2912
.pdfпараболы помещается в точке (, ), ее осью служит прямая х = . При а > 0 вершина наинизшая точка параболы, при а < 0 наивысшая.
Пример. Построить графики функций: а) у=2х*+4х—6;
б) y x2 4x .
Решение. а) Преобразуем квадратный трехчлен:
|
|
|
|
y 2x2 |
4x 6 2 x 1 2 8 . |
|
|
|
|
Вершина параболы |
точка О'( 1, |
8), ось прямая х = 1. Вершина здесь |
наинизшая точка графика |
||||||
(минимум и наименьшее значение функции получаются при х = |
1). Наметим еще, точки пересечения графика |
||||||||
с осями координат: при x = 0 имеем y = 6. Если y = 0, то x1 |
3, x2 |
1. По указанным данным парабола |
|||||||
построена на рис. 44, а. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
б) |
На |
рис. |
44, б |
показан |
график |
второй |
функции |
|
y |
x2 |
4x |
x 2 2 |
4 . |
|
|
|
|
|
Проведем теперь исследование квадратного трехчлена, т. е. выясним его свойства в зависимости от числовых значений коэффициентов а, b, с в его выражении (5.2.1).
Обозначим в равенстве (5.2.2) величину b2 - 4ac через d:
|
b |
2 |
d |
|
|
y a x |
|
; |
(5.2.5) |
||
|
|
|
|||
2a |
|
4a |
|||
|
|
|
|
d = b2 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена. Свойства трехчлена (5.2.1) (и расположение его графика) определяются знаками дискриминанта d и старшего коэффициента а.
1) a > 0, d < 0. Вершина графика О'( |
b/(2a), d/(4a)) лежит выше оси Ох, поскольку d/(4a) > 0; так как а > 0, |
то график расположен выше вершины О'; он лежит в верхней полуплоскости (у > 0; рис. 45, а). |
|
2) a < 0, d < 0. Вершина O'( b/(2a), |
d/(4a)) лежит ниже оси Ох и является наивысшей точкой графика. |
Парабола расположена в нижней полуплоскости
(у < 0; рис. 45,6).
3) a > 0, d > 0. Вершина О' лежит ниже оси Ох, парабола пересекает ось Ох в двух точках x1, x2 (рис. 45, б).
76
4) а < 0, d > 0. Вершина О' лежит выше оси Ох, парабола снова пересекает ось Ох в двух точках x1, x2 (рис.
45, г).
5)а > 0, d = 0. Вершина лежит на самой оси Ох, парабола расположена в верхней полуплоскости (рис. 45, д).
6)a < 0, d = 0. Вершина снова лежит на оси Ох, но парабола расположена в нижней полуплоскости (рис. 45, е).
Выводы. Если d < 0, то график функции весь лежит либо выше (при а > 0), либо ниже (при а < 0) оси абсцисс. Функция у = ax2 + bх + с с d < 0 знакопостоянна. Если d = 0, то положение отличается лишь тем, что вершина параболы лежит на оси Ох (функция знакопостоянна, но в одной точке обращается в нуль). Если d > 0, то функция знакопеременная (график частью лежит ниже, частью выше оси Ох). Квадратный трехчлене d > 0 имеет два корня (нуля) x1, x2 . При а > 0 он отрицателен в интервале между корнями
(рис. 45, е) и положителен вне этого интервала. При а < 0 он положителен в интервале между корнями) (рис. 45, г) и отрицателен вне этого интервала.
Все эти сведения будут использованы в теории квадратных уравнений и при решении квадратных неравенств.
77
Пример. Построить графики функций:
y |
2 |
|
; y |
x 1 |
; y |
3x 1 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4x |
3 |
x 3 |
|
|
2x 5 |
|||||
Решение. а) Перепишем у в виде y |
|
|
12 |
|
|
. |
|
|
|||
|
x |
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78
График получается из графика функции y |
|
12 |
|
сдвигом влево на 3/4 |
|||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
единицы; его асимптотами будут прямые у = 0 и x |
3 |
4 |
, для построения гра- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фика использована также точка его пересечения с осью Оу: |
х = 0, y |
2 |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
График изображен на рис. 46, а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) Имеем y |
|
x |
1 x |
3 |
2 |
|
1 |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
3 |
|
x 3 |
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Асимптоты графика |
линии х = |
3 и у = 1; точки пересечения с осями |
|||||||||||||||||||
координат: (0, 1 |
) и ( |
1, 0). График построен на рис. 46,б. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) График показан на рис. 46. в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Замечание. |
|
Условие |
ad—bc |
|
0 |
|
имеет |
|
простой |
смысл: |
если |
ad bc = 0, то числитель и знаменатель в записи формулы, задающей функцию, пропорциональны и при всех значениях х d/c функция сводится к постоянной: y = а/с. Этот случай естественно исключить.
5.3. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика.
Если имеется график функции y = f(x), то нетрудно построить графики функций y = f(x), y = f( x), y = f( x). Эти графики будут симметричны с графиком функции y = f(x) относительно оси Ох, оси Оу, начала координат соответственно. Рассмотрим каждый случай отдельно.
1) y = f(x); точки этого графика будут симметричны сточками графика функции y = f(x) относительно оси Ох (каждой точке (х, f (х)) отвечает точка (х, f(x)), симметричная с ней).
79
2) y = f( x); в этом случае область определения функции y = f( x) состоит из точек оси Ох, симметричных с точками области определения функции
y = f(x) относительно |
начала координат. Например, функция y |
x |
|
||
|
|
|
|||
определена при х >= 0, функция же у = |
x определена при х <= 0. Графики |
||||
функций y = f(x) и y = f( |
x) состоят из попарно симметричных относительно |
||||
оси Оу точек (х, f(x)) и ( х, f(x)). |
|
|
|
|
3) y = f( x); точки этого графика будут соответственно расположены симметрично точкам (х, f (х)) графика у = f (х) относительно начала координат.
На рис. 47 показан график некоторой функции y = f(x) и графики функций y = f(x), y = f( x), y = f( x).
По графику функции y = f(x) можно также построить график функции
вида |
|
y f x , |
const 0. |
Положим для определенности |
> 0 (случай < 0 сведется к случаю |
положительного после преобразования симметрии, рассмотренного только что).
Ясно, что график функции y = af(x) получится из графика функции у = f(x) умножением всех ординат на одно и то же число (так получались, например, графики функций y ax2 по графику функции у = x2). Если > 1 (например, = 2, как на рис. 48), то можно сказать, что график растягивается в
раз в направлении оси Оу. При |
< 1 (на рис. |
48 показан случай |
1 |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
«растяжение» в |
раз удобней назвать сжатием (в 1 |
раз). |
|
|
|
|
Наконец, покажем еще, как по графику функции y = f(x) найти график |
||||||
функции y = f( |
x). Пусть сначала |
> 1. Тогда точкам графика y = |
f(x} |
|
с |
координатами (х, у) можно поставить в соответствие точки графика y = f(ax) с теми же ординатами у и абсциссами х/ в а раз меньшими, чем абсциссы х графика y = f(x). Так, в случае = 2 мы будем получать равные значения функций y = f(x) и y = f(2x), выбирая для второй вдвое меньшие абсциссы, чем для первой. При 0 < < 1 действие деления абсцисс х на приведет не к
80
уменьшению (сжатию), а к увеличению [(растяжению) абсцисс. На рис. 49 показаны график некоторой функции y = f(x) (заданной на сегменте [a, b]) и графики функций y = f(2x), y = f(x/2). Заметим, что сама область оси Ох, в которой задана функция y = f(x), соответственно растягивается или сжимается.
Рассмотренные преобразования могут осуществляться одновременно в разных сочетаниях. Так, чтобы по графику функции y = f(x) построить график функции y 3 f x , следует
выполнить преобразования: 1) сжатия в направлении Ох в два раза, 2) растяжения в направлении оси Оу в три раза, 3) отражения относительно оси Ох.
Преобразования сжатия (растяжения) в направлениях осей Ох и Оу встретятся, например, при построении графиков некоторых тригонометрических функций.
5.4. Построение графиков функций у = | f(x) |, y = ( |х| ), y = | f( |x| ) |.
Если дан график функции y=f(x), то легко можно получить и графики функций у = | f(x) |, y = ( |х| ), y =
| f( |x| )|;
1) у = | f(x) |; ясно, что область определения у этой функции та же, что и у функции у = f (х). Если для данного х значение f x 0 , то ординаты обоих графиков совпадают, графики имеют общую точку. При
f(х) < 0, в силу определения модуля (п. 6), |f(x)| = f(x) и точки графиков симметричны относительно оси Ох. Таким образом, все точки графика функции y = f(x), лежащие выше оси абсцисс и на ней, принадлежат также и графику функции y = |f(x)|, все точки графика функции y = f{x), лежащие ниже оси абсцисс, нужно зеркально отразить относительно этой оси, чтобы получить точки графика функции y = |f(x)|, соответствующие тем же абсциссам (рис. 50).
2) Для построения графика функции y = f(|x|) заметим, что при всех х >= 0 будет |х| = х и, значит, f (|x|) = f (х). Таким образом, все точки графика функции y = f(x), расположенные в правой полуплоскости, будут принадлежать также и графику функции у = f(|x|). Далее, функция y = f(|x|) четная (п. 4.4).
81
В самом деле, |
x |
|
x |
и, значит, f (| x|) = f(|x|). Поэтому для построения графика функции y = f(|х|) по |
|
|
|
|
|
графику функции y = f(x) нужно сохранить без изменения часть данного графика, расположенную в правой полуплоскости, и зеркально отразить ее относительно оси ординат (при этом часть графика
y = f(x), расположенную в левой полуплоскости, нужно отбросить). Соответствующая иллюстрация дается на рис. 51.
3) Для построения графика функции у = | f (| х |)| следует последовательно перейти от графика функции у = f (х) к графику функции y = f(|x|), а затем от него к графику y = | f ( |x| ) |. Пример показан на рис. 52.
Пример 1. Построить графики следующих функций: а) у = х—1;
б) y = |х—1|; в) у = |х| 1; г) y = || x | - 1|.
Решение. Каждая из заданных функций определена на всей оси абсцисс. В качестве основного возьмем график функции у = х 1 и из него подходящим преобразованием получим все другие требуемые графики.
а) График линейной функции у = х 1 изображен на рис. 53, а.
б) Для построения графика функции у = |х 1| следует часть графика функции у = х 1, лежащую ниже сси Ох, зеркально отразить в оси Ох (рис. 53,6).
в) В соответствии с общим правилом построения графика функции
y = f(|x|) по графику функции y = f(x) поступаем так: берем график функции у = х 1; часть его, лежащую левее оси Оу, отбрасываем, а часть, лежащую правее оси Оу, зеркально отражаем в оси Оу. В результате получаем график функции (рис. 53, б).
82
г) Пользуясь уже имеющимся графиком функции у = |х| 1, получаем график у =| |х| 1|, как показано на рис. 53, г.
Пример 2. Построить графики следующих функций: |
|||||||||||||
а) y x2 |
|
|
|
|
|
|
; в) y x2 4 |
|
x |
|
3 ; |
||
4x 3 ; б) y |
x2 4x 3 |
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) y |
x2 |
4 |
|
x |
|
3 |
. |
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Каждая из данных функций определена на всей оси абсцисс. В |
||||||||||||||||||||||||
качестве основного возьмем график функции y |
x2 |
4x 3 . |
||||||||||||||||||||||||
а) Перепишем выражение, задающее функцию, в виде у = (х 2)2 |
1; график функции парабола с вершиной |
|||||||||||||||||||||||||
(2, |
1) (рис. 54, а). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
б) График функции y |
|
x2 |
|
4x |
3 |
|
показан на рис. 54,6. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
в) Заметим, что функцию |
|
y |
4 |
x |
|
3 можно представить в виде |
||||||||||||||||||
y |
|
x |
|
2 |
4 |
|
x |
|
3 (так как |
x 2 |
|
x |
|
2 ); |
график |
этой |
функции изображен на |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
рис. 54, в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
г) График функции y |
|
|
4 |
|
x |
|
|
3 |
показан на рис. 54, г. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83
Пример 3. Построить графики следующих функций:
a) |
y |
log2 |
x |
3 ; |
б) |
y |
log2 |
4x |
12 ; в) y 2log2 x 3 ; |
||
г) |
y |
log2 |
x |
3 |
; |
д) y |
log2 |
x |
3 |
. |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
График функции |
y |
log2 |
x |
3 получается из графика y log2 x со |
сдвигом на три единицы вправо. На рис. 55, а показаны оба указанных графика.
б) Записываем функцию в виде |
|
|||||||||
|
|
|
y |
log2 4x |
12 |
log2 4 log2 |
x 3 2 log2 x 3 |
|||
Ее график получается из графика y |
log2 x |
3 сдвигом на две единицы вверх (рис. 55,6). |
||||||||
в) |
График |
y |
2log2 |
x |
3 |
получается растяжением в направлении оси |
||||
Оу в два раза (рис. 55, б) из графика y log2 x |
3 . |
|||||||||
г) |
y |
log2 |
x |
3 |
|
; построение понятно из рис. 55,г. |
||||
д) |
y |
|
x |
|
; построение понятно из рис. 55, д. |
|||||
log2 |
3 |
5.5. Сложение графиков. Иногда функция, график которой должен быть построен, представляется как сумма двух простейших функций, графики
84
которых нам знакомы или легко могут быть построены. В этом случае можно применить прием графического сложения ординат этих графиков (для краткости говорят просто о сложении графиков). Покажем этот прием на примерах.
Пример 1. Построить график функции y |
x3 2x 2 . |
Решение. Можно представить данную |
функцию как сумму функций |
у = х3 и у = 2x + 2, графики которых нам хорошо знакомы. Они изображены на рис. 56 тонкими линиями: это прямая у = 2x + 2 и кубическая парабола у = х3. Далее производится суммирование ординат: к ординатам точек кубической параболы прибавляются (с учетом знака!) ординаты точек прямой. При выполнении этой операции удобно пользоваться мерительным циркулем; следует использовать наиболее важные и характерные точки каждого из графиков (в нашем примере вершину О(0, 0) параболы, точки пересечения прямой с осями и т. д.).
Итогом построения служит график, показанный жирной линией. Мы можем многое сказать о функции: она имеет максимум и минимум, обращается в нуль в одной точке и т. д. Положение этих характерных точек ее графика мы могли бы найти приближенно по чертежу.
Пример 2. Построить график функции y 2x 2x .
Решение. График данной функции можно получить сложением графиков показательной функции y 2 x (п. 4.13) и линейной функции у = 2х (п. 4.9).
Это сделано на рис. 57.
График пересекает ось Ох в точках х = 1, х = 2, являющихся нулями функции y 2x 2x .
Обратим еще внимание на то, что прямая у = 2х является асимптотой графика (так как при х, стремящемся к
минус бесконечности, разность между значениями функций y 2x 2x и у = 2х стремится к нулю). Из построения видно, что функция имеет точку минимума, найти ее точное положение для нас затруднительно.
Пример 3. Построить график функции |
y |
x2 |
x4 . Решение. График |
||
может быть построен вычитанием ординат графика |
y |
x4 из ординат графика |
|||
y x2 (рис. 58). В данном случае полезно |
дополнить |
это |
построение |
||
некоторым общим исследованием свойств функции |
y x2 |
x4 . |
Ясно, что |
функция определена для всех значений х и является четной. Она обращается в
85