3265
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
|
|
, e2 |
|
|
n . В координатах движение задается функция- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ми x = x(t) и y = y(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Т.к. V t0 |
|
V t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N t0 е1 , то |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х t0 |
|
0 |
, y t0 |
0 |
|
|
(*) |
|||||||||||||||||
|
х t0 |
Вектор ускорения в момент t0 имеет координаты |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
, |
y t0 |
|
, так что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Стр 32 |
|
|
|
a |
|
|
x t |
0 |
|
e1 |
|
, |
|
|
an |
|
|
|
|
y t0 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2S x |
x |
yy |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Т.к |
|
|
|
|
dt |
|
|
x |
y |
, то |
|
dt2 |
|
|
|
x2 |
y2 |
, |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
и при t |
|
t0 |
в силу условий |
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
|
x , |
|
d 2 S |
|
|
|
x . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Кривизна траектории равна по формуле (3.9) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
xy |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При |
t |
|
t0 |
получаем |
K |
|
|
|
|
y |
, |
|
y |
|
|
Kx 2 .Отсюда ясно, |
что при |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
t t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, an |
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
1 |
|
|
|
dS |
2 |
n |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где R- радиус кривизны траектории.
63
Т.к. все величины в равенстве |
не зависят от выбора |
системы координат, то равенство |
имеет общий характер. |
Т.о. ускорение плоского движения является суммой двух векторов – тангенциального ускорения a и нормального ускоре-
ния an .
Ускорение a по величине равно производной по времени от численной величины скорости и направлено по касательной к траектории. Ускорение an по величине равно произведению
величины траектории на квадрат модуля скорости и направлено по нормальному вектору.
Пример: Движение материальной точки описывается
уравнениями x t , y t 3 . Найти траекторию, величину ско-
рости, нормальное и тангенциальное ускорения.
Решение: Траекторией является, очевидно, кубическая
парабола y |
x3 . Выясним еѐ кривизну в точке |
|
x, y . |
||||||||||||||||||||
Согласно (3.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
y |
|
|
|
|
|
|
6t |
|
|
|
|
|
|
6t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 y |
12 |
2 |
|
|
1 |
9x |
4 |
2 |
|
|
1 9t |
4 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Величина скорости равна |
|
|
|
x2 |
y 2 |
|
|
1 9t 4 |
|||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Единичный касательный вектор и единичный нормальный вектор имеют координаты (2.22) и (2.22′)
|
|
|
|
|
x |
|
, |
|
y |
|
|
|
|
, |
n |
|
|
|
y |
|
|
, |
|
|
|
|
|
x |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
y 2 |
|
|
|
|
x 2 |
|
y 2 |
|
|
|
x2 |
|
y 2 |
|
|
x 2 |
y 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3t |
2 |
|
|
|
|
|
3t 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 9t 4 |
|
1 9x4 |
|
|
1 9t 4 |
|
|
|
|
1 9t 4 |
|
|
64
Далее находим |
|
|
d 2 S |
|
|
|
18t |
3 |
|
|
|
. |
По формулам |
|
|
получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 9t 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
18t 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18t 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
i |
3t 2 j |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 9t |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 9t 4 |
|
|
|
|
1 9t 4 |
1 9t 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6t |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 9t 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
3t 2i |
|
j |
||||||||||
n |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 9t 4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 9t 4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 9t 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 9t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3.4.3 Движение по заданной траектории. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Рассмотрим материальную точку, движущуюся по аб- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
солютно гладкой |
|
поверхности |
по заданной |
траектории |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(рис.25). Пусть уравнения траектории имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x x(S), y |
|
|
|
y(S), где S – длина дуги. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,y) |
|
θ |
l |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgj |
|
|
a) |
б) |
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Рис.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Действующие силы – это вес частицы |
mgj |
и некоторая си- |
ла G , удерживающая точку на траектории (сила реакции свя-
65
зи). Предполагается, что сила G всегда перпендикулярна траектории. Это и имеют в виду, говоря , что траектория является абсолютно гладкой (т.е. отсутствуют силы трения, всегда направленные по касательной к траектории).
Пусть S и n S - единичный касательный и единичный нормальный векторы в точке траектории, отвечающие значению S параметра (длины дуги). Тогда
|
|
|
|
x i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
, x12 |
y12 1, |
|||||||
|
|
|
|
|
y j , n |
y i |
j |
||||||||||||||||||||||
где штрихом обозначена производная по S .Умножим правое |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
равенство на y , второе – на x |
и сложим их. Получим |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x n . Следовательно, вес материальной точки равен |
|||||||||||||||||||||
|
j |
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mgj |
mgy S |
|
|
S |
mgx S n S . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, направление силы G , по предполо- |
||||||||||||||||||||||||||
жению, |
задается вектором n . Значит, существует такая функ- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ция G S , что G G S n S . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Выше мы видели (см. равенство |
|
), что вектор ускорения |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 S |
|
|
|
|
|
|
|
dS |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равен |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
n |
, где |
K |
K S - кривизна траек- |
||||||||||||
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
dt |
тории в рассматриваемой точке. Запишем второй закон Ньютона для нашего движения.
mgj G ma
Используя полученные соотношения, можно записать закон Ньютона в виде
|
d 2 S |
|
|
|
|
dS |
2 |
mgy S m |
|
|
|
S |
G S mgx S |
|
n S 0 . |
dt 2 |
dt |
Т.к. , n - базис, то это векторное уравнение равносильно двум скалярным
66
|
d 2 S |
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
2 |
|
mgy S m |
|
|
0 , |
G S |
mgx S |
|
mk S |
|
. |
|||
dt |
2 |
|
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Первое из них запишем в виде |
d 2 S |
|
gy |
S ; |
|
(3.23′) |
||||||
dt 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это дифференциальное уравнение второго порядка от- |
||||||||||||
носительно неизвестной функции |
S S t |
, |
описывающей за- |
|||||||||
кон движения материальной точки. Зная |
S t , мы из второго |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
уравнения можем найти силу G |
G S n , с которой траекто- |
рия действует на частицу. Рассмотрим сначала частные случаи.
3.4.4. Движение по наклонной плоскости.
Пусть материальная точка движется по наклонной плоскости (рис. 25 б), тогда ее траектория будет прямолиней-
ной |
: |
x x0 S cos , |
y |
y0 S sin . |
|
|
|||
Тогда уравнение (3.23′) примет вид: |
S t |
g sin . |
Дважды последовательно интегрируя, получим общее решение
в виде |
S t |
g |
sin |
t 2C t |
C |
|
. |
|
2 |
||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Задав начальные условия при |
t=0, S(0)=0 и S′(0)=0,получим |
C |
C |
|
0 и S t g |
sin |
t 2 . |
2 |
|
||||
1 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
3.4.5. Математический маятник.
Математический маятник – материальная точка массы m, укрепленная на невесомом стержне длины l, вращающемся вокруг точки опоры (рис. 25в) без трения.
Предположим, что материальная точка находится ниже
точки подвеса, т.е. |
точка движется по полуокружности |
|
x l sin , y |
l cos |
, где угол θ измеряет отклонение маятни- |
ка от вертикали. Точка движется так, как если бы она скользи-
67
ла по гладкой дуге окружности, заданной рассматриваемыми уравнениями.
Натуральный параметр S выбирается так, чтобы S = 0
при θ = 0, т.е. S |
|
l |
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x l sin |
S |
, y |
l cos |
S |
, |
dy |
sin |
S |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
l |
|
|
l |
|
dS |
|
|
l |
|
|
|
|
|||
Уравнение (3.23′) приводится к виду |
d 2 S |
|
g sin |
S |
0 |
. Реше- |
||||||||||
dt 2 |
l |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние этого уравнения содержат эллиптические функции. Одна-
ко, если ограничится случаем малых колебаний, тогда |
S |
||||||
|
|
||||||
l |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
мало и sin |
S |
|
S |
. При таком упрощении уравнение становится |
|||
l |
|
l |
|||||
|
|
|
|
|
линейным |
d 2 S |
|
g |
S 0 |
. Его общее решение имеет вид |
||||||||||
dt 2 |
|
l |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S t |
|
C cos |
|
g |
|
t |
C |
|
sin |
g |
|
t . |
||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
l |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., в рассматриваемом приближении маятник совершает
простые гармонические колебания с периодом T 2 |
|
l |
|
, Ко- |
|
g |
|||||
|
|
|
|
торый не зависит от амплитуды колебаний.
3.4.6. Решение задач о движении по заданной траектории в общем случае.
Ранее было получено дифференциальное уравнение для движения материальной точки, скользящей без трения вдоль
|
|
|
dy |
|
некоторой кривой (3.23′). Запишем его в виде |
S |
g |
|
. |
dS |
Справа стоит известная функция от S , т.к. кривая задана, и, следовательно, y(S) и x(S) мы должны рассматривать как известные функции от S (положительный отсчет длины дуги S ведем вниз – рис. 25а).
68
Умножим обе части данного уравнения на S . Получим,
|
1 |
|
2 |
|
|
|
dy |
|
|
dy |
(в функции y(S) мы рассмат- |
||||||||||
SS |
|
|
(S |
)t |
g |
|
|
S |
|
g |
|
||||||||||
2 |
|
dt |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
риваем S как функцию от t) |
|
1 |
2 |
|
dy |
||||||||||||||||
|
|
|
S |
t g |
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
dt |
|||||||||||||||||||
или |
d |
|
1 |
|
|
dS |
2 |
gy S |
|
0 . Интегрируя, получим |
|||||||||||
dt |
2 |
|
|
dt |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dS 2 |
gy S |
C1 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Чтобы установить значение постоянной интегрирования C1 , |
|||||||||||||||||||||
предположим, что в момент t=0 S |
S0 |
и материальная точка |
занимает на кривой место, соответствующее значению пара-
метра S 0 , т.е. ее координаты x0 |
x S0 и y0 |
y S0 . Скорость |
||||||||
точки в этот момент положим равной нулю, |
т.е. S 0 |
0 . По- |
||||||||
лагая в найденном решении t = 0, получим |
|
0 |
gy 0 |
C , |
||||||
откуда C gy0 и |
1 |
2 |
gy g y0 , т.е. |
1 |
2 |
|
|
y0 . |
||
|
S |
|
S |
g y |
||||||
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть в процессе движения производная S t |
сохраняет |
свой знак в течение некоторого временного интервала. Напри-
мер, пусть |
dS |
0 . Тогда из последнего равенства получаем |
||||||
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2g( y0 |
y) . |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dt |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. S |
0 , то для функции S S(t) существует дифференци- |
|
|
руемая обратная функция. Это значит, что мы можем рассматривать t (время) как функцию S (расстояния, измеренного
69
вдоль траектории). Для обратной функции получаем уравне-
ние |
|
dt |
1 |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dS |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2g( y0 |
y(S ) ) |
|||||||||
Интегрируя, получим t |
|
|
|
dS |
|
|
|
|
C2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2g( y0 |
y(S ) ) |
||||||
|
Пусть F(S) – первообразная для правой части. Тогда |
|||||||||||
t |
F(S) C2 . Т.к. t=0 при |
S=S0, |
то 0 F (S0 ) C2 . Т.е. |
|||||||||
C2 |
F (S0 ) и t F (S ) F (S0 ) . |
|
|
|
|
|
Приращение первообразной заменим определенным интегралом. Получим решение в виде
S |
d |
|
|
||
t |
|
|
. |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
2g( y(S0 ) y( ) |
|||||
S0 |
|
|
Это уравнение выражает (в интегральном виде) время t, которое материальная точка затрачивает для прохождения пути от S0 (начало движения) до S.
Данная формула выведена в предположении, что используется параметрическое представление траектории, причем за параметр принята длина дуги. Удобно переписать ее для произвольного параметра θ
x x( ), y y( )
(вместо t здесь используя параметр θ, а буква t сохраняется для обозначения времени). Тогда, заметив, что при t=0 параметр должен равняться θ0, получим
|
t |
dS |
|
|
|
d |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2g( y0 |
|
y) |
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая, что |
|
x ( |
) 2 |
y ( |
) 2 |
|
, окончательно полу- |
|||||||
d |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
чим |
|
t |
|
|
|
x 2 |
y 2 |
d |
|
(3.24′). |
||||
|
0 |
|
2g( y0 |
y) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70
Замечание. Интеграл (3.24′) является несобственным, т.к. при y=y0 (S=S0) имеется бесконечный разрыв у подынтегральной функции. Но если y′(S) непрерывна и y′(S0)≠0, то можно показать, что указанный интеграл сходится.
3.4.7. Исследование движения.
С помощью полученных уравнений, даже не имея явного выражения для результата интегрирования, можно уяснить общий характер движения.
Пусть кривая имеет форму дуги, обращенной выпуклостью вниз (рис. 26а). Пусть S возрастет слева направо. Если в начале движения мы отпускаем материальную точку и даем ей падать из положения A(x0,y0) с параметром θ0, то ее скорость возрастет, т.к. ускорение положительно (правая часть уравне-
ния (3.23′)).
y |
|
|
|
|
|
A |
B |
y |
|
|
|
Y0 |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
P |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
0 X0 |
X1 x |
0 |
|
Q |
2a x |
a) |
|
|
|
б) |
в) |
Рис.26
Материальная точка будет скользить до самой низкой точки траектории с возрастающей скоростью. Но, пройдя самую нижнюю точку кривой, материальная точка замедляет свое движение, т.к. ускорение становится отрицательным, поскольку отрицательной становится правая часть уравнения
движения g dSdy . Поэтому скорость убывает. Из уравнения
71
2 |
2g y y0 видно, что, когда материальная точка снова |
S |
достигает своей начальной высоты в точке траектории B(x1, y0), скорость обращается в нуль.
Так как ускорение по-прежнему отрицательно, материальная точка должна из положения B возвратится назад, совершая обратное скольжение до точки А. Поскольку трение не учитывается, этот процесс должен все время повторятся.
В этом колебательном движении время, требующееся для возвращения материальной точки от В к А должно, очевидно, равняться времени, в течение которого она прошла путь от А до В. Если обозначить время такого колебания туда
иобратно через Т, то движение будет периодическим с периодом Т.
Обозначив через θ0 и θ1 значения параметров в точках А
иВ, получим для полупериода колебательного движения из
(3.24′)
T 1
2 |
2g |
1 |
x12 |
y12 |
|
|
|
|
|
d |
(3.25′) |
0 |
y0 |
y |
||
|
|
|
|
3.4.8. Циклоидальный маятник.
В п. 3.4.5. получено выражение для периода Т математического маятника. Лишь в приближении малых колебаний период не зависит от амплитуды колебаний. Гюйгенс (XVIIв.) в связи с его работами по устройству точных часов, поставил вопрос о том, существуют ли кривые (траектории), для которых Т на самом не зависит от амплитуды (начального смещения). Он нашел, что таким свойством обладает циклоида ( и только циклоида).
Для того, чтобы материальная точка могла вообще совершать колебания по циклоиде, точки заострения (точки возврата) циклоиды должны быть обращены в сторону, противо-
положную направлению силы тяжести, т.е. вверх. Для этого циклоиду, которую обычно рассматривают (рис.20, верхняя кривая) надо зеркально отразить относительно прямой y=a
72