3416
.pdf
|
2 |
1 |
4 |
3 |
5 |
|
|
5 |
2 |
1 |
3 |
2 |
|
1 |
2 |
3 4 |
5 |
|
|
|
3 |
4 |
0 |
5 |
0 |
|
|
4 |
0 |
7 |
0 |
0 |
|
0 |
6 |
0 |
4 |
1 |
|
4) |
3 |
4 |
5 |
2 |
1 |
; |
5) |
2 |
3 |
7 |
5 |
3 |
; 6) |
2 4 1 |
3 |
5 |
; |
||
|
1 |
5 |
2 |
4 |
3 |
|
|
2 |
3 |
6 |
4 |
5 |
|
1 |
3 |
5 |
2 |
4 |
|
|
4 |
6 |
0 |
7 |
0 |
|
|
3 |
0 |
4 |
0 |
0 |
|
0 |
5 |
0 |
3 |
2 |
|
|
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
9 |
7 |
8 |
9 |
4 |
3 |
|
|
|
3 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
7) |
7 |
4 |
9 |
7 |
0 |
0 |
|
; |
8) |
7 |
6 |
5 |
4 |
0 |
0 |
; |
|
|
5 |
3 |
6 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
5 |
6 |
0 |
0 |
|
|
|
5 |
1 |
2 |
6 |
7 |
3 |
|
|
|
0 |
0 |
6 |
8 |
0 |
0 |
|
|
|
2 |
7 |
5 |
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
|
|
|
1 |
0 |
2 |
0 |
3 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6 |
5 |
7 |
8 |
4 |
2 |
|
|
|
5 |
1 |
4 |
2 |
7 |
|
3 |
|
9) |
9 |
8 |
6 |
7 |
0 |
0 |
|
; |
10) |
1 |
0 |
4 |
0 |
9 |
|
0 |
. |
|
3 |
2 |
4 |
5 |
0 |
0 |
|
|
|
8 |
1 |
5 |
3 |
7 |
|
6 |
|
|
3 |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
8 |
0 |
27 |
|
0 |
|
|
5 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
9 |
1 |
5 |
4 |
3 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31. Пусть A - квадратная матрица второго порядка, а B - квадратная матрица третьего порядка. Выразите следующие определители через определители матриц A и B :
0 |
A |
, |
A |
C |
, |
C |
A |
. |
B |
C |
|
0 |
B |
|
B |
0 |
|
11
ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
1 |
5 |
6 |
|
||
32. |
Вычислите 3A B |
T |
T |
3B , где |
|
3 |
4 |
|
|||||
|
, 2A |
A |
|
, B |
2 |
2 |
3 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
33. |
Вычислите произведение матриц: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
cos |
||||||
1) |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
2) |
|
|
|
||
|
|
5 |
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
sin |
||||
|
1 |
5 |
3 |
|
|
2 |
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
|
2 |
3 |
|
|
1 4 |
|
2 |
; |
|
4) |
|
3 |
|||||
|
|
1 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 3 |
1 5 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
|
1 |
1 3 |
|
|
0 3 |
|
|
1 |
; |
|
6) |
|
0 |
||||
|
|
2 |
2 6 |
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
1 |
1 2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7) |
|
2 |
2 3 |
|
|
2 2 |
|
|
; |
|
|
8) |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
3 |
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
3 28 |
|
|
93 7 3 |
|
|
|
|
|||||||||
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||
|
|
7 |
5 |
|
38 |
|
126 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
sin |
cos |
|
sin |
|
||||||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
sin |
|
cos |
|
||||||||||
3 |
|
2 |
2 |
5 |
|
6 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
1 2 |
|
5 |
|
; |
|
|
||||
5 |
|
3 |
|
|
1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 3 |
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
2 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
2 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 1 |
|
0 0 |
; |
|
|||||
0 |
1 |
3 |
|
0 0 |
|
1 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
0 |
3 |
1 |
|
0 0 |
|
1 |
|
|
10) |
1 |
2 3 |
11) |
2 |
1 n |
12) |
1 |
1 n |
|||
|
; |
|
|
|
|
; |
|
. |
|||
|
3 |
4 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
0 |
1 |
|
34. |
Найдите матрицы |
|
AB , |
|
( AB)T , |
AT BT , |
BT AT , если |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||
, |
|
1 |
0 |
|
T |
B |
T T |
|||||
A |
2 |
3 |
2 |
|
B |
|
. Проверьте равенство ( AB) |
A . |
||||
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
35. Для данных матриц A и B найдите ( A 3B)2 , если
|
1 4 |
7 |
|
|
2 |
1 |
1 |
||||
A |
|
2 5 |
8 |
|
, |
B |
|
1 |
0 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 6 |
9 |
|
|
|
|
4 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
36. Для данных матриц A и B найдите ( AB)3 , если
10 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
4 |
|
5 |
7 11 |
3 |
|
|
A |
, |
B |
3 |
11 27 |
5 |
. |
||
|
3 |
1 |
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
37. Найдите значение данного выражения (здесь E - единичная матрица соответствующего размера):
1) |
A2 2A 5E , |
|
где |
|
4 |
|
3 |
; |
|
|
|
|
||||||
|
A |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
A3 4 A2 A E , |
|
где |
|
1 |
|
2 |
; |
|
|
|
|
||||||
|
A |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
||||
3) |
3A2 2A 5E , |
|
где |
A |
|
|
2 |
|
4 |
|
1 |
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
||||
4) |
A3 7 A2 13A 5E , |
|
где |
A |
|
1 |
|
3 |
|
1 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
38. Для данных матриц A и B найдите |
AB , |
BA , |
A B , |
||||||||||||||
A B , A2 B2 , |
2A2 4A 5E , |
где |
|
|
E |
- |
единичная матрица. |
|||||||||||
Вычислите определители матриц |
A , |
|
B , |
AB , |
A B , |
AT BT , |
||||||||||||
AT BT , A2 B3 . Верно ли равенство A2 |
B2 |
( A B)( A B) ? |
||||||||||||||||
|
|
2 4 3 |
5 |
|
|
|
|
|
3 1 1 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
1 1 0 |
|
|
|
|
|
|
3 0 |
|
4 2 |
|
|
||||
|
A |
|
1 , |
B |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 2 1 |
4 |
|
|
|
1 2 0 4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 1 3 |
|
|
|||||
|
|
1 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13
39. Пусть A - матрица размера 5 5 и | A | 3 . Чему равен
определитель матрицы 2 A2 ?
40. Как изменится произведение AB матриц A и B , если:
а) переставить i -ю и |
j -ю строки матрицы A ; |
||
б) к i -й строке матрицы A прибавить |
j -ю строку, умножен- |
||
ную на число c ; |
|
|
|
в) переставить i -й и |
j -й столбцы матрицы B ; |
||
г) к i -му столбцу матрицы |
B прибавить j -й столбец, умно- |
||
женный на число c ; |
|
|
|
41. Докажите равенства: |
а) (cA)T cAT , где c - число; |
||
б) ( A B)T AT BT ; |
в) ( AT )T A ; |
г) ( AB)T BT AT . |
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
42. Для данной матрицы найдите обратную матрицу и сделайте проверку, т.е. убедитесь, что AA 1 E :
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
2 |
4 |
1 |
|
|||
1) |
; |
2) |
|
|
|
1 |
; |
3) |
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
2 |
3 |
1 |
5 |
3 |
||||||||||
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
1 |
1 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
5 7 |
|
|
1 1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 2 |
|
|
3 4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
6 |
3 4 |
; |
5) 1 1 |
|
1 |
|
1 ; |
6) 2 3 |
|
|
1 2 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
5 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 1 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 0 |
|
6 |
|
|
|
|||||
|
|
43. Решите матричные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
||||
1) |
|
|
X |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
2) X |
4 |
|
|
5 6 |
|
; |
|
|||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
5 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||
3) |
3 |
1 |
|
|
5 |
6 |
14 16 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
5 |
2 |
|
|
|
7 |
8 |
|
|
9 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 3 |
|
|
1 |
|
3 |
0 |
|
|
5 |
3 |
1 |
|
8 3 |
0 |
|
||||||||
4) |
|
3 |
2 4 |
X |
10 |
2 7 |
|
; 5) X |
1 |
3 |
2 |
|
|
5 9 |
0 |
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
7 8 |
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
2 15 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
14
|
1 0 |
0 |
|
0 5 |
0 |
|
4 |
5 |
2 |
|
||||||||
6) |
|
0 |
0 |
2 |
|
X |
|
4 |
0 |
0 |
|
|
|
8 |
10 |
4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 15 |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
1 |
|
1 |
1 3 |
|
|
|
1 1 |
1 |
1 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
8) |
|
|
|
|
||||||||
7) X |
2 1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
X 1 3 |
6 |
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
4 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
4 |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
||||
|
2 |
|
3 |
1 |
|
9 7 6 |
|
2 |
0 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
|
4 |
|
5 |
2 |
|
X |
|
1 1 2 |
|
|
18 12 |
9 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
5 |
|
7 |
3 |
|
|
|
1 1 1 |
|
|
23 15 |
11 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
44. Решите систему (в матрицах второго порядка): |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 1 |
|
3 1 |
|
|
2 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
Y |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 1 |
|
2 1 |
|
|
0 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
4 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
X |
|
Y |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
45. Определите, при каких значениях |
данная матри- |
|||||||||||||||||||
ца имеет обратную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
46. Докажите равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) ( A 1) 1 A ; |
|
б) ( AB) 1 B 1 A 1 ; |
в) ( A 1)n ( An ) 1 . |
|||||||||||||||||||
|
|
47. Как изменится обратная матрица |
A 1 , |
если в данной |
||||||||||||||||||
матрице A : а) переставить i -ю и |
j -ю строки; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
б) |
i -й строку умножить на число c 0 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
в) к i -й строке прибавить |
j -ю строку, умноженную на число c ? |
|||||||||||||||||||||
|
|
48. Пусть |
A - квадратная матрица и A2 A E O . Дока- |
|||||||||||||||||||
жите, что матрица A - невырожденная и найдите A 1 . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
49. В определителе n -го порядка каждый элемент заме- |
нили на его алгебраическое дополнение. Чему равен полученный определитель?
15
РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ
50. Вычислите ранг матрицы по определению:
|
1 |
0 |
0 |
0 |
5 |
|
|
3 5 |
7 |
|
|
4 |
3 |
2 |
2 |
|||||||
1) |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
; |
2) |
|
1 |
2 |
3 |
|
; |
3) |
|
0 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
5 |
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
3 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
51. Вычислите ранг матрицы с помощью элементарных преобразований:
|
1 |
2 3 4 |
|
|
2 |
1 |
3 2 |
4 |
|
|
0 |
|
2 |
1 |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
|
2 |
4 6 8 |
; |
2) |
|
4 |
2 5 1 |
7 |
|
; 3) |
|
3 |
|
1 2 |
4 ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
3 |
6 9 12 |
|
|
|
|
2 |
1 1 8 |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
0 |
1 |
|
|
1 |
3 5 1 |
|
3 |
1 3 2 |
|
5 |
4 |
3 |
5 |
2 |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
7 4 |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
6 |
||||||
4) |
2 |
1 |
3 |
4 |
|
; 5) |
5 |
3 2 3 |
|
4 |
; 6) |
|
4 |
3 |
8 2 |
7 |
. |
|||||
|
|
5 |
1 1 |
7 |
|
|
|
1 |
3 |
5 0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
7 |
5 |
1 4 |
|
|
|
|
4 |
3 |
1 2 |
|
|||
|
|
7 9 1 |
|
|
|
1 |
|
8 |
6 |
1 |
4 |
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52. Вычислите ранг матрицы при различных значениях :
|
1 |
|
1 |
2 |
|
3 |
1 |
1 |
4 |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
10 |
1 |
|
|
1) |
2 |
5 |
; |
2) |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
17 |
3 |
|
|
|
1 |
10 |
6 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53.Как может измениться ранг матрицы, если приписать к ней: а) одну строку, б) одну строку и один столбец?
54.Может ли ранг матрицы с размерами 5 6 быть равен
3; 5; 6; 7?
55.Чему равен ранг транспонированной матрицы AT , если rang A r ?
56.Опишите все матрицы ранга 1.
57.Покажите, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
16
58.Пусть A и B - квадратные матрицы порядка n . Дока-
жите, что: 1) rang (AB) min(rang A, rang B) ;
2)если матрица B обратима, то rang AB rang A ;
3)rang (A B) rang A rang B .
59.Выясните, являются ли данные системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми. Для каждой из них укажите какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему:
1) (2, 3,1) , (3, 1, 5) , (1, 4, 3) ; |
2) (5, 4, 3) , (3, 3, 2) , (8,1, 3) ; |
3)(4, 5, 2, 6) , (2, 2,1, 3) , (6, 3, 3, 9) , (4, 1, 5, 6) ;
4)(1, 0, 0, 2, 5) , (0,1, 0, 3, 4) , (0, 0,1, 4, 7) , (2, 3, 4,11,12) .
60.Найдите все значения , при которых вектор b линейно выражается через векторы ai , если:
1) |
a1 |
(2,3,5) , a2 |
(3, 7,8) , a3 |
(1, 6,1) , b (7, 2, ) ; |
2) |
a1 |
(4, 4,3) , a2 |
(7, 2,1) , a3 |
(4,1,6) , b (5, 9, ) ; |
3) |
a1 |
(3, 2,5) , a2 |
(2, 4, 7) , a3 |
(5,6, ) , b (1, 3, 5) ; |
4)a1 (3, 2, 6) , a2 (5,1,3) , a3 (7,3,9) , b ( , 2, 5) .
61.Пусть ранг m n -матрицы A равен r . Являются ли столбцы матрицы A линейно зависимыми, если: а) r n ; б) r n ?
62.Может ли ранг матрицы быть равен r , если:
а) какие-то r ее столбцов линейно зависимы;
б) любые r столбцов матрицы линейно зависимы; в) какие-то r 1 столбцов линейно независимы?
63. Верно ли, что если a , b , c - линейно независимые векторы, то этим же свойством обладают векторы a b , b c , c a ?
64. Какому условию должно удовлетворять число , чтобы векторы a1 ( ,1, 0) , a2 (1, ,1) , a3 (0,1, ) пространства
3 были линейно зависимы?
17
|
|
|
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
|
|||||||||||||
|
|
65. Решите системы уравнений по правилу Крамера: |
|
|||||||||||||||
1) |
3x 4 y 6 |
; |
|
|
|
2) |
3x 5y 13 |
; |
|
|
|
|||||||
|
3x 4 y 18 |
|
|
|
|
7 y 81 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
||||||
|
2x1 |
x2 |
x3 |
|
0 |
|
|
|
2x1 |
x2 |
|
3x3 |
3 |
|||||
|
|
|
3x2 |
4x3 |
|
6 ; |
|
|
|
|
|
4x2 |
|
5x3 |
8 . |
|||
3) |
|
|
|
|
4) |
3x1 |
|
|||||||||||
|
x |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
2x |
|
7x |
17 |
||||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
66. Решите системы уравнений матричным методом: |
|
|||||||||||||||
|
2x1 |
4x2 |
|
x3 |
|
3 |
|
|
|
4x1 |
2x2 |
|
x3 |
0 |
|
|||
|
|
|
5x2 |
|
3x3 |
|
1 ; |
|
|
|
|
2x2 |
|
x3 |
1 ; |
|||
1) |
x1 |
|
|
2) |
x1 |
|
|
|||||||||||
|
x |
x |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
3 |
|||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
2x1 |
x2 |
|
5x3 |
4 |
|
|
|
2x1 |
x2 |
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
x2 |
|
5x3 |
0 ; |
|
|
|
|
2x2 |
|
x3 |
2 . |
||||
3) |
3x1 |
|
4) |
x1 |
|
|
||||||||||||
|
5x |
2x |
|
13x |
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
2 |
|||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
67. Решите системы уравнений методом Гаусса: |
|
|
||||||||||||||
|
3x |
2x |
|
x |
|
5 |
|
x |
|
x |
2x |
|
x |
|
4 |
|||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
1) |
x1 |
x2 |
|
x3 |
|
0 ; 2) |
2x1 |
x2 |
x3 |
|
2x4 |
1; |
||||||
|
4x |
x |
|
5x |
|
3 |
|
x |
|
2x |
2x |
|
x |
|
7 |
|||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
x1 |
x2 |
|
2x3 |
|
0 |
|
2x1 |
3x2 |
5x3 |
|
7x4 |
1 |
|||||
3) 2x1 |
3x2 |
|
x3 |
|
2 ; |
4) 4x1 |
6x2 |
2x3 |
|
3x4 |
2 ; |
|||||||
|
x |
2x |
|
x |
|
5 |
|
2x |
3x |
11x |
|
15x |
1 |
|||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
3x |
5x |
2x |
4x |
2 |
|
2x |
7x |
3x |
x |
6 |
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5) |
7x1 |
4x2 |
x3 |
3x4 |
5 ; |
6) |
3x1 |
5x2 |
2x3 |
2x4 |
4 ; |
|||||||
|
5x |
7x |
4x |
6x |
3 |
|
9x |
4x |
x |
7x |
2 |
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
18
|
3x1 |
4x2 |
x3 |
2x4 |
3 |
|
2x1 |
5x2 |
8x3 |
8 |
|
||
|
|
|
|
3x2 |
9x3 |
9 |
|
||||||
|
|
|
8x2 |
2x3 |
5x4 |
7 ; |
|
4x1 |
|
||||
7) |
6x1 |
8) |
|
2x |
3x |
5x |
7 |
; |
|||||
|
9x |
12x |
3x |
10x |
13 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
x |
8x |
7x |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
2x1 |
3x2 |
11x3 |
5x4 |
2 |
|
x1 |
2x2 |
4x3 |
3x4 |
0 |
|
||
|
|
|
x2 |
5x3 |
2x4 |
1 |
|
|
||||||
|
x1 |
|
|
|
5x2 |
6x3 |
4x4 |
0 |
|
|||||
9) |
|
3x |
3x |
9x |
5x |
2 ; |
10) |
3x1 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
4x |
5x |
2x |
3x |
0 |
|
||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
3x |
2x |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
3x |
8x |
24x |
19x |
0 |
|
|
|
|
x |
3x |
4x |
3 |
|
|
|||||||
|
x |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68. Исследуйте систему и найдите общее решение в зависимости от значений параметра :
|
2x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
1 |
5x1 |
3x2 |
2x3 |
4x4 |
3 |
||
|
|
|
2x2 |
3x3 |
7x4 |
1 ; |
||||||
1) |
x |
2x |
x |
4x |
2 ; 2) |
4x1 |
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
6x2 |
x3 |
5x4 |
9 |
|
x |
7x |
4x |
11x |
|
8x1 |
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
7x |
3x |
7x |
17x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
3x1 |
2x2 |
5x3 |
4x4 |
3 |
|
|
x |
x |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
3x2 |
6x3 |
8x4 |
5 ; 4) |
x |
x |
x |
1. |
|||
3) 2x1 |
||||||||||||
|
x1 |
6x2 |
9x3 |
20x4 |
11 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
x3 |
1 |
||||||
|
|
|
x |
4x |
x |
2 |
|
|
x1 |
|||
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
69. Найдите фундаментальную систему решений и общее решение для следующих однородных систем:
|
x1 |
2x2 |
4x3 |
3x4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
5x2 |
6x3 |
4x4 |
0 |
|
|
1) |
3x1 |
; |
|
|||||
|
|
5x2 |
2x3 |
3x4 |
0 |
|
||
|
4x1 |
|
|
|||||
|
3x |
8x |
24x |
19x |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
3x1 |
2x2 |
x3 |
3x4 |
5x5 |
0 |
|
|
|
|
|
4x2 |
3x3 |
5x4 |
7x5 |
0 |
|
2) |
6x1 |
; |
||||||
|
|
6x2 |
5x3 |
7x4 |
9x5 |
0 |
||
|
9x1 |
|
||||||
|
3x |
2x |
|
4x |
8x |
0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
4 |
5 |
|
|
19
|
3x1 |
5x2 |
2x3 |
0 |
|
x1 x3 x5 0 |
|
|
|
||||||
|
|
x2 x4 x6 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
7x2 |
5x3 |
0 ; |
|
|
|
|
||||||
3) 4x1 |
4) x1 x2 x5 x6 0 ; |
|
|
|
|||||||||||
|
x1 |
x2 |
4x3 |
0 |
|
x2 x3 x6 |
0 |
|
|
|
|||||
|
2x |
9x |
6x |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
x x x 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
3x1 |
4x2 |
x3 |
2x4 |
3x5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
7x2 |
x3 |
3x4 |
4x5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5) |
5x1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
5x2 |
2x3 |
x4 |
5x5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
4x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
7x |
10x |
x |
6x |
5x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 4x2 5x3 3x4 0 |
6x1 2x2 2x3 5x4 7x5 0 |
|
||||||||||||
|
|
9x1 3x2 4x3 |
8x4 9x5 |
0 |
|
||||||||||
|
|
3x1 |
6x2 4x3 2x4 0 ; |
|
|
||||||||||
6) |
|
7) |
6x |
|
2x |
6x 7x x 0 |
. |
||||||||
|
4x 8x 17x 11x 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
3x x 4x 4x x 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
70. Известно, что |
X1 (1, 1,0,0) и |
X2 |
(0, 1, 2,1) |
обра- |
зуют ФСР некоторой однородной системы линейных уравнений. Из скольких уравнений может состоять эта система? Приведите пример такой системы, состоящей из трех уравнений.
71. Найдите значения параметра , при которых система имеет ненулевые решения, и найдите эти решения:
|
2 x1 |
3x2 |
2x3 |
0 |
|
2x1 |
x2 |
3x3 |
0 |
|
|
x2 |
x3 |
0 ; |
|
|
x2 |
7x3 |
0 |
1) |
x1 |
2) |
4x1 |
||||||
|
|
x2 |
4x3 |
0 |
|
|
x2 |
2x3 |
0 |
|
8x1 |
|
x1 |
72. Найдите общее решение неоднородной системы, используя фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы:
2x1 |
x2 |
7x3 |
7x4 |
3 |
1) x1 |
2x2 |
8x3 |
5x4 |
3 ; |
x |
x |
5x |
4x |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
20