3110
.pdfНайдем по выборочным данным:
1) общую выборочную среднюю
|
|
1 |
|
x |
|||
|
|||
kn |
|||
|
|
k n
xij
i 1 j 1
2) групповую выборочную среднюю
|
|
1 |
n |
|
xiгр |
xij i 1 k |
|||
|
||||
n |
||||
|
|
j 1 |
3) общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей выборочной средней
|
k |
n |
|
|
S |
общ |
(x |
x)2 |
|
|
ij |
|
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|
|
4) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая характеризует рассеяние между выборками (группами),
k
Sфакт n (xiгр x)2
i1
5)остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений выборки (группы) от своей групповой выборочной средней, которая характеризует рассеяние внутри выборки (группы),
k |
n |
||
Sост |
(xij |
|
iгр)2 |
x |
|||
i 1 |
j 1 |
Замечание 17.1. Формулы 1-5,перечисленные выше, мы уже выписывали в п. 14.5 для проверки гипотезы о равенстве нескольких математических ожиданий случайных величин.
Выпишем общую, факторную и остаточную выборочные дисперсии, разделив полученные суммы квадратов на соответствующее число степеней свободы:
S |
2 |
Sобщ |
|
S |
2 |
Sфакт |
|
S |
2 |
Sост |
|
общ |
nk 1 |
факт |
k 1 |
ост |
k(n 1) |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Для проверки влияния фактора F на изменение выборочных средних на
111
каждом уровне можно использовать критерий Фишера-Снедекора. Влияние фактора признается значимым, если
S 2
факт F Sост2 кр
где Fкр F k 1 k (n 1) находится по табл. П. 6 распределения Фишера-Снедекора
при уровне значимости .
Замечание 17.2. Если в результате испытаний получены выборки различных объемов, то дисперсионный анализ также можно применять, используя мо-
дифицированные формулы для отыскания Sобщ2 Sфакт2 Sост2 (см. [7, с.208]).
Замечание 17.3. Дисперсионный анализ нами уже применялся для проверки гипотезы о равенстве нескольких математических ожиданий случайных величин, распределенных по нормальному закону. Можно утверждать, что однофакторный дисперсионный анализ и сравнение нескольких математических ожиданий являются различными приемами решения одной и той же задачи.
Пример 17.1. Группа социологов исследовала влияние уровня образования на заработную плату жителей Воронежской области. Результаты приведены в табл. 17.2:
|
|
|
Таблица 17.2 |
|
|
|
|
|
Заработная плата (тыс.руб) |
||
общее образование |
|
среднее профессио- |
высшее профессио- |
|
|
нальное образование |
нальное образование |
13,5 |
|
15,5 |
17,6 |
15,6 |
|
16 |
19,6 |
16,5 |
|
14,9 |
20,4 |
- |
|
17,1 |
18 |
- |
|
14 |
- |
Предполагается, что заработная плата жителей подчиняется нормальному закону распределения, возможно разному для жителей, имеющих разный уровень образования, но одинаковый для имеющих один уровень образования:
X |
i |
N (a |
) , i 1 2 3, причем |
2 |
2 |
2 |
. Требуется проверить методом дис- |
|
i i |
|
1 |
2 |
3 |
|
персионного анализа гипотезу: средняя заработная плата не зависит от уровня
образования. Уровень значимость |
0,05 . |
|
||||||||
Вычислим по выборочным данным из табл. 17.2 величины из пунктов 1-5. |
||||||||||
1) общую выборочную среднюю: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
13 5 |
15 6 |
18 |
|
198 7 |
|
||
|
x |
16 558 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
12 |
|
|
12 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
112 |
|
|
|
2) групповую выборочную среднюю:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 5 |
15 6 |
16 5 |
15 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1гр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 5 |
16 |
14 9 |
17 1 |
14 |
|
15 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2гр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 6 |
19 6 |
|
20 4 |
18 |
|
18 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3гр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выборочной средней : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
S |
общ |
(13 5 |
16 558)2 |
|
(15 6 |
|
16 558)2 |
|
|
|
|
(18 9 |
16 558)2 |
48 46 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних от общей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
средней: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Sфакт |
( |
|
|
1гр |
|
|
x)2 n1 |
( |
|
2гр |
|
x)2 n2 |
( |
|
3гр |
|
|
x)2 n3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(15 2 |
16 558)2 |
3 |
|
(15 5 |
16 558)2 |
5 |
(18 9 |
16 558)2 |
4 |
33 06 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5) остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений вы- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
борки (группы) от своей групповой выборочной средней: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Sост |
Sобщ |
Sфакт |
48 46 |
33 06 15 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Результаты внесем в табл. 17.3 дисперсионного анализа |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 17.3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Источник изменчи- |
|
|
Суммы квадратов |
|
Число степеней сво- |
|
|
|
Дисперсия |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вости |
|
|
|
|
|
|
отклонений |
|
|
|
|
|
|
|
|
боды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Между группами |
|
|
|
|
|
Sфакт |
33,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
2 |
|
33,06 |
16,53 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
факт |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Внутри группы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sост |
15,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
15,4 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sост |
|
|
|
|
1,71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Полная изменчи- |
|
|
|
|
|
|
Sобщ |
48,46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
вость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда наблюдаемое значение статистики |
|
Fнабл |
16 53 |
9 66 . Найдем зна- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 71 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
чение критической точки, приняв уровень значимости |
|
|
|
|
0 05 , Fкр F0 05 2 9 4 26 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. Так как Fнабл Fкр , |
то выборочные средние каждой группы отличаются значи- |
мо, а значит, заработная плата зависит от уровня образования.
Следует отметить, что все вычисления можно проводить с помощью стандартных функций, встроенных в MS Excel.
Введем значения таблицы в ячейки А1-A3, B1-B5, C1-C4 электронной
113
таблицы Excel соответственно. Выбираем вкладку Сервис - Анализ данных - Однофакторный дисперсионный анализ. В поле Входн. интервал даем ссылку на ячейки А1-A3, B1-B5, C1-C4, выделив их левой кнопкой мыши. Группирование ведем по столбцам, так как данные вносились также по столбцам, задаем уровень значимости 0 5 . В поле Выходн. интервал указываем любую свободную ячейку, например A7. В результате получаем табл. 17.4 значений «Однофакторный дисперсионный анализ».
|
|
|
|
Таблица 17.4 |
|
|
|
|
|
Группы |
Счет |
Сумма |
Среднее |
Дисперсия |
|
|
|
|
|
Столбец 1 |
3 |
45,6 |
15,2 |
2,37 |
|
|
|
|
|
Столбец 2 |
5 |
77,5 |
15,5 |
1,355 |
|
|
|
|
|
Столбец 3 |
4 |
75,6 |
18,9 |
1,746 |
|
|
|
|
|
|
«Дисперсионный анализ» |
|
|
Таблица 17.5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Источник вариа- |
SS |
df |
MS |
|
F |
P - |
|
F критиче- |
ции |
|
|
|
|
|
значение |
|
ское |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Между группами |
33,06 |
2 |
16,53 |
|
9,66 |
0,0057 |
|
4,256 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внутри группы |
15,4 |
9 |
1,71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого |
48,46 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 17.1. Проанализируйте полученные данные самостоятельно, сравнив с вычислениями, проведенными ранее.
17.3. Двухфакторный дисперсионный анализ
Рассмотрим случай, когда изучается влияние одновременно двух факто-
ров A и B на уровнях A1 A2 |
Ak и B1 B2 |
Bn соответственно, причем в ка- |
ждой ячейке (i j) производится |
m наблюдений. Результаты наблюдений пред- |
|
ставлены в виде табл. 17.6. |
|
|
114
|
|
|
|
|
Таблица 17.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер на- |
A1 |
|
Ai |
|
|
Ak |
блюдения |
|
|
|
|
|
|
B1 |
x111, |
|
xi11, |
|
|
xk11, |
|
x112, |
|
xi12 , |
|
|
xk12 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x11m |
|
xi1m |
|
|
xk1m |
|
|
|
|
|
|
|
B j |
x1 j1, |
|
xij1, |
|
|
xkj1, |
|
x1 j 2 , |
|
xij 2 , |
|
|
xkj 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 jm |
|
xijm |
|
|
xkjm |
|
|
|
|
|
|
|
Bn |
x1n1, |
|
xin1, |
|
|
xkn1, |
|
x1n2 , |
|
xin 2 , |
|
|
xkn 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1nm |
|
xinm |
|
|
xknm |
Найдем по выборочным данным:
1) общую выборочную среднюю:
|
|
1 |
|
x |
|||
|
|||
knm |
|||
|
|
k n m
xij
i 1 j 1 |
1 |
2) групповую выборочную среднюю по столбцам:
1 xiгр nm
n m
xij i 1 k
j 1 |
1 |
3) групповую выборочную среднюю по строкам:
|
|
1 |
m |
m |
|
|
|
|
xij j 1 n |
||
x jгр |
|
||||
|
|
||||
km i 1 |
|||||
|
|
1 |
4) общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей выборочной средней:
|
k |
n |
m |
|
|
S |
общ |
|
(x |
x)2 |
|
|
|
ij |
|
|
|
|
i 1 |
j 1 |
1 |
|
|
5) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних по столб-
115
цам от общей средней, которая характеризует рассеяние между столбцами (группами, обусловленными фактором A ):
|
k |
|
|
||
SфактA |
mn ( |
|
iгр x)2 |
||
x |
i1
6)факторную сумму квадратов отклонений по строкам от общей средней, которая характеризует рассеяние между строками (группами, обусловленными фактором B ):
|
n |
|
|
||
SфактB |
mk ( |
|
jгр x)2 |
||
x |
j1
7)факторную сумму квадратов отклонений, которая характеризует рас-
сеяние, вызванное взаимодействием факторов A и B :
|
k |
k |
|
|
||||||
SфактAB |
m |
( |
|
ij |
|
iгр |
|
jгр x)2 |
||
x |
x |
x |
||||||||
|
i 1 |
j 1 |
8) остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочной средней ячейки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sост |
|
|
(xij |
|
|
ij)2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
j 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 m |
m |
1 xij |
|
|||||||||||
где xij |
– выборочная средняя ячейки (i j) . |
||||||||||||||||
Справедлива формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
S |
общ |
S A |
|
S B |
|
S AB |
S |
ост |
|||
|
|
|
|
|
|
|
факт |
|
факт |
|
факт |
|
|||||
которая |
позволяет находить |
|
SфактAB , |
упрощая |
вычисления, а именно |
||||||||||||
S AB |
S |
общ |
S A |
|
|
S B |
S |
ост |
|
|
|
|
|
|
|
||
факт |
|
факт |
факт |
|
|
|
|
|
|
|
|
Выпишем общую, факторную и остаточную выборочные дисперсии, разделив полученные суммы квадратов на соответствующее число степеней свободы:
S 2 |
|
|
S |
общ |
|
|
S 2 |
SфактA |
S 2 |
SфактB |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
общ |
|
|
nkm 1 |
Aфакт |
k 1 |
Bфакт |
n 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
S |
2 |
|
|
|
|
SфактAB |
|
S |
2 |
|
Sост |
|
|
|
ABфакт |
(k |
1)(n 1) |
ост |
nk(m 1) |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
116
Для проверки влияния фактора A (или B ) на изменение выборочных средних на каждом уровне можно использовать критерий Фишера-Снедекора. Влияние фактора признается значимым, если
S 2
Aфакт F A
Sост2 кр
|
|
S 2 |
|
|
|
Bфакт |
F B |
|
|
|
|
|
|
S 2 |
кр |
|
|
|
|
|
|
ост |
|
где FкрA |
F k 1 nk (m 1) ( FкрB F n 1 nk (m 1) ) находится по табл. П. 6 распределе- |
ния Фишера-Снедекора при уровне значимости .
Аналогично, для проверки влияния факторов A и B одновременно можно использовать критерий Фишера-Снедекора. Влияние факторов признается значимым, если
|
|
S 2 |
|
|
|
ABфакт |
F AB |
|
|
|
|
|
|
S 2 |
кр |
|
|
|
|
|
|
ост |
|
где FкрAB |
F (k 1)(n 1) nk (m 1) находится по табл. 17.6 распределения Фишера- |
Снедекора при уровне значимости .
По полученным данным заполняется таблица дисперсионного анализа. Отметим, что при добавлении новых факторов принципиальная схема дис-
персионного анализа не меняется, но значительно усложняются формулы 1-8. Пример 17.2. Требуется выяснить, какой способ рекламы строительной
фирмы приносит больший объем заказов. Для этого выбраны два типа размещения рекламы – в Интернете и на телевидении; также использованы два вида рекламных сообщений – видеоролик и информационное сообщение. Клиентов фирмы попросили оценить по десятибалльной шкале, какой вид рекламы им показался наиболее эффективным. Результаты представлены в табл. 17.7.
|
|
Таблица 17.7 |
|
|
|
|
Интернет |
Телевидение |
Видеоролик |
6,5; 5,8 |
7,6; 8,4 |
Сообщение |
9,5; 9,8 |
5,9; 4,8 |
Вычислим по выборочным данным величины из пунктов 1-8. 1) общую выборочную среднюю:
117
|
|
6 5 |
5 8 |
7 6 |
8 4 |
9 5 |
9 8 |
5 9 |
4 8 |
58 3 |
|
||
x |
7 2875 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) групповую выборочную среднюю по столбцам:
|
|
|
6 5 |
5 8 |
9 5 |
9 8 |
7 9 |
|||
|
||||||||||
|
|
x1гр |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 6 |
8 4 |
5 9 |
4 8 |
|
6 675 |
||||
|
||||||||||
x2гр |
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) групповую выборочную среднюю по строкам:
|
6 5 |
7 6 |
5 8 |
8 4 |
|
7 075 |
||||
|
||||||||||
x1гр |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 5 |
5 9 |
9 8 |
4 8 |
7 5 |
||||
|
||||||||||
|
|
x2гр |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) общую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей выборочной средней:
S |
общ |
(6 5 |
7 2875)2 |
(5 8 |
7 2875)2 |
(4 8 |
7 2875)2 |
23 48875 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних по столбцам от общей средней, которая характеризует рассеяние между столбцами (группами, обусловленными фактором A ):
S A |
4[(7 9 7 2875)2 (6 675 7 2875)2 ] 3 00125 |
факт |
|
6) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних по столбцам от общей средней, которая характеризует рассеяние между строками (группами, обусловленными фактором B ):
S B |
4[(7 075 7 2875)2 (7 5 7 2875)2 ] 0 36125 |
факт |
|
7) остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочной средней ячейки:
S |
ост |
(6 5 |
6 15)2 |
(5 8 |
6 15)2 |
(9 5 |
9 65)2 |
(9 8 |
9 65)2 |
(7 6 |
8)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8 4 |
8)2 |
(4 8 |
5 35)2 |
(5 9 |
5 35)2 |
1 215 |
|
|
118
8) факторную сумму квадратов отклонений, которая характеризует рассеяние, вызванное взаимодействием факторов A и B :
S AB |
23 48875 0 36125 |
3 00125 1 215 18 91125 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
факт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заполним таблицу дисперсионного анализа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 17.8. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Источник измен- |
|
Суммы квадратов |
|
Число степеней |
|
|
|
Дисперсия |
|||||||
чивости |
|
отклонений |
|
|
|
свободы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Влияние фактора |
|
A |
3,00125 |
|
|
|
1 |
2 |
|
3,00125 |
|
|
|||
|
|
Sфакт |
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
Sфакт |
1 |
|
|
3,00125 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Влияние фактора |
|
B |
|
|
|
|
1 |
|
|
0,36125 |
|
|
|||
|
|
Sфакт |
0,36125 |
|
|
|
|
Sфакт2 |
|
0,36125 |
|||||
B |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Влияние факторов |
|
AB |
18,91125 |
|
|
|
1 |
2 |
18,91125 |
|
|
||||
|
|
Sфакт |
|
|
|
|
|
|
|||||||
A и B |
|
|
|
|
|
|
|
Sфакт |
|
1 |
|
|
18,91125 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внутри группы |
|
Sост |
1,215 |
|
|
|
4 |
2 |
1,215 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Sост |
|
4 |
|
0,30375 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полная изменчи- |
|
Sобщ |
23,48875 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
вость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем значение критической точки, приняв уровень значимости |
0 05 |
||||||||||||||
для всех трех случаев: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F A |
F |
|
7 71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
0 05 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F B |
F |
|
7 71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
0 05 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F AB |
F |
|
7 71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
0 05 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим наблюдаемое значение статистики также во всех трех случаем и сравним со значением критической точки:
F A |
3 00125 |
9 88 |
F A |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
набл |
0 30375 |
|
кр |
||
|
|
|
|||
F B |
0 36125 |
|
1 189 |
F B |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
набл |
0 30375 |
|
|
кр |
|
|
|
|
|
119
F AB |
18 91125 |
62 259 |
F AB |
|
|
|
|||
|
|
|||
набл |
0 30375 |
|
кр |
|
|
|
|
||
Итак, влияние фактора A и факторов A и |
B можно считать значимым, а |
влияние фактора B не является значимым. Таким образом, сочетание вида рекламы и места ее размещения оказывает существенное влияние на эффективность рекламы, важным также является место размещения рекламы, а вот в каком виде представлено рекламная информация не имеет значения.
Следует отметить, что все вычисления можно проводить с помощью стандартных функций, встроенных в MS Excel (Самостоятельно разобрать приведенный пример, проведя вычисления MS Excel).
ПРОВЕРОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ
Вариант проверочного задания по теории вероятностей
1.В урне 4 черных, 6 белых и 5 красных шаров, Наудачу извлечены 7 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажутся 2 черных, 3 белых и 2 красных шара.
2.Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует его вниманий, равна 0,2; второй – 0,25, третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют ка- кие-либо два станка; все три станка.
3.Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной продукции для первого, станка 0,03, для второго – 0,02 и для третьего – 0,01. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а производительность третьего в два раза больше, чем у второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь из бункера окажется годной?
4.Вероятность надежной работы конструкции при приложении расчетной нагрузки равна 0,96. Найти вероятность того, что из 10 конструкций, испытанных независимо друг от друга, больше двух выйдут из строя.
5.Вероятность выхода из строя каждого из 900 независимо работающих элементов некоторого узла в течение заданного времени равна 0,1. Найти вероятность того, что по истечений заданного времени будут работать 800 элементов; будут работать от 800 до 850 элементов.
6.Завод отправил на базу 2000 изделий; Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,0015. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:
120