2406
.pdfФункция U(x) - нечетная (рис.1), поэтому все коэффициенты an 0 ,
b |
2 |
|
|
cos |
x |
sin nxdx |
1 |
|
|
sin n |
|
|
1 |
x |
sin n |
1 |
|
x dx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos n |
|
1 |
|
x |
cos n |
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n |
1)(2n |
1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
cos |
x |
|
|
|
|
8 sin x |
|
2sin 2x 3sin 3x |
|
|
K |
|
n sin nx |
|
K . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
3 5 |
|
|
|
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
(2n |
1)(2n |
1) |
|
Полученное разложение данной функции справедливо во всей ее области непрерывности при всех значениях x, кроме xk=2 k, k=0, 1, 2,…, которые являются точками разрыва функции. В точках xk по теореме Дирихле сумма полученного ряда равна нулю.
3.3. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в интервале (0, )
Во многих задачах функция f (x) задается в интервале (0, ) . Требуется представить данную функцию в виде бесконечной суммы синусов и косинусов углов, кратных
73
числам натурального ряда, т.е. необходимо произвести разложение функции в ряд Фурье. Обычно в таких случаях поступают следующим образом.
Чтобы разложить заданную функцию по косинусам,
функцию |
f (x) доопределяют в интервале ( |
,0) |
четным |
образом, |
т.е. так, что в интервале ( , ) |
f (x) |
f ( x) . |
Тогда для «продолженной» четной функции справедливы все рассуждения предыдущего параграфа, и, следовательно, коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам
ak |
2 |
f (x) coskx dx |
(k |
0,1, 2, ) , |
|
|
|
||||
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
bk |
0 |
|
(k |
0,1, 2, ) . |
В этих формулах, как видим, фигурируют значения функции f (x) , лишь заданные в интервале (0, ) . Чтобы
разложить функцию f (x) , заданную в интервале (0, ) , по синусам, необходимо доопределить эту функцию в интер-
вале ( ,0) |
нечетным образом, |
т.е. так, что в интервале |
|||
( , ) f ( x) |
f (x) . |
|
|
||
Тогда вычисление коэффициентов ряда Фурье нуж- |
|||||
но вести по формулам |
|
|
|||
ak |
0 |
|
(k |
0,1, 2, ) , |
|
bk |
2 |
f (x) sin kx dx |
(k |
0,1, 2, ) . |
|
|
|
||||
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
74
Замечание. Функция f (x) , заданная в интервале (0, ) может быть доопределена в интервале ( ,0) лю-
бым образом, а не только так, как было сделано выше. Но при произвольном доопределении функции разложение в ряд Фурье будет более сложным, чем то, которое получается при разложении по синусам или косинусам.
Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f (x) x , заданную в интервале (0, )
(рис.2а).
Решение. Доопределим функцию f (x) в интервале ( ,0) четным образом (график симметричен относительно оси Oy ) (рис.2б).
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
0 |
x |
|
0 |
x |
|
|
|
а |
|
|
|
б |
|
|
|
|
Рис.2 |
|
||
a0 |
2 |
( |
x) dx |
2 ( |
x)2 |
, |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
0 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
75
2 |
|
|
2 ( x) sin kx |
|
|||
ak |
|
|
( x) coskx dx |
|
|
|
|
|
|
|
k |
0 |
|||
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 1 |
|
sin kx dx |
2 |
|
coskx |
|
|
|
2 |
|
(1 cosk ) . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
k 0 |
|
|
k |
2 |
|
0 |
|
k |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как cosk |
|
|
|
( 1)k , то |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
при k |
|
|
2n |
|
|
ak |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при k |
|
|
2n |
1 |
|
ak |
4 |
|
|
|
|
|
|
(n 1, 2, ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(2n |
|
1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
4 cos x |
cos3x |
cos5x |
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
32 |
|
|
52 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4. Разложение в ряд Фурье периодической функции, период которой равен 2l
До сих пор мы рассматривали функцию, заданную в интервале ( , ) , считая ее вне этого интервала периоди-
ческой, с периодом 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим теперь функцию |
f (x) , период которой |
|||||||||
равен 2l, т.е. f (x) |
f (x |
2l) , и покажем, что в этом случае |
||||||||
функция f (x) может быть разложена в ряд Фурье. |
|
|||||||||
Положим x |
|
l |
t , |
или t |
|
x |
. Тогда при изменении |
|||
|
|
|
l |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x от –l до l новая переменная t |
изменяется от |
до и, |
||||||||
следовательно, функцию |
f |
lt |
можно рассматривать как |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
76
функцию, заданную в интервале от |
|
|
до |
|
и периодиче- |
|||||||||||||||||||||||||
скую вне этого промежутка, с периодом 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Итак, |
f (x) f |
|
lt |
F (t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Разложив F(t) |
в ряд Фурье, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
F (t) |
|
a0 |
|
|
|
(ak coskt |
|
bk |
sin kt) |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
1 |
|
F (t) coskt dt |
|
|
|
|
(k |
0,1, 2, ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
bk |
|
|
f (t) sin kt dt |
|
|
|
(k |
0,1, 2, ) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Переходя к старым переменным, т.е. полагая |
t |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dt |
|
dx , |
|
|
|
|
получим |
|
|
F |
|
|
x |
f |
|
l |
|
|
x |
|
f (x) , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
||||||||||||||||||
coskt cos |
k |
|
|
x и sin kt |
sin |
k |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То есть ряд Фурье для функции f (x) , заданной в интервале ( l,l) , будет иметь вид:
f (x) |
a0 |
|
ak cos |
k |
x |
bk |
sin |
k x |
, |
2 k 1 |
|
l |
l |
||||||
|
|
|
|
|
|
где
77
a0 |
1 l |
|
f (x) dx , |
|
|
|
||
l |
|
l |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
ak |
1 l |
f (x) cos |
k |
x |
dx |
, |
||
|
|
|
|
|
||||
l |
l |
|
l |
|||||
|
|
|
|
|
b |
1 l |
f (x) sin |
k |
x |
dx |
(k 0,1, 2, ) . |
|
|
|
|
|
||||
k |
l |
|
|
l |
|
||
|
l |
|
Если функция f (x) четная, то формулы для определения коэффициентов ряда Фурье упрощаются:
a0 |
|
2 l |
f (x) dx , |
|
|
|
|
|
|||||
|
l |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ak |
|
2 l |
f (x) cos |
|
k |
x |
|
dx |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
l |
0 |
|
|
l |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
bk |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(k |
0,1, 2, ) . |
||
В случае, если функция |
f (x) |
нечетная: |
|||||||||||
a0 |
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ak |
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
|
|
2 l |
f (x) sin |
k |
x |
dx |
|
(k 0,1, 2, ) . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k |
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
78
Если функция f (x) задана в интервале (0,l) , то ее можно продолжить в интервале ( l,0) либо четным, либо нечетным образом. В случае четного доопределения функции в интервале ( l,0) коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам
ak |
|
2 l |
f (x) cos |
k |
x |
dx , |
(k 0,1, 2, ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
l 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
l |
|
|||
bk |
0 . |
|
|
|
|
|
В случае нечетного доопределения функции в интервале ( l,0) коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам
ak 0 ,
b |
2 l |
f (x) sin |
k |
x |
dx |
(k 0,1, 2, ) . |
|
|
|
|
|
||||
k |
l 0 |
|
|
l |
|
||
|
|
|
|
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию
f (x)
x , если 0 x 2 4 x , если 2 x 4
по синусам кратных дуг.
Решение. График заданной функции представлен на рис.3. Продолжим функцию нечетным образом (рис.4), т.е. будем вести разложение по синусам.
79
y
0 2 4 |
x |
Рис.3
y
4 |
2 |
0 2 4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4 |
|
|
|
|
Все коэффициенты ak 0 |
(k 0,1, 2, ) , |
|||||||
|
2 4 |
|
k |
x |
|
1 4 |
k x |
|
||
b |
|
|
f (x) sin |
|
|
dx |
|
x sin |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
k |
4 0 |
|
|
4 |
|
2 0 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
80
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
(4 |
x) sin |
k |
x |
dx |
(k 1, 2, ) . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Введем замену t |
|
|
|
|
x |
. Тогда при x |
2 |
|
|
t |
|
, при |
x 4 |
||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
1 2 |
|
4t |
sin kt |
4 |
|
dt |
|
1 |
|
|
|
4 |
|
4t |
sin kt |
4 |
dt |
|
|
|
|||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
8 |
|
2 |
t sin kt |
dt |
8 |
|
|
( |
t) sin kt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
t |
coskt |
|
2 |
k |
||
|
|||
|
|
|
8 |
|
2 |
|
|
( |
t) coskt |
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
coskt |
dt |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
2 k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
8 |
|
|
|
coskt |
dt |
16 |
sin |
k |
x |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 k |
2 k 2 |
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом
|
|
|
|
|
sin |
3 |
x |
|
|
sin |
5 |
x |
|
|
f (x) |
16 |
sin |
x |
|
4 |
|
4 |
. |
||||||
2 |
4 |
32 |
|
52 |
|
|
81
3.5. Комплексная форма ряда Фурье
Пусть f (x) - |
периодическая функция периода |
||
T 2 , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд |
|||
Фурье, тогда |
|
|
|
f (x) |
a0 |
an cosnx bn sin nx , |
|
2 |
|
||
|
|
n 1 |
при этом коэффициенты ряда определяются равенствами. Преобразуем общий член ряда an cosnx bn sin nx с помощью формул Эйлера:
a |
|
cosnx |
b sin nx a |
|
einx e |
inx |
|
|
ib |
|
einx |
e inx |
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
2i |
i |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
einx |
e inx |
|
einx |
e inx |
|
a |
n |
|
|
ib |
|
a |
n |
ib |
|
||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
ib |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
einx |
|
|
n |
e |
inx . |
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если положить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
a0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
an |
ibn |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
an |
|
ibn |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, что то же,
c n cn ,
то общий член ряда Фурье запишется в виде:
82