2402
.pdfРис. 13.4. Пространственная модель к задаче 13.1
Решение
Проведем h и f (горизонталь и фронталь) (рис. 13.5).
Проекции перпендикуляра BK к плоскости составляют прямой угол с горизонталью и фронталью плоскости:
B2K2 h2 B1K1 h1
Так как BK двум прямым |
|
fo ho , то она |
|||||||
плоскости . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
K2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
f2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
h2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
C2 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
f |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
K1 |
|
|
h1 |
|||
|
|
|
|
C1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
53 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13.5. Решение задачи 13.1 |
|
Следствие: |
плоскости, проходящие через BK |
|
перпендикулярны . |
|
|
Задача 13.2. Дано: плоскость |
задана следами. |
|
Надо: провести перпендикуляр к плоскости |
||
через т. A2 |
. |
|
Решение
Находим проекцию А1 и восстанавливаем перпендикуляры к следам плоскости через проекции точки А
(рис. 13.6).
A2 h1
A1
Рис. 13.6. Решение задачи 13.2
Задача 13.3. Построить плоскость перпендикулярную к прямой a и проходящую через т. А.
|
|
|
|
Решение |
|
|||
Через т. А проводим горизонталь |
ho2 и фронталь fo1 |
|||||||
(рис. 13.7). |
fo2 |
|
||||||
|
|
|
a2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ho2 |
|
|||
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13.7. Решение |
x |
|
|
|
|
задачи 13.3 |
|||
|
|
|
a1 A1 |
54 fo1 |
|
|
ho1
Чтобы |
плоскость |
была |
a , |
находим |
две |
другие |
|||||
проекции ho1 |
и fo2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Плоскость |
h f |
a . |
|
|
|
|
|
|
|||
13.2. Взаимно перпендикулярные плоскости |
|
|
|||||||||
Две плоскости перпендикулярны, если одна из них |
|||||||||||
содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости. |
|||||||||||
Задача 13.4. Дано: плоскость |
m // n , |
прямая |
|||||||||
a (рис.13.8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Надо: через a провести плоскость |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
||
Через пл. |
проводим горизонталь h и фронталь f и |
||||||||||
выбрав точку A |
a , проводим l h |
f . |
a l |
|
m // n . |
||||||
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
m |
|
|
||
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
f2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
m1 |
|
f2 |
|||
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
n1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
||
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1
55
Рис. 13.8. Решение задачи 13.4
Задача 13.5. Через т.А провести горизонтальнопроецирующую плоскость . задана следами.
|
|
Решение |
|
|
1.Чтобы была |
, надо, чтобы была |
какой-либо |
||
прямой |
. Т.к. |
1 , то такой прямой является горизонталь. |
||
Проведя |
горизонтали получим |
(рис.13.9). |
|
|
2. |
Аналогичные |
построения - для фронтально- |
||
проецирующей плоскости. |
|
|
|
A2 |
fo |
|
fo |
h2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
X |
h1 |
|
||
|
|
|
|
A1 |
ho |
|
ho |
|
|
|
|
|
Рис. 13.9. Решение задачи 13.5 |
Задача 13.6. Дано: f h , т. А.
Надо: Определить расстояние от т. А до плоскости , заданной следами.
Решение
1. Из т. А2 опускаем перпендикуляр на (рис. 13.10);
56
2. Вводим горизонтально проецирующую плоскость
1 |
через т. А2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Находим линию пересечения плоскостей и : |
||
|
|
|
12 |
; |
|
4. |
Находим т. K2 |
пересечения перпендикуляра с |
|
линией 1 2 и определяем |
1; |
|
5.Определяем видимость отрезка AK ;
6.Определяем натуральную величину отрезка AK ,
которая и будет равна расстоянию от т.А оп плоскости .
|
|
|
|
f2 |
|
|
A |
|
22 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
// |
|
K2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
21 |
f1 |
h2 |
x |
X |
11 |
K1 |
|
|
|
|
|
|
|
h1
lн.в.
A1 //
Рис. 13.10. решение задачи 13.6
Вопросы самопроверки:
1.Какие задачи относятся к метрическим?
57
2.Сформулируйте теорему о прямом угле.
3.Как провести прямую линию перпендикулярную плоскости?
4.Как построить две взаимно перпендикулярные плоскости?
14. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
Трудоемкость и точность графического решения задач зачастую зависит от того, какое положение занимают геометрические фигуры по отношению к плоскостям проекций.
Наиболее выгодным являются положения фигуры, которые занимают частное положение (рис. 14.1, 14.2).
2
1
x
58
Рис. 14.1. Положение фигуры перпендикулярное к плоскости проекций
2 |
1
x
Рис. 14.2. Положение фигуры параллельное плоскостям проекций.
Каким же образом получить эти удобные проекции?
59
При ортогональном проецировании это может быть достигнуто двумя путями:
1- перемещением самой фигуры, так чтобы она заняла частное положение;
2- выбором новых проекций, по отношению к которым сама фигура окажется в частном положении.
Такие преобразования проводят различными способами: 1 – способ вращения; 2 – способ замены плоскостей проекций;
3 – способ параллельного перемещения и др. Рассмотрим каждый из этих способов.
14. 1. Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций
При вращении т. А вокруг неподвижной оси
перпендикулярной плоскости проекций |
1 |
на |
2 |
т. А2 |
|
|
|
|
|
||
перемещается по окружности, а т. А1 |
на |
1 |
по прямой (рис. |
||
|
|
|
|
|
|
14.3). |
|
|
|
|
|
А2 |
|
А2 |
i2 |
По окружности |
|
|
|
|
x |
i1 |
По прямой |
|
||
|
|
А1 А1
Рис. 14.3. Вращение точки вокруг неподвижной оси
60
Задача 14.1. Отрезок АВ на прямой общего положения привести в положение параллельное 2 .
Решение
При вращении АВ повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен 2 (рис. 14.4). B2 A2 - это натуральная величина отрезка АВ.
|
A1 |
B2 |
|
i2 |
|
A2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i1 |
|||
|
A1 |
|
|
i2 |
||
|
|
|
|
|
|
Рис. 14.4. Решение задачи 14.1
Задача 14.2. Отрезок b прямой общего положения привести в положение перпендикулярное 2 .
Решение |
|
|
|
Разворачиваем отрезок b // |
1 (рис.14.5). |
||
i2 |
b2 |
|
b2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
x |
i61 |
b1 |
|
||
b1 |
1 |
b1 |
|
Рис. 14.5. Решение задачи 14.2 |
|
||||
Чтобы плоскость заняла частное положение, достаточно |
||||||
вращением перевести прямую принадлежащую этой |
||||||
плоскости в частное положение. Количество построений |
||||||
может быть сокращено, если в качестве прямой взять |
||||||
горизонталь или фронталь. |
|
|
|
|
|
|
Вращение какой-либо фигуры вокруг оси сводится к |
||||||
вращению точек этой фигуры вокруг этой оси. |
|
|||||
Задача 14.3. Определить натуральную величину |
||||||
треугольника |
ABC , |
принадлежащего |
фронтально- |
|||
проецирующей плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
||
Пусть ось вращения i |
проходит через т.С (рис.14.6). |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
K2 |
|
|
|
|
|
|
B2 |
C2 |
i2 |
B K |
2 |
A |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
x |
B1 |
B01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
K1 |
|
|
K01 |
|
|
|
А1 |
|
|
|
|
А01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 C1 i2 |
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|