
sinax |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 2ir |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
(4*) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x x2 |
|
b2 |
x x2 |
|
b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
Так как |
lim |
|
|
|
eiaz |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, то подынтегральная функция пред- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z 0 z2 b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ставима в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
eiaz |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
lim z 0. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
|
|||||||||||
|
|
|
z z |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Полагая z rei , находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
iaz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
dz |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dz |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i rei d . |
|
|||||||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5*) |
||||||||||||||||||||||
z z |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
Cr |
b |
|
b |
|
Cr |
z Cr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
Интеграл в правой части (5*) при r 0 имеет пределом нуль
|
0 |
|
lim |
rei d 0. |
(6*) |
r 0 |
|
|
|
|
126 |
127 |
Наконец, согласно лемме Жордана, четвертый интеграл в левой части (2*) стремится к нулю при R , так как функция
g z |
|
1 |
|
стремится к нулю при z : |
|||||||||||||||||
z z2 b2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iaz |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
dz 0 . |
(7*) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
R CR z z |
b |
|
|
|
|
|
||||||||||
Таким образом, при R и |
r 0 |
равенство (2*) с учетом |
|||||||||||||||||||
соотношений (3*)–(7*) принимает вид |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sinax |
|
|
|
i |
|
e ab |
||||||||||
|
|
|
2i0 |
|
|
dx |
|
|
i |
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
x x2 b2 |
b2 |
|
b2 |
|||||||||||||||
|
|
sin |
ax |
|
|
|
|
1 e ab . |
|
|
|||||||||||
откуда |
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
0 |
x x |
b |
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Интегралы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I R cosx, sin x dx , |
(5.12) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где R – рациональная функция аргументов cosx и sin x , ограниченная внутри промежутка интегрирования.
Полагаем eix |
z , тогда |
z2 1 |
|
|
z2 1 |
|
||||||||||||||
|
dx |
|
dz |
|
cosx |
sin x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
. |
|||||||
|
iz |
|
|
|
|
|
2iz |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|||||||||
Очевидно, |
что |
в |
этом случае |
|
z |
|
1, |
0 x 2 |
и интеграл |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
(5.12) принимает вид |
I |
F z dz, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.13) |
|||||||||||
где F z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
1 |
|
z . Согласно основной |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
– рациональная функция от |
||||||||||||||||||||
теореме о вычетах интеграл (5.13) равен |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
res F z , z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I 2 i |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.14) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где z1, z2, , zn – |
все полюсы функции F z , лежащие внут- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ри окружности |
|
z |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 23. |
Вычислить интеграл |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 2acos a |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
0 a 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. Делаем замену |
z ei , |
cos |
, |
d |
dz |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
iz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
idz |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
I |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
az2 a2 1 z a |
a |
z2 |
a2 1 |
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Уравнение z2 |
1 |
z 1 0 |
имеет корни |
z a и |
z |
2 |
1 a . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подынтегральная функция представима в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f z |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
1 |
|
z a z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
поэтому z1 a и z2 1 a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
– полюсы первого порядка подынте- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гральной функции |
|
f z . |
Так как |
|
|
0 a 1, |
то в круге |
|
z |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
лежит лишь точка z1 a (рис. 5.10). По формуле (5.14) имеем
Ii 2 ires f a . Находим вычет a
Res f z , a lim |
|
|
z a |
|
|
|
a |
. |
||||
|
|
|
|
|
a |
|
||||||
|
|
z a z a z 1 a |
|
2 1 |
||||||||
Следовательно, I |
i |
2 i |
a |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
a |
|
1 a2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
a2 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
129 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
a |
1 |
1/a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Рис. 5.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.11 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||
Пример 24. Вычислить интеграл |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
21sin x 5 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Делаем замену z eix , |
sin x |
z2 1 |
, |
dx |
dz |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2iz |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
21 |
|
z2 1 5iz |
|
21 |
|
|
z |
1 z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Уравнение z2 |
10i |
z 1 0 |
имеет корни z |
3i |
|
0,65i |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
7i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z2 |
|
|
1,53i . |
Подынтегральная функция представима в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
10i |
1 |
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
поэтому |
z |
|
|
3i |
|
|
и |
z |
2 |
|
7i |
|
– полюсы первого порядка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
подынтегральной функции |
f z .В круге |
|
z |
|
|
1 лежит лишь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка |
z |
3i |
|
|
|
|
|
|
(рис. |
5.11). |
|
По |
|
формуле |
(5.14) |
|
имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
. Находим вычет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
I |
|
|
|
2 ires f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Res |
|
f z , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
z |
|
3i |
|
|
|
3i |
7i |
4i |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
21 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Следовательно, |
I |
|
|
|
|
|
2 i |
21 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1985. Т. 2.
2.Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа / П.И. Романовский. М.: Наука, 1980.
3.Бугров Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1989.
4.Араманович И.Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / И.Г. Араманович, Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. М.: Наука, 1981.
5.Маркушевич А.И. Введение в теорию аналитических функций / А.И. Маркушевич, Л.А. Маркушевич. М.: Просве-
щение, 1977.
6.Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций / А.И. Маркушевич. М.: Наука, 1978.
7.Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов. М.: Наука, 1984.
131
8. Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математи- |
1.3. Тригонометрическая и показательная формы |
|
ки. Функции комплексного переменного. Операционное ис- |
комплексного числа…………………………………..11 |
|
числение / Б.К. Пчелин. М.: Высш. шк., 1973. |
1.4. Кривые и области на комплексной плоскости…..….16 |
|
9. Свешников А.Г. Теория функций комплексной пере- |
Глава 2. Функции комплексного переменного и их |
|
менной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. М.: Наука, 1979. |
дифференцирование……..……………..……….…….26 |
|
10. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функций комплекс- |
2.1. Основные понятия о функции комплексного |
|
ного переменного / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабу- |
переменного………...………………………………...26 |
|
нин. М.: Наука, 1989. |
2.2. Предел последовательности комплексных чисел. |
|
11. Краснов М.Л. Функции комплексного переменного. |
Предел и непрерывность функции комплексного |
|
Операционное исчисление. Теория устойчивости / М.Л. Крас- |
переменного……………………………………....…..35 |
|
нов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. М.: Наука, 1981. |
2.3. Дифференцирование функций комплексного |
|
12. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплекс- |
переменного……………...……………………..…….40 |
|
ного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, |
Глава 3. Интегрирование функций комплексного |
|
1973. |
переменного………….……………………………..….49 |
|
13. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и за- |
3.1. Основные понятия об интегрировании |
|
дачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. |
функций комплексного переменного………….……49 |
|
шк., 1980. Ч. 2. |
3.2. Интегрирование многозначных функций……….….59 |
|
14. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 |
3.3. Интегральная формула Коши……………………..…63 |
|
курс / К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шев- |
Глава 4. Разложение функций комплексного переменного |
|
ченко. М.: Айрис-пресс, 2004. |
в ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые |
|
15. Дежин В.В. Методические указания для организации |
точки и их классификация……...……………...….…..72 |
|
самостоятельной работы по разделу «Функции комплексного |
4.1. Числовые ряды с комплексными членами……….....72 |
|
переменного» курса «Математика» для студентов специально- |
4.2. Степенные ряды………………………………………76 |
|
сти 230201 «Информационные системы и технологии» очной |
4.3. Ряды Тейлора………………………………………....78 |
|
формы обучения / В.В. Дежин, М.Л. Лапшина. ГОУВПО «Во- |
4.4. Ряды Лорана……………………………………..……82 |
|
ронежский государственный технический университет», 2009. |
4.5. Нули функции…………………………………...……91 |
|
|
4.6. Изолированные особые точки…………………….....93 |
|
|
Глава 5. Вычеты и их применение…………………………....101 |
|
СОДЕРЖАНИЕ |
5.1. Вычеты. Вычисление контурных интегралов……..101 |
|
Введение…………………………………………….…………….3 |
5.2. Вычет функции относительно бесконечно |
|
удаленной точки……..…………………….………..115 |
||
Глава 1. Комплексные числа. Комплексная плоскость...........…4 |
||
5.3. Приложение вычетов к вычислению |
||
1.1. Определение комплексного числа………………..…..4 |
||
определенных интегралов…….………………..…..122 |
||
1.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.8 |
||
Библиографический список…………………………………...131 |
||
|
132 |
133 |
Учебное издание
Дежин Виктор Владимирович Лапшина Марина Леонидовна
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
В авторской редакции
Подписано к изданию 30.09.2011. Объем данных 6,9 Мбайт
ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
134