3358
.pdf>Y:=evalf([seq(subs(rez,g[k]),k=0..n)]):
>X:=evalf[5]([seq(a+k*h,k=0..n)]):
>gr1:=plot([[X[i],Y[i]]$i=1..n+1],x=a..b, style=POINT,symbol=CIRCLE,color=black):
>readlib(spline); # – получение непрерывного решения с помощью сплайн-интерполяции
>Digits:=10: f1:=spline(X,Y,x,linear):
>gr2:=plot(f1,x=a..b,color=blue):
>x:='x': y:='y':
>p:=dsolve({diffeqn,A0*D(y)(a)+B0*y(a)=C0,
A1*D(y)(b)+B1*y(b)=C1},y(x));
>u:=unapply(subs(p,y(x)),x); # u(x) – точное решение
>gr3:=plot(u(x),x=a..b,color=red):
>plots[display]([gr1,gr2,gr3])
Вычисление величин 1 и 2 – норм ошибки решения:
>delta1:=(1/(n+1)*sum( (Y[‘i]-u(X[i]) )^2', 'i'=1..n+1))^(0.5);
>delta2:=max( seq(abs(Y[i]-u(X[i])),i=1..n+1) );
Следующие строки используются для табулирования:
>np:=trunc(0.1/h); if(np=0) then np:=1; fi;
>for j from 1 by np to n+1 do printf(`x=%4.2g Y=%8.5g u=%8.5g\n`, X[j],Y[j],evalf(u(X[j]))); od;
|
Результаты вычисления величин 1 |
и 2 в зависимости от |
||||||
n приведены в таблице. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=4 |
n=8 |
n=16 |
|
n=50 |
|
n=100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,04509 |
0,01527 |
0,005263 |
|
|
–4 |
|
–4 |
1 |
|
|
|
9,3449 10 |
|
3,2883 10 |
|
|
|
0,02829 |
0,007121 |
0,001784 |
|
|
–4 |
|
–5 |
2 |
|
|
|
1,1828 10 |
|
4,5699 10 |
|
Видно, что сходимостью данный метод конечных разностей обладает.
190
Упражнения
1. Решить методом конечных разностей одну из следующих краевых задач. Использовать не менее 5 узлов. Сравнить с точным решением. Построить графики. Провести аппроксимацию полученного решения по методу кусочно-линейной или кусочно-квадратичной интерполяции. Показать сходимость, увеличивая каждый раз число узлов в 2 раза.
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 1 lnx2 , |
(1) 0, (2) 0. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 1 lnx2 , |
(1) 0, (2) 0. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
d |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вариант 3. |
|
|
|
x2 |
|
|
|
2 1 lnx2, (1) 0, (4) (4) 2. |
||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 4. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 1 2lnx, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(1) (1) 0, (2) (2) 0. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 5. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 1 2lnx, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) (2) 2, (2) (1) 1. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 6. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 0, |
(1) |
1, (2) 1. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
Вариант 7. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
, (1) |
0, (2) |
1. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 8. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 2 lnx, |
(1) 2 (1) |
0, (2) |
1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
(0) 0, (1) 1. |
|
||||
Вариант 9. |
|
|
|
|
|
|
|
1)2 |
|
|
|
2 1, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант10. |
|
|
|
|
|
|
|
(x |
1)2 |
|
|
2 1 ln(x 1), (0) |
0, (2) |
1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
191
2. Решить краевую задачу методом конечных разностей. Сравнить с точным решением. Показать сходимость. Построить график непрерывного решения на основе сплайн-интерполяции.
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
1 |
|
|
|||||||||||||||
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
(x |
2 x |
1) |
|
|
|
|
|
x |
2 1; |
|
а) (0) |
0, |
|
|
|
|
(1) |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
б) (0) 0, |
|
(1) |
|
1 |
; |
в) |
(0) |
d |
(0) |
|
0, |
|
|
|
(1) |
d |
(1) 1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
d |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x; |
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
(0) 0, |
(4) 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
б) (0) 0, |
|
(4) |
|
1; в)2 (0) |
d |
(0) 0, |
|
|
d |
(4) (4) 1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
d |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) (0) 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) 1; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx 1 x2 |
|
|
|
dx |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
б) (0) 0, |
|
(1) |
1; |
|
|
в) |
(0) |
1, |
|
|
|
(1) 4 (1) 2. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
d |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Вариант 4. |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 x; а) |
(1) |
1, |
|
d |
(2) |
|
1; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
б) (1) 1, |
|
(2) 1; |
в) |
(1) |
|
(1) 5, |
|
|
|
|
(2) 2 (2) 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Вариант 5. |
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex 0; |
|
а) |
(0) |
1, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
б) (0) 1, |
|
(1) |
|
1 |
; |
в) (0) 5 |
d |
(0) |
2, |
|
d |
(1) (1) 2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Вариант 6. |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
, а) (0) 1, |
d |
1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
б) (0) 1, |
|
(2) |
|
1 |
; |
|
|
в) |
|
d |
(0) 2 (0) 1, |
|
|
|
d |
(2) |
1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
d |
e2x |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|||||
Вариант 7. |
|
e |
x |
|
ex |
|
|
; |
|
а) |
(0) |
1, |
|
|
(1) 3; |
||||||
|
|
dx |
|
|
|
dx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
б) (0) 1, |
(1) |
3; в) 2 (0) 3 |
d |
(0) |
8, |
|
d |
(1) |
2 (1) 2. |
||||||||||||
dx |
dx |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 8. |
|
d2 |
|
1 x x2 ; а) |
|
d |
|
(1) 1, |
(3) 1; |
||||||||||||
|
dx2 |
|
dx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) (1) 1, (3) 1; в) (1) |
d |
(1) 1, |
|
|
d |
(2,5) 2 (2,5) |
1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
d |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вариант 9. |
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
4x2 |
|
|
; а) |
d |
|
(1) 3, |
(2) 3; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) (1) 3, |
|
(1,9) 3; в) |
|
|
d |
(1) 2 (1) 10, |
20 |
d |
(2) (2) 10. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
Вариант 10. |
|
|
|
(ex 2) |
|
|
|
|
|
ex 2 ; а) |
|
|
|
|
(0) 10, |
(2) |
|
; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
б) (0) 10, |
|
(4) |
1 |
; в) |
d |
(0) 2 (0) |
15 |
, 20 |
|
d |
(2) (2) 10. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||
3. С помощью МКР найти решение краевой задачи, не |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеющей аналитического решения. Показать сходимость. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
(x) (x 1)y |
(x) 2y(x) 2(2x 1), |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4y(0,5) y (0,5) 2, |
|
y(1) y (1) 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
(x) (x 1)y (x) 2y(x) 4x, |
4y(0,5) y |
(0,5) 2, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y(1) 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вариант 3. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
(x) |
|
|
|
|
|
y (x) (x 1)y(x) 1, y(0,5) 2 3, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
(1) 2y(1) 0,75. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вариант 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1)3 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y |
(x) (x 1)y |
(x) y(x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
y(1) 0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
y(0,5) y (0,5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
193
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
Вариант 5. |
y |
|
|
|
1 y |
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 2 , |
||||||||||
|
(x) x2 |
(x) x2 1 y(x) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y(1) |
|
0,5. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
y |
(0) 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Вариант 6. |
y |
|
|
2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) 0,5, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(x) |
|
|
|
|
(x) (x 2)y(x) 1, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y(1) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вариант 7. |
x |
2 |
lnx y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x) xy (x) y(x) 0, y(1) 0, |
||||||||||||||||||||||
|
y(e) e 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вариант 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
(x) lnx y |
(x) 2y(x) 1, |
y(0,5) y (0,5) 1, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y(1,5) y (1,5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вариант 9. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
, |
y(0) 0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(x) y |
(x) cos2 x y(x) cos2 x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
(0,5) 1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y(x) 8, |
|
||||||||||||
Вариант 10. y (x) x y (x) x2 |
|
y (0,5) 0,5, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y(1) y |
(1) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4*. Решить нелинейное уравнение |
e y y 1 с краевыми |
||||||||||||||||||||||
условиями y(0) y(1) 0, |
|
|
используя сетку с |
шагом не более |
h=0,25.(Это уравнение типично для задач о распространении тепла в химически реагирующих материалах, для которых плотность источника тепла пропорциональна ey, где y – температура).
Указание. Для решения подобных задач используются стандартные итерационные (с последовательным уточнением) процедуры, сводящиеся к многократному решению систем линейных алгебраических уравнений. Наиболее известные из таких процедур – метод простой итерации и метод Ньютона.
194
8.МЕТОД РИТЦА
8.1.О прямых методах вариационного исчисления
Дифференциальные уравнения (Эйлера) вариационных задач интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях. В связи с этим естественно возникает потребность в иных методах решения этих задач. Основная идея так называемых прямых методов заключается в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных. Эта задача на экстремум функции конечного числа переменных решается обычными методами математического анализа и алгебры.
Функционал F[у(х)] можно рассматривать как функцию бесконечного множества переменных. Это утверждение становится совершенно очевидным, если предположить, что допустимые функции могут быть разложены в степенные ряды
y(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn +...,
или в ряды Фурье
|
a0 |
|
|
y(x) |
(an cosnx bn sin nx), |
|
|
|
|
||
2 |
n 1 |
|
|
или вообще в какие-нибудь ряды вида |
|
||
|
|
|
|
|
y(x) an n (x), |
(8.1) |
|
|
|
n 0 |
|
где n(x) – заданные функции. Для задания функции у(x), представимой в виде ряда (8.1), достаточно задать значения всех коэффициентов an , и, следовательно, значение функционала F[y(x)] в этом случае определяется заданием бесконечной последовательности чисел a0, a1, a2, ... , an, ..., т. е. функционал является функцией бесконечного множества переменных:
F[y(x)]= (a0, a1, ... , an, ...).
Следовательно, различие между вариационными задачами и задачами на экстремум функций конечного числа пере-
195
менных состоит в том, что в вариационном случае приходится исследовать на экстремум функции бесконечного множества переменных.
Идея метода Ритца заключается в том, что значения некоторого функционала F[y(x)] рассматриваются не на произвольных допустимых кривых данной вариационной задачи, а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида
m
ym i Ni (x) с постоянными коэффициентами, составлен-
i 1
ных из m первых функций некоторой выбранной последовательности функций, называемых координатными или базис-
ными,
N1(x), N2(x), ..., Nm(x), ....
m
Функции ym iNi (x) должны быть допустимыми в
i 1
рассматриваемой задаче, что налагает некоторые ограничения на выбор последовательности функций Ni(x). На таких линейных комбинациях функционал F[y(x)] превращается в функцию ( 1, 2, ..., m) коэффициентов 1, 2, ..., m . Эти коэффициенты выбираются так, чтобы функция ( 1, 2, ..., m) достигала экстремума; следовательно, 1, 2, ..., m должны быть определены из системы уравнений
i 0, i = 1, 2,…, m.
Рассмотрим конкретные подходы к решению некоторых задач методом Ритца.
8.2. Простейшая задача вариационного исчисления. Краевая задача 1-го рода
В этой задаче требуется найти функцию y(x), доставляющую экстремум функционалу
b
F[y(x)] f (x, y, y )dx
a
196
при условиях y(a)=y0, y(b)=y1. Одновременно эта функция будет являться решением краевой задачи
f |
|
d |
|
f |
0; y(a)=y0, y(b)=y1. |
|
y |
dx y |
|||||
|
|
Граничные условия 1-го рода обычно играют роль главных условий. В этом случае множество допустимых функций, на которых ищется экстремум, приходится ограничивать только теми функциями, которые априори удовлетворяют этим условиям. Поэтому, если в исходной краевой или вариационной задаче имеются граничные условия 1-го рода
y(a)=y0 и/или y(b)=y1 ,
то непосредственный учет этих условий следует производить путем ограничения множества пробных функций вариационной задачи. Применительно к методу Ритца это означает выбор
m
такой аппроксимации ym iNi (x), которая заведомо удов-
i 1
летворяет указанным условиям вне зависимости от того, какие значения принимают параметры { i}.
Если граничные условия однородны, т.е. y(a)=y(b)=0, то проще всего в качестве базисных функций выбрать функции, удовлетворяющие этим граничным условиям: Ni(a)=Ni(b)=0, i=1,2,...,m. Например,
Ni (x) (x a)(x b) i (x),
где i(x) – какие-нибудь непрерывные функции, или
Nk |
(x) sin |
k (x a) |
(k=1, 2, ...). |
|
|||
|
|
b a |
m
Очевидно, что при этом и аппроксимация ym iNi (x)
i 1
при любых i будет удовлетворять тем же однородным граничным условиям.
197
Если условия неоднородны, т.е. у(a)=y0, у(b)=y1, где хотя бы одно из чисел y0 или y1 отлично от нуля, то решение вариационной задачи можно искать в виде
|
m |
|
|
ym (x) i Ni (x), |
(8.2) |
где (x) |
i 1 |
|
удовлетворяет заданным граничным |
условиям: |
|
(a)=y0, |
(b)=y1 , а функции Ni(x) удовлетворяют соответст- |
вующим однородным граничным условиям, т.е. в рассматриваемом случае Ni(a)=Ni(b)=0. Очевидно, что при таком выборе при любых i функции ym(x) удовлетворяют заданным граничным условиям. В качестве функций (x) можно выбрать, например, линейную функцию
(x) |
y1 y0 |
(x a) y0 , |
|
|
|
|
|
|
|||
|
b a |
|
|
|
|
а в качестве базисных – функции |
|
|
|
||
Ni (x) (x a)(x b)xi 1 . |
|
|
|||
(Убедитесь, что оба условия y(a)=y0 |
и y(b)=y1 |
выполняется |
|||
здесь априори). |
|
|
|
||
На аппроксимации вида (8.1) |
или |
(8.2) |
функционал |
||
F[y(x)] превращается в функцию ( 1, 2, |
..., m) коэффици- |
ентов 1, 2, ..., m . Эти коэффициенты выбираются так, чтобы функция ( 1, 2, ..., m) достигала экстремума; следовательно, 1, 2, ..., m должны быть определены из системы уравнений
i 0, i = 1, 2,…, m.
Совершая предельный переход при m , получим в
случае существования предела функцию y i Ni (x), яв-
i 1
ляющуюся точным решением рассматриваемой вариационной задачи. Если не совершать предельного перехода, а ограничиться лишь m первыми членами, то получим приближенное решение вариационной задачи.
198
8.3. Вариационная задача Больца. Краевая задача 2-го и 3-го рода
Задача Больца состоит в определении функции y(x) c1[a,b],доставляющей экстремум функционалу
b
F[y(x)] f (x, y, y )dx g y(a), y(b) .
a
Задача Больца – это особый тип задачи с подвижными границами, в которой граничные точки кривой могут перемещаться вдоль соответствующих вертикальных прямых x=a и x=b. Экстремум здесь достигается только на кривых, удовлетворяющих уравнению Эйлера
|
|
|
|
|
f |
|
d |
|
f |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
dx y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и условиям трансверсальности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f |
g |
|
|
|
|
f |
g |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
0. |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y |
y(a) x a |
|
|
|
y |
y(b) x b |
|
Надлежащим выбором функций f и g в функционале можно добиться эквивалентной вариационной формулировки дифференциальных краевых задач 2 и 3 рода. Например, функционал
|
|
|
|
1 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
F[y(x)] |
(py |
2 |
qy |
2 |
2 fy)dx |
||
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
+ |
|
2 |
p(b)y(b)2 2 p(b)y(b) |
1 |
p(a)y(a)2 1p(a)y(a) (8.3) |
|||||
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
достигает экстремума на функции y(x), которая одновременно удовлетворяет дифференциальному уравнению 2-го порядка (уравнению Эйлера)
d |
d |
|
|
||
|
p(x) |
|
|
q(x)y f (x) |
(8.4) |
|
|
||||
dx |
dx |
|
|
и граничным условиям 3-го рода (условиям трансверсальности)
199