3234
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Х=с1X1+ с2X2 + с3X3 = с1 |
|
0 |
+ с2 |
1 |
|
+ с1 |
3 |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или через неизвестные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
c |
4 |
c |
8 |
c , |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
1 |
|
3 |
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
c1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
c2 |
|
c3 , |
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
c2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
c3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что выбрав в качестве свободных неизвестных |
||||||||||||||||||||
х1, |
х2, х3 |
|
мы |
получим |
|
новый |
|
|
набор |
базисных |
|||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
3 |
t |
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
T |
|
|
|
1, 0, 0, |
|
, |
|
, |
|
0,1, 0, |
, |
|
|
|||||||||||
решений X1 |
|
4 |
|
|
4 |
X 2 |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0, 0,1, |
2,1 |
T |
, |
а общее решение в этом случае будет |
||||||||||||||||
, X3 |
|
||||||||||||||||||||
иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
c1 , |
|
x2 |
c2 , |
x3 |
c3 , |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
9 |
4 |
|
c |
3 |
2 |
c |
2c , |
|
(2.16) |
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
3 |
4 |
c |
1 |
2 |
c |
c . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Соотношения (2.15) и (2.16) различны, но из каждого из них при соответствующих значениях произвольных постоянных можно получить любое частное решение системы
(2.13).
Упражнения
1. Решить матричные уравнения:
41
|
1 2 |
|
|
3 5 ;б) |
|
3 4 |
|
2 |
|
8 |
|
|
|
||||
а) |
.X |
X |
|
1 1 ; |
|
|
|
||||||||||
|
3 |
4 |
|
|
5 |
9 |
|
1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
2 2 |
X |
|
1 2 ;г) |
3 1 |
X |
5 6 |
14 |
16 |
; |
|||||||
|
3 |
1 |
|
|
2 |
0 |
|
5 |
|
2 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) 3 2 |
4 X 10 2 7 ;е) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
1 |
0 |
|
|
10 |
7 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
1 |
|
8 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
1 |
3 |
|
2 |
|
5 |
9 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 |
2 |
1 |
|
2 |
15 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Матричным способом решить системы уравнений: |
||||||||||||||
|
2x1 |
x2 |
x3 |
|
4, |
|
x1 |
x2 |
x3 |
2, |
|
|
|
||||
а) |
|
x1 |
2x2 |
2x3 |
14, |
в) |
2x1 |
x2 |
x3 |
3, |
|
|
|
||||
|
4x1 |
2x2 |
x3 |
7; |
|
x1 |
x2 |
x3 |
6. |
|
|
|
|||||
|
|
3. |
Решить системы уравнений по правилу Крамера: |
||||||||||||||
|
|
2x1 |
x3 |
1, |
|
2x1 |
2x2 |
x3 |
|
4, |
|
|
|
||||
а) |
2x1 |
4x2 |
x3 |
1, б) 3x1 |
x2 |
|
3x3 |
|
7, |
|
|
|
|||||
|
|
x1 |
8x2 |
3x3 |
2; |
x1 |
|
x2 |
2x3 |
3; |
|
|
|
||||
|
4x1 |
4x2 |
5x3 |
5x4 |
0, |
|
2x1 |
3x2 |
11x3 |
5x4 |
2, |
|
|||||
|
|
2x1 |
3x3 |
x4 |
10, |
|
|
|
x1 |
x2 |
5x3 |
2x4 |
1, |
|
|||
в) |
|
x1 |
x2 |
5x3 |
10, |
|
г) 2x1 |
x2 |
|
3x3 |
2x4 |
3, |
|
||||
|
|
|
3x2 |
2x3 |
1; |
|
|
x1 |
x2 |
|
3x3 |
4x4 |
3. |
|
4. Исследовать совместность систем уравнений:
42
|
3x1 |
4x2 |
7, |
x1 |
x2 |
x3 |
2x4 |
1, |
а) 5x1 |
3x2 |
8, |
б) 6x1 |
6x2 |
10x3 |
8x4 |
5, |
|
|
x1 |
x2 |
2; |
5x1 |
5x2 |
8x3 |
7x4 |
3; |
|
2x1 3x3 x4 |
10, |
|
|
|
|
||
в) |
x1 |
x2 |
5x3 |
10, |
|
|
|
|
4x1 |
4x2 |
5x3 |
5x4 0, |
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
2x3 |
1. |
|
|
|
|
5. Исследовать совместность и найти общее решение следующих систем:
|
x1 |
x2 |
2x3 |
3x4 |
1, |
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
2, |
а) |
3x1 |
x2 |
x3 |
2x4 |
4, |
б) |
x1 |
2x2 |
3x3 |
4x4 |
0, |
2x1 |
3x2 |
x3 |
x4 |
6, |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
0, |
||
|
x1 |
2x2 |
3x3 |
x4 |
4; |
|
2x1 |
3x2 |
2x3 |
3x4 |
3; |
|
x1 |
x2 |
3x3 |
4x4 |
|
3, |
|
|
5x1 |
3x2 |
5x3 |
6x4 |
4, |
|
|
3x1 |
4x2 |
14x3 |
9x4 |
|
1, |
|
|||||||
|
|
|
6x1 |
2x2 |
3x3 |
4x4 |
5, |
|||||||
в) |
x1 |
2x2 |
6x3 |
3x4 |
1, |
г) |
|
|||||||
|
|
3x1 |
x2 |
3x3 |
|
14x4 |
8; |
|||||||
|
2x1 |
x2 |
3x3 |
2x4 |
|
3; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3x1 |
x2 |
2x3 |
6, |
|
7x1 |
5x2 |
2x3 |
4x4 |
8, |
|
|||
|
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
|
3, |
|
||||||
|
2x1 |
3x2 |
x3 |
0, |
|
|
|
|||||||
д) |
е) |
|
2x1 |
|
x2 |
x3 |
2x4 |
|
1, |
|
||||
3x1 |
2x2 |
4x3 |
5, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x1 |
x3 |
2x4 |
1, |
|
|||||||
|
4x1 |
3x2 |
7x3 |
8; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x2 |
x3 |
2x4 |
3. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Исследовать совместность и найти общее решение в зависимости от значения параметра а:
43
|
5x1 |
3x2 |
2x3 |
4x4 |
3, |
|
(1 |
a)x1 |
x2 |
x3 |
1, |
|
|
4x1 |
2x2 |
3x3 |
7x4 |
1, |
|
||||||
а) |
б) |
x1 |
(1 a)x2 |
x3 |
1, |
|||||||
8x1 |
6x2 |
x3 |
5x4 |
9, |
||||||||
|
|
x1 |
x2 |
(1 |
a)x3 |
1. |
||||||
|
7x1 |
3x2 |
7x3 |
17x4 |
a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
7.Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующих систем:
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
0, |
x1 |
2x2 |
4x3 3x4 |
0, |
|||
|
3x1 |
|
5x2 |
6x3 |
4x4 |
0, |
|||||
а) 2x1 |
5x2 |
|
3x3 |
0, б) |
|
||||||
|
4x1 |
5x2 |
2x3 |
3x4 |
0, |
||||||
|
3x1 |
4x2 |
|
2x3 |
0; |
||||||
|
|
3x1 |
8x2 |
24x3 |
19x4 |
0; |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x1 |
x2 |
|
3x3 |
0, |
|
x1 |
x2 |
3x3 |
4x4 |
0, |
в) |
x1 |
x2 |
x3 |
2x4 |
0, |
2x1 |
3x2 |
11x3 |
5x4 |
0, |
|
3x1 |
3x2 |
9x3 |
0, |
г) |
x1 |
x2 |
5x3 |
2x4 |
0, |
||
|
|
||||||||||
|
x1 2x2 |
5x3 x4 0; |
2x1 |
x2 |
3x3 |
2x4 |
0. |
8.Найти значения параметра к, при которых система имеет нетривиальные решения и найти эти решения:
|
k 2 x 3x 2x 0, |
|
2x x 3x |
0, |
|
|
|
|||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
a) |
kx1 |
x2 |
x3 |
0, |
б) 4x1 |
x2 |
7x3 |
0, |
|
|
|
|
|
8x1 |
x2 |
4x3 |
0; |
|
x1 |
kx2 |
2x3 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
6 |
26 |
|
3 4 |
12 ; г) |
1 |
2 |
|
|
|
1. а) |
; б) |
0 |
1 ; в) |
; |
|||||||
|
|
2 |
3 |
|
1 |
4 |
|
14 |
3 2 |
3 |
4 |
|
44
6 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
д) 2 |
1 |
2 |
; е) 4 |
5 |
6 . |
3 |
3 |
3 |
7 |
8 |
9 |
2. |
a) x1 |
2, x2 |
3, x3 |
5; б) x1 |
|
1 x2 |
3 x3 |
2. |
|
|
3. |
а) x 1, x |
0, x 1; б) x |
5 |
3, |
x 0, x |
2 |
; |
|||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
в) x1 |
1, x2 |
1, x3 |
2, x4 |
|
2; |
|
|
|
|
|
г) x1 |
2, x2 |
0, x3 |
1, x4 |
|
1. |
|
|
|
|
4.а) совместна; б) несовместна; в)совместна.
5.а) (-1,-1,0,1) T ; б)несовместна;
в) |
( 2, 0,1, |
1)T ; г) (C ,3C 13, |
7,0)T ; |
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
д) несовместна; е) (C |
1 |
2C 1,C |
1 |
2C |
3,C ,C )T . |
|||
|
|
|
2 |
2 |
1 |
2 |
||
6. а) |
если а |
0, то система несовместна, если а=0, то |
Х=
Х= (1
3 |
5 |
|
13 |
|
|
7 |
7 |
|
19 |
|
|
|
T |
C |
C |
, |
C |
C |
, C , C |
|
; |
||||||
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|
б) |
если а=-3, то система |
несовместна; если а=0, то |
||||||||||||||||
C |
C ,C ,C )T ; если а(а+3) |
0, то Х= |
|
|
1 |
|
|
1, 1, 1 T . |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. а) система имеет только тривиальное решение; |
||||||||||||||||||
б) |
X |
c X |
1 |
c X |
2 |
, |
X |
1 |
|
(8, |
6,1, 0)T , |
X |
2 |
|
( |
7,5, 0,1)T ; |
||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
X |
c X |
1 |
c X |
2 |
, |
X |
1 |
(1, 2,1,0)T , |
X |
2 |
|
|
( |
|
1,1,0,1)T ; |
||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) система имеет только тривиальное решение. |
||||||||||||||||||
8. а) |
k 2, X c X |
, X |
1 |
1, 0, |
2 T ; |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
4 |
|
T |
|
k |
|
4, X c X , |
X 1, |
, |
|
|
5 |
; |
|||||
|
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
T |
б) k |
1, X c X , X |
|
, |
|
3 |
, 1 . |
|||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
|
|
6 |
4 |
5 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) 2 1 2 ; е) 4 5 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
7 |
8 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. a) x1 |
2, x2 |
|
|
3, x3 |
|
5; б) x1 |
1 x2 |
|
|
3 x3 |
|
2. |
|
|
|||||||||||||
|
5. а) x 1, x |
|
0, x 1; б) x |
5 |
|
x 0, x |
|
2 |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
3, |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) x1 |
1, x2 |
|
1, x3 |
2, x4 |
|
|
2; г) x1 |
2, x2 |
0, x3 |
|
1, x4 |
|
1. |
|
|
|||||||||||||
|
8. а) совместна; б) несовместна; в) совместна. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
9. а) |
1, |
|
1, |
|
0, |
|
1 T ; б) |
несовместна; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
в) |
|
2, |
0, |
|
1, |
|
1 |
T ; г) |
C , |
3C |
13, |
|
|
|
7, 0 T ; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) несовместна; е) |
C 2C |
1, |
C |
2C |
|
|
3, |
C , |
C |
T . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
10. а) если а |
0, то система несовместна, |
если а=0, |
то |
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
5 |
|
|
13 |
|
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
Х= |
|
C |
|
|
C |
|
, |
|
|
C |
C |
|
, C , C |
|
; |
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||
б) если |
|
а=-3, |
|
то |
|
система |
несовместна; |
|
|
если а=0, |
то |
|||||||||||||||||
Х= (1 |
C |
|
C ,C ,C )T |
, |
если а(а+3) |
0, то Х= |
|
|
1 |
|
1, |
1, |
1 T . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
11. а) система имеет только тривиальное решение; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
б) |
X |
c X |
1 |
c X |
2 |
, |
X |
1 |
|
(8, |
6,1,0)T , |
|
X |
2 |
( |
7,5,0,1)T ; |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) |
X |
c X |
1 |
c X |
2 |
, |
X |
1 |
(1,2,1,0)T , |
|
X |
2 |
( |
1,1,0,1)T ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) система имеет только тривиальное решение.
9. а) k 2, X c X |
, X |
1 |
|
1, 0, |
|
2 T ; |
|
||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
4 |
T |
k |
|
4, X c X , X 1, |
|
, |
; |
||||||||
|
2 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
T |
|
б) k |
|
1, X c X , X |
|
, |
|
, 1 . |
|
||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
3 |
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Будем рассматривать множества элементов произвольной природы, для которых определены некоторые операции, подчиняющиеся определенным ограничениям (аксиомам). Такие множества называются "пространствами", а их элементы - "точками" или "векторами" этого пространства.
Заметим, что во многих абстрактных пространствах "векторы" ничего общего не имеют с обычными векторами, изучаемыми в геометрии. Элементами абстрактных пространств могут быть функции, матрицы, некоторые системы чисел и т.д., а в частном случае - обычные векторы. Сами абстрактные пространства отличаются друг от друга лишь числом и характером вводимых в них операций и аксиомами, определяющими эти операции.
3.1. Линейное пространство Аксиомы линейного пространства
Линейным пространством называется множество L
элементов |
любой |
природы, |
которые |
будем |
называть |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторами и обозначать x, y, z, ... , если: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1)указан |
закон, согласно |
которому |
любым |
двум |
|||||||||||
|
|
и |
|
из |
множества |
L ставится |
в |
соответствие |
|||||||
векторам x |
y |
||||||||||||||
третий |
вектор |
|
этого |
множества, |
называемый |
суммой |
|||||||||
z |
|||||||||||||||
|
|
|
и обозначаемый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
векторов x и y |
z |
= x + y ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2)указан закон, |
согласно которому каждому числу |
|
|||||||||||||
(вещественному или комплексному) и любому вектору |
|
L |
|||||||||||||
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
называемый произведением |
|||||||
ставится в соответствие вектор z |
|||||||||||||||
вектора |
|
|
|
|
и обозначаемый |
|
|
; |
|
|
|
|
|||
x на число |
z = |
x |
|
|
|
|
|||||||||
3)введенные операции сложения векторов и умножения |
|||||||||||||||
вектора на число удовлетворяют следующим 8 аксиомам: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
для любых |
|
L; |
|
|
|
|
|
|
||
1) x + y = y + x |
x, y |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L; |
|
|
|
||
2) ( x |
+ y )+ z |
= x |
+( y |
+ z ) для любых |
x, y, z |
|
|
|
47
|
|
3) существует элемент O |
L (нулевой вектор) такой, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L; |
|
|
|
|
|
||
что x |
+ O = |
x для любого |
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
4)для каждого |
|
L существует такой вектор |
L, |
|||||||||
|
|
x |
y |
|||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
называется |
противоположным |
|||||
x |
+ y |
|
= O , вектор |
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектору x |
и обозначается - x ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
5) 1 |
|
|
|
|
|
L; |
|
|
|
|
||
|
|
x = |
x для любого |
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
6) |
|
( |
|
( |
|
для |
любого |
L и |
любых |
|||
|
|
|
x) |
) x |
x |
|||||||||
чисел |
|
, |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
( |
|
|
|
|
L и любых |
||||||
|
|
|
) x |
x |
|
x |
для любого x |
|||||||
чисел |
|
, |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) |
|
|
для любых |
из L и |
||||||||
|
|
|
(x |
y) |
x |
|
y |
x |
и y |
|||||
любого числа . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Пространство |
L называется вещественным, если |
в L |
операция умножения векторов на число определена только для вещественных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.
Из аксиом линейного пространства следует:
1.В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.
2.В линейном пространстве каждый вектор имеет
единственный противоположный вектор.
3. |
Для |
любого элемента |
|
L имеет место |
|||
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
равенство 0 x |
0 . |
|
|
|
|
||
Для любого вектора |
L противоположный вектор |
||||||
x |
|||||||
|
=(-1) |
|
|
|
|
|
|
равен - x |
x . |
|
|
|
|
Существование противоположного вектора определяет возможность введения для векторов линейного пространства операции вычитания, как операции обратной операции
сложения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назовем разностью векторов |
и |
вектор |
который |
|||||||
x |
y |
z |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначим z |
= x |
- y |
, удовлетворяющий равенству z |
+ y |
= x . |
48
3.2. Примеры линейных пространств
Приведем примеры конкретных линейных пространств. 1.Множество вещественных чисел с обычными
операциями сложения и вычитания составляет действительное линейное пространство. Аксиомы 1-8 выполняются в этом случае в силу свойств действий, установленных в арифметике.
Аналогично множество комплексных чисел составляет линейное пространство.
2. Рассмотрим множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве. Операции сложения указанных векторов определим по правилу "параллелограмма"
, а умножение |
на вещественное число |
соответствует |
||
умножению длины этого вектора на | |
|, направление при |
>0 |
||
остается неизменным, а при |
<0 - |
меняется |
на |
|
противоположное. |
|
|
|
|
Нетрудно |
проверить (предлагается |
сделать |
это |
самостоятельно) справедливость аксиом 1-8.
Таким образом, множество всех геометрических векторов в пространстве представляет собой линейное пространство, которое будем обозначать символом R3.
Аналогичные множества векторов на плоскости и прямой также являются линейными пространствами, будем обозначать их соответственно символами R2 и R1.
3.Множество всех положительных вещественных чисел.
Определим сумму двух элементов x |
и y этого множества x |
||
+ y = xy как |
произведение |
вещественных чисел x и y. |
|
Произведение |
элемента x |
на |
вещественное число |
определим как возведение положительного вещественного
числа x в степень |
т.е. |
x = x . Нулевым элементом этого |
||
множества будет являться вещественное число |
1, а |
|||
противоположным |
для |
данного элемента |
x |
будет |
вещественное число 1/x. |
|
|
|
|
Легко убедиться в справедливости аксиом 1-8. |
|
49
4.Важный пример линейного пространства дает множество Rn элементами которого служат упорядоченные
совокупности |
n произвольных |
вещественных |
чисел |
|
|
|
|
x ={x1,x2,..,xn}, |
числа x1,x2,..,xn |
называют координатами |
|
элемента x , а |
элементы этого |
пространства называют |
арифметическими векторами.
В анализе множество Rn называют n-мерным координатным пространством или пространством арифметических векторов вещественным или комплексным. Всюду в дальнейшем рассматривается вещественное пространство арифметических векторов.
Операции сложения элементов множества Rn и умножения этих элементов на вещественные числа определим правилами:
1)x y ={x1,x2,..,xn}+{y1,y2,..,yn}=
|
|
{x1+y1,x2+y2,..,xn+yn}; |
|
|
||
|
|
|
|
x2,.., |
xn}. |
|
|
2) |
x = {x1,x2,..,xn}={ x1, |
|
|||
Нулевым |
элементом |
рассматриваемого |
множества |
является |
||
|
|
|
|
|
|
|
элемент |
O ={0,0,..,0}, |
а противоположным |
для |
элемента |
x ={x1,x2,..,xn} является элемент {-x1,-x2,..,-xn}.
Проверку аксиом 1-8 предлагается читателю провести самостоятельно.
5.Пространство всех функций x=x(t), определенных и непрерывных на [a,b] обозначают символом C[a,b]. Операции сложения таких функций и умножения их на вещественные числа определим обычными правилами математического анализа.
Как известно из математического анализа, сумма двух функций, непрерывных на отрезке a t b, и результат умножения такой функции на число снова представляют собой функции непрерывные на отрезке a t b.
Роль нулевого вектора в пространстве C[a,b] играет функция, тождественно равная нулю на отрезке a t b, а противоположным вектором является функция (-1) x(t).
50