3174
.pdfМИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Воронежский государственный технический университет»
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЭНЕРГЕТИКИ, ЭКОЛОГИИ
И ЭНЕРГОРЕСУРСОСБЕРЕЖЕНИЯ
Труды 21-й научно-технической конференции
(г. Воронеж, 13 мая 2019 г.)
Воронеж 2019
УДК 621.31.016:53:502(06) ББК 31.2:22.3:20.1я4
Ф 503
Физико-технические проблемы энергетики, экологии и энергоресурсосбережения: труды 21-й научно-технической конференции. [Электронный ресурс] – Электрон. текстовые и граф. данные (3,1 Мб). –
Ф503 Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2019. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM): цв. – Систем. требования: ПК 500 и выше; 256 Мб ОЗУ; Windows XP; SVGA с разрешением 1024x768; Adobe Acrobat; CD-ROM дисковод; мышь. – Загл. с экрана.
ISBN 978-5-7731-0789-7
В сборнике представлены труды научно-технической конференции, посвящённые исследованиям гидродинамики и тепломассообмена в энергетических
итеплотехнических установках различного назначения. Тематика исследований направлена на улучшение технико-экономических показателей этих установок и уменьшение экологической нагрузки на окружающую среду.
Отдельные результаты имеют также практическую направленность, так как посвящены разработке и внедрению в производство технических, алгоритмических
ипрограммных компонентов.
Материалы сборника соответствуют научному направлению ВГТУ «Энергоэффективные и ресурсосберегающие технологии, комплексы и системы управления» и перечню критических технологий Российской Федерации, утвержденному Президентом Российской Федерации.
|
УДК 621.31.016:53:502(06) |
|
ББК 31.2:22.3:20.1я4 |
|
Редакционная коллегия: |
Стогней В. Г. |
– Заслуженный работник Высшей школы, канд. техн. наук, |
|
профессор – ответственный редактор, |
|
Воронежский государственный технический университет; |
Бараков А. В. |
– д-р техн. наук, проф. – заместитель ответственного редактора, |
|
Воронежский государственный технический университет; |
Агапов Ю. Н. |
– д-р техн. наук, проф., |
|
Воронежский государственный технический университет; |
Дубанин В. Ю. |
– канд. техн. наук, проф., |
|
Воронежский государственный технический университет; |
Надеев А. А. |
– канд. техн. наук – ответственный секретарь, |
|
Воронежский государственный технический университет |
Издается по решению научно-технического совета Воронежского государственного технического университета
ISBN 978-5-7731-0789-7 |
ФГБОУ ВО «Воронежский |
|
государственный технический |
|
университет», 2019 |
|
2 |
УДК 51-74
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА
ВЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЕМКОСТИ
СПОЛУСФЕРИЧЕСКИМИ ДНИЩАМИ
Е.А. Кожухова1, А.Ю. Трошин2
1Аспирант гр. АТФ-3, ekozhukhova@cchgeu.ru
2Канд. техн. наук, доцент, atroshin@cchgeu.ru ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Аннотация: в работе построена математическая модель теплообмена слоёв жидкости в вертикальной замкнутой цилиндрической ёмкости с полусферическими днищами при различной высоте цилиндрической вставки под действием теплового потока, поступающего извне по нормали к поверхности сосуда
Ключевые слова: математическая модель, теплообмен, цилиндрическая ёмкость
1. Постановка задачи.
Рассмотрим процесс теплообмена при перемещении слоёв жидкости в вертикальной замкнутой ёмкости цилиндрической формы с полусферическими днищами под действием теплового потока, поступающего извне по нормали к поверхности сосуда.
В работе изучается состояние среды при различной высоте
цилиндрической части, включая случай |
h 0 , когда ёмкость будет |
|||||
представлять |
собой |
сферическую |
область. |
Выполнено |
||
математическое |
моделирование |
тепловых |
процессов |
с |
использованием системы Навье-Стокса. Построена разностная схема, аппроксимирующая систему Навье-Стокса и выполнен вычислительный эксперимент, результаты которого приведены в виде графиков.
2. Математическая модель.
Рассмотрим уравнения термогидродинамики в безразмерных
координатах θ, U , V , где θ – температура, U |
и |
V |
– проекции |
|||||||||||||
скорости движения жидкости на оси Or и Oz . |
|
|
|
|
||||||||||||
θ |
U |
θ |
V |
θ |
|
1 |
1 |
|
θ |
|
2θ |
|
2θ |
|
||
τ |
r |
z |
|
|
|
r |
r2 |
z2 |
, |
(1) |
||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Pr r |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
U |
U |
U |
|
V |
U |
|
U |
|
|
P |
|
|
1 |
|
|
U |
|
2U |
|
2U |
, |
(2) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
τ |
|
r |
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
r |
|
|
|
r |
|
|
z2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
V |
U |
V |
|
V |
|
V |
|
P |
|
|
1 |
|
V |
|
|
|
2V |
|
|
2V |
|
f |
, |
|
(3) |
||||||||||||
|
|
τ |
r |
|
|
z |
|
z |
|
r |
|
|
r2 |
z2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3. Построение разностной сетки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Для того, чтобы определить значения ri , ri ,z j , |
z j необходимо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разбить полуокружность |
на |
|
2n |
|
равных |
|
частей. |
Для |
простоты |
предположим n 4 . Полученные точки на границе полуокружности обозначим A, B, C, D, E, F, G, H, K. (рис. 1).
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
Рис. 1. а) построение разностной сетки; б) построение проекций |
|||||||||||
Спроектируем |
эти |
точки |
на |
оси |
Or |
и |
Oz . |
Полученные |
|||
проекции обозначим r , r , r |
, r |
, r |
и z , z ,..., z . |
|
|
|
|||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
8 |
|
|
|
Таким образом, на оси Or получилось 5 точек – |
r0 , r1, r2 , r3, r4 |
||||||||||
(в общем случае |
n 1 |
точка – |
r , r , r ,..., r |
), а |
на оси |
Oz |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 1 |
2 |
n |
|
|
|
получилось 9 точек: z0 , z1, z2 , z3 , z4 , z5 , z6 , z7 , z8 |
(в общем случае |
||||||||||
2n 1 точка – z0 , |
z1, z2 ,..., |
z2n ). Найдём их координаты ri , z j |
и их |
||||||||
соответствующие приращения |
ri ri 1 ri , |
z j z j 1 z j . Исходя |
4
из того, что радиус круга равен R , а число взятых нами точек – n , очевидно, что значения r0 z0 0, z8 2R .
Рассмотрим сектор KOH:
Рис. 2. Сектор KOH
Угол |
α KOH |
π |
|
π |
, |
OK OH R , |
KOH |
|||||
2n |
|
|||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равнобедренный, OKH OHK |
|
, |
KH R |
sin |
. |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
sin |
||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r1 sin KH R sin , z1 cos KH R ctg sin . |
||||||||||||
Очевидно, что z 2R z , |
|
r r r , |
z |
z |
||||||||
|
7 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
z7 z0 .
Рассмотрим теперь сектор KOG:
Рис. 3. Сектор KOG
–
z0 ,
5
Угол |
α KOG 2 |
π |
|
π |
, |
OK=OG=R, |
∆KOG – |
|||
2n |
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
равнобедренный β OKG OGK |
π α |
, KG R |
sin α |
. |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
sinβ |
r2 sinβ KG R sinα, z2 cosβ KG R ctgβ sinα . |
|
||||||||
Очевидно, что z |
2R z |
2 |
, |
r |
r |
r , |
z |
z |
z , |
6 |
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
z6 z1.
Рассмотрим сектор KOF:
|
|
Рис. 4. Сектор KOF |
|
|
|
||||||
Угол α KOF 3 |
π |
|
|
3π |
, |
OK=OF=R, |
∆KOF |
– |
|||
|
|
||||||||||
|
|
|
2n |
8 |
|
|
|
|
|
||
равнобедренный, OKF OFK |
, KF R |
sin |
. |
|
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
sin |
|
|
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 sin KF R sin , z3 |
|
cos KF R ctg sin . |
|
||||||||
Очевидно, |
что |
z5 2R z3 , |
r2 r3 r2 , |
z2 z3 z2 , |
|||||||
z5 z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
что |
r4 R, z4 |
R , |
r3 r4 r3 , |
z3 z4 |
z3 , |
|||||
z4 z3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из всего вышеизложенного можно вывести общие формулы для вычисления ri , z j .
ri R sin , z j R ctg sin , z2n j |
2R z j , |
|||||
где i |
|
, |
|
при i 1, ..., n 1 и |
j 1, ..., 2n 1. |
|
2n |
2 |
|||||
|
|
|
|
6
Значения r0 , rn , z0 , zn , z2n вычисляются отдельно: r0 z0 0 , rn zn R , z2n 2R .
Приращения будут вычисляться по формулам:
ri ri 1 ri , |
z j z j 1 z j , |
z2n j 1 z j . |
при i 0, ..., n 1 и j |
0, ..., 2n 1. |
|
Заметим, что индекс i соответствует номеру узла сетки вдоль оси r , j – вдоль оси z .
4. Построение разностной системы уравнений.
Запишем разностные аналоги производных, входящих в уравнение (1):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1, j i, j |
|
|
i, j i 1, j |
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
i 1, j |
|
|
|
i, j |
|
|
ri |
|
|
|
|
ri 1 |
|
|||||
|
|
r |
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
r2 |
r |
|
|
|
ri |
|
|
|
|
|
|
ri |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
i 1, j ri 1 i, j ri 1 i, j ri i 1, j ri |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
i |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i 1, j ri 1 i, j ( ri 1 ri ) i 1, j ri |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
i, j 1 z j 1 i, j |
( z j 1 |
z j ) i, j 1 z j |
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
z2 j z j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Разобьём область |
изменения |
t |
промежутками |
|
длиной . |
Обозначим k k , тогда все переменные , входящие в (1) будут
иметь 3 индекса: i |
– по оси r , |
j – по оси z , |
k |
– по . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Запишем уравнение (1) в разностном виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
θik, j1 θik, j U k |
|
θik 1, j θik, j V k θik, j 1 θik, j |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Δτ |
|
|
|
|
|
i, j |
|
|
|
ri |
|
|
|
i, j |
|
|
z j |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
( ri 1 |
|
ri ) |
|
k |
ri |
|
|||||||||
|
1 1 |
|
|
θi 1, j |
θi, j |
|
θi 1, j |
ri 1 θi, j |
θi 1, j |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Pr ri |
|
|
|
ri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
r |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
θk |
|
z |
j 1 |
θk |
( |
z |
j 1 |
z |
j |
) θk |
z |
j |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
i, j 1 |
|
|
|
|
|
i, j |
|
|
|
|
|
|
i, j 1 |
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Выразим из полученного разностного уравнения θi,k j1 .
|
|
|
k |
|
k |
k |
|
k |
|
|
|
|
k |
k |
|
||
θk 1 |
U k |
θi 1, j θi, j |
V k |
θi, j 1 |
θi, j |
|
1 |
|
1 |
|
θi 1, j θi, j |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
i, j |
|
i, j |
|
r |
|
i, j |
z |
|
|
Pr r |
|
|
r |
|
|||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
j |
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
k |
|
|
r |
k |
( r |
r ) k |
|
|
r |
|||||||||
|
|
|
i 1, j |
i 1 |
|
i, j |
|
|
i 1 |
|
i |
|
i 1, j |
i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
k |
z |
j |
1 |
k |
( z |
j 1 |
z |
j |
) k |
z |
j |
|
||||||||
|
i, j 1 |
|
|
i, j |
|
|
|
|
|
i, j 1 |
t ik, j |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
j z j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
для i 1, ..., n 1 |
и |
|
j 1, ..., 2n 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Заметим, что построенное выражение позволяет явно выразить |
|||||||||||||||||||||
неизвестное значение сеточной функции |
при (k 1) t через |
||||||||||||||||||||
известные значения |
|
функций |
|
U , V , |
при |
k . Поскольку |
уравнение (1) составлено для внутренних точек области, то на
границе r R |
функция |
|
удовлетворяет |
другому условию, |
|||||||
называемому граничным. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Граничные условия (для ): |
|
|
|
|
|||||||
θ |
θ |
r |
θ |
z |
|
θ |
cos( Or ,n ) |
θ |
cos( Oz,n ) . |
(4) |
|
n |
n |
r |
z |
||||||||
n |
r |
z |
|
|
|
|
Рис. 5. Разложение вектора
Составим разностное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (4).
Для точек выше оси Or получаем:
8
|
|
i, j i 1, j |
|
ri |
|
i, j i, j 1 |
|
|
z j R |
|
, |
|
|
|
|
ri 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
R |
|
z j 1 |
R |
|
|
|
|
|
|||
i, j z j 1ri i 1, j z j 1ri i, j ri 1(z j R) i, j 1 ri 1 |
(z j R) |
, |
||||||||||||
|
|
|
ri 1R z j 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i, j |
ri 1R z j 1 i 1, j z j 1ri i, j 1 ri 1(z j R) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
z j 1ri ri 1(z j |
R) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для точек ниже оси Or : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i, j i 1, j |
|
ri |
|
i, j 1 i, j |
|
R z j |
|
, |
|
|
|
|
|
ri 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
R |
|
z j |
R |
|
|
|
|
|
i, j z j ri i 1, j z j ri i, j 1 ri 1(R z j ) i, j ri 1(R z j ) ,
ri 1R z j
i, j ri 1R z j i 1, j z j ri i, j 1 ri 1(R z j ) .
z j ri ri 1(R z j )
В уравнение движения по оси r для внутренних точек сетки (2) применим следующие преобразования
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
Ui 1, j Ui, j |
|
|
Ui, j Ui 1, j |
|
||||||||||||||||
|
|
|
2U |
|
r |
|
i 1, j r |
i, j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ri |
|
|
|
|
ri 1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
ri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ri |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Ui 1, j ri 1 Ui, j ( ri 1 ri ) Ui 1, j ri |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
2 |
r |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2U |
|
Ui, j 1 z j 1 Ui, j ( z j 1 z j ) Ui, j 1 z j |
аналогично. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 j z j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Запишем уравнение (2) в разностном виде: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
U k 1 |
U k |
|
|
|
k |
U k |
|
U k |
|
|
|
|
k |
U k |
|
|
|
U k |
|
U k |
|
||||||||||||||
|
|
|
i, j |
|
i, j |
|
U |
|
i 1, j |
|
|
|
|
i, j |
V |
|
i, j 1 |
|
i, j |
|
i, j |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j |
|
|
|
z j |
|
r2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pik |
1, j Pik, j |
|
|
1 |
|
|
U k |
|
U k |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1, j |
|
|
|
|
i, j |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
9