2405
.pdf13) пара пересекающихся плоскостей |
x2 |
− |
y2 |
= 0 ; |
||||||||||
a |
2 |
b2 |
||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
14) пара |
|
мнимых |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
пересекающихся |
|
|
|
плоскостей |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
пара |
|
|
параллельных |
|||||
|
|
|
|
|
|
15) |
|
|
||||||
o |
|
|
|
x плоскостей y2 = a2 |
(a ≠ 0); |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
16) пара |
|
|
|
|
мнимых |
|||
y |
|
|
|
параллельных |
|
|
|
|
плоскостей |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y2 + a2 = 0 (a ≠ 0); |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рис. 4.9 |
17) |
пара |
|
|
|
совпадающих |
|||||||
|
|
|
|
плоскостей y2 = 0 .
Уравнения 1)–17) называются каноническими уравнениями поверхностей второго порядка.
При преобразовании уравнения поверхности второго порядка (1) можно, как и в случае кривой второго порядка,
использовать инварианты. Инвариантами поверхностей второго порядка являются
s1 = a11 + a22 + a33
s = |
a11 |
a12 |
+ |
a11 |
a13 |
+ |
|
a22 |
a23 |
, |
||||
2 |
a12 |
a22 |
|
a13 |
a33 |
|
|
a23 |
a33 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
δ = |
a12 |
a22 |
a23 |
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a13 |
a23 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
a12 |
a22 |
a23 |
a2 |
|
. |
|
|
||||
|
|
|
a |
a |
a |
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
13 |
23 |
33 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
a1 |
a2 |
a3 |
|
a |
|
|
|
|
181
Их значения не меняются при повороте и параллельном переносе осей координат.
Пример 1. Поверхность задана уравнением в прямоугольной системе координат
x2 +5y2 + z2 − 2xy + 6xz − 2 yz − 2x −6 y + 2z = 0 .
Найдите каноническую систему координат и каноническое уравнение этой поверхности. Определите тип поверхности.
Решение. Найдем сначала ортогональное преобразование переменных, приводящее матрицу А квадратичной формы
x2 +5y2 + z2 − 2xy + 6xz − 2 yz к диагональному виду.
1 |
−1 |
3 |
|
|
|
||
A = −1 5 −1 . |
|
|
|
||||
3 |
−1 |
1 |
|
|
|
||
Ее характеристический многочлен |
|
|
|
||||
det (A −λI )= |
|
1−λ |
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−1 |
5 −λ |
−1 |
|
= |
|
|
|
|
3 |
−1 |
1−λ |
|
|
= −λ3 + 7λ2 −36 = −(λ + 2)(λ −3)(λ −6).
Следовательно, матрица А имеет собственные значения
λ1 = −2, λ2 = 3, λ3 = 6 .
Для нахождения собственных векторов матрицы А решаем однородные системы линейных уравнений с матрицами A + 2I, A −3I, A −6I соответственно и выделяем по одному
ненулевому решению:
182
|
|
|
|
3 −1 3 1 −7 1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
A + 2I = |
|
−1 7 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 3 |
|
~ |
|
||||
|
|
|
|
−1 ~ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3 −1 3 |
|
|
|
0 0 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 −7 1 1 −7 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
~ |
|
0 20 0 |
|
|
|
0 1 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
~ |
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
e' |
={1, 0, −1}т ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 −1 3 1 −2 1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 2 |
|
|
|
|
~ |
|
−2 |
−1 3 |
|
~ |
||||||
|
A −3I = |
−1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3 −1 |
−2 |
|
|
|
3 |
−1 −2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 −2 1 1 −2 1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0 −5 5 |
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
, |
|
|
|||||
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
−1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 5 |
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
e |
' ={1, 1, 1}т ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 −1 3 1 1 1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 −1 |
|
|
|
|
~ |
|
−5 |
−1 3 |
|
~ |
||||||
|
A −6I = |
−1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3 −1 |
−5 |
|
|
|
3 |
−1 −5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 4 |
|
8 |
|
|
|
0 1 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
~ |
|
|
~ |
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 −4 |
−8 |
|
|
|
0 0 0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
e' |
={1, − 2, 1}т . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы e' |
, e' |
, e' |
ортогональны друг другу как собственные |
|||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы симметричной матрицы, соответствующие различным собственным значениям. Нормируя их, получаем
183
e |
= |
1 |
{1, 0, −1}т , |
||||||
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e |
|
= |
1 |
|
{1, 1, 1}т , |
||||
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
e |
= |
|
|
1 |
|
{1, − 2, 1}т |
|||
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
и матрицу перехода Р к новому ортонормированному базису
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
P = (e1 |
|
e2 |
|
e3 )= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
−2 . |
|||||||
|
|
6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим правильность нахождения матрицы Р:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 0 − 3 |
|
1 −1 3 |
|
|||||||||||
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
AP = |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
−1 5 −1 P = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
1 −2 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
−1 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 3 |
|
0 |
|
2 3 |
|
|
3 |
|
|
2 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3 2 3 2 3 2 0 |
|
|
|
2 −2 |
= |
||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−12 |
|
|
− 3 |
|
|
2 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
0 |
3 |
0 |
|
= diag{λ |
|
, |
λ |
2 |
, λ |
3 |
}. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица Р найдена верно.
Применяя к исходному уравнению ортогональное преобразование координат
184