3447
.pdfВ частном случае, когда в интегро – степенном члене
(6.25) |
0 |
0, |
1 |
... |
n |
1, |
а ядра |
интегралов обладают |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
свойствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Kn (t, t1,..., tn ) |
Kn (t |
|
t1,..., t tn ) |
для |
n |
1,2,..., |
||||||
|
2. Kn (t |
t1,..., t tn ) 0, |
если t |
tk |
0 |
для |
k |
1,2,..., n, |
||||
интегро – степенной ряд (6.26) обращается в ряд Вольтерра: |
||||||||||||
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... Kn (t |
t1,..., t |
tn )u(t1)...u(tn )dt1...dtn , |
(6.27) |
|||||||
|
n 1 |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где нижний предел в интегралах может быть равен |
|
. |
||||||||||
Если во всех интегралах (6.27) выполнить замену |
||||||||||||
переменных |
k |
t tk |
для k |
|
1,2,..., n, , и положить a |
, то |
||||||
ряд Вольтерра примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
... |
Kn ( 1,..., n )u(t |
1 )...u(t |
|
n )d 1...d |
n . |
(6.28) |
|||||
|
n 1 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В такой форме ряды Вольтерра чаще всего встречаются в приложениях.
Пусть сумма ряда (7.27) или (7.28) равна v(t) и аргумент t имеет смысл времени. Из вида членов ряда следует, что значение функции v(t) в момент времени t определяется значениями функции u( ) во все предшествующие моменты времени t . Таким образом, если физическая величина v(t) определяется формулой (7.27) или (7.28) через величину u(t) , то физическая система обладает памятью – система
“помнит”' свою историю. Именно это свойства обусловливает применение рядов Вольтерра для описания свойств физических и технических систем. В частности, ряд вида (7.28) используется в механике полимеров для представления связи между напряжением и деформацией.
230
7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
7.1. Необходимость асимптотических методов
При построении приближенных решений алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений, а также при оценке различных интегралов приходится иметь дело с рядами по степеням параметра или независимой переменной. В разделе “Функциональные ряды и их приложение” рассматриваются решения некоторых дифференциальных уравнений в виде сходящихся степенных рядов.
Среди причин, затрудняющих поиск точного решения физических и инженерных задач, можно указать нелинейность уравнения, наличие переменных коэффициентов, а также нелинейные граничные условия. Для таких задач часто не удается построить решение в виде сходящегося степенного ряда. Обычно в этих случаях используют комбинацию аналитических и численных методов. Из наиболее используемых и мощных аналитических методов можно отметить метод возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям координаты или входящего в уравнение параметра.
К асимптотическим методам обращаются в тех случаях, когда пытаются строить решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда в окрестности нерегулярной особой точки. Может оказаться, что полученный ряд является всюду расходящимся. Дело в том, что при этом выпадает краеугольный результат теории – утверждение, что в окрестности регулярной особой точки сходятся все степенные ряды.
Пример. Построить решение в виде степенного ряда для дифференциального уравнения
x3u (x2 x)u u 0 , |
u |
an x n . |
|
n |
0 |
Решение. Вычислим первую и вторую производную
231
|
u |
|
na xn 1, |
u |
|
n(n 1)a |
n |
xn 2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и подставим в дифференциальное уравнение. Имеем |
|
|
||||||||||||||||||||
|
n(n 1)a |
n |
xn 1 |
|
|
na (xn 1 |
xn ) |
|
|
a |
n |
xn |
|
0 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравнивая нулю коэффициенты при различных |
||||||||||||||||||||||
степенях x , получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x0 : a0 |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
x1 : a1 |
|
a1 |
|
|
|
0 ; |
|
|
|
|||||
x2 : a a |
2 |
|
0 ; |
|
|
|
x3 : 4a |
2 |
2a |
3 |
0 ; … ; |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xn : |
(n 1)an |
|
(n 1)2 an 1 |
0 ,… . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда получаем: |
|
a0 |
|
0 , |
a1 – произвольно, |
a2 |
|
|
a1, |
|
||||||||||||
|
a3 |
2a1 , |
|
a4 |
2 3a1 , a5 |
2 3 4a1 , …, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
n |
( |
1)n |
1(n |
1)! a , … . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получили формальное решение в виде ряда |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u |
a |
|
n |
1 |
|
x n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
( |
1) |
(n |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
который |
расходится при всех x , кроме точки |
x |
|
0 . |
|
|
||||||||||||||||
7.2. Калибровочные функции. Символы |
|
порядка |
|
|||||||||||||||||||
Одним из основных элементов асимптотического анализа |
||||||||||||||||||||||
является |
исследование |
пределов |
функций |
|
f ( |
) |
|
|
при |
|
0 , |
|||||||||||
где |
0 . Если предел функции существует, то имеет место |
|||||||||||||||||||||
одна из |
альтернатив: |
при |
|
0 , |
f ( ) |
|
0 ; |
|
f ( |
) |
; |
|||||||||||
f ( ) |
A , где 0 |
A |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако для целей анализа такая классификация слишком груба: существует бесчисленное множество функций, обладающих такими пределами. Для уточнения приведенной классификации каждый из трех указанных классов функций
232
подразделяют в соответствии со скоростью, с которой они стремятся к своим пределам. Поэтому сравнивают скорость убывания или возрастания этих функций с соответствующими характеристиками эталонных функций. Эти функции сравнения называются калибровочными функциями.
Наиболее употребительные из калибровочных функций следующие ( 0 ):
1. |
Целые |
|
положительные |
|
|
|
|
степени |
параметра |
||||||||||||||||||||
|
: |
|
|
1, |
, |
2,..., |
|
n,... |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
Обратные |
|
|
|
|
степени |
|
|
|
|
|
|
этого |
|
|
|
параметра: |
||||||||||||
|
: |
|
|
1 , |
2,..., |
|
|
n,... |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
Показательные |
и |
|
логарифмические |
функции: e |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
n , |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
, |
e e x |
|
0 , |
e , |
|
ln |
e x |
|
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Иногда |
|
приходится |
рассматривать |
|
|
и |
|
другие |
|||||||||||||||||||||
калибровочные функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вместо утверждения о том, что sin |
0 |
c |
той |
же |
|||||||||||||||||||||||||
скоростью, что |
и |
|
|
|
|
0 , говорят |
что « sin |
имеет порядок |
|||||||||||||||||||||
при |
|
|
|
0 » и пишут sin |
O( |
) |
|
при |
0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
В |
общем |
случае |
полагают |
|
|
f ( |
) |
|
|
O g( |
) при |
|
0 , |
||||||||||||||||
если существует такое число |
A , |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
f ( |
) |
|
A, |
0 |
|
A |
|
. |
|
|
|
|
(7.1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 g( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, при |
|
|
0 |
|
имеют место соответствия: |
||||||||||||||||||||||||
cos |
O(1) , |
sh |
O( |
) , |
|
ctg |
|
|
O( |
|
|
|
1 ) , sh1 |
O( 1 ) , |
|||||||||||||||
tg O( |
) , |
cos |
1 |
|
O( |
2) , |
|
sch1 |
O(e 1 |
) . |
|
|
Настоятельно рекомендуем проверить все эти равенства. Введенное с помощью символа « O » математическое
понятие порядка, формально отличается от физического понятия величин, так как по определению (7.1) значение
233
постоянной A может быть сколь угодно большой, но конечной. Однако обычно принимается, что соответствующий коэффициент порядка единицы и значение, определяемое символом порядка достаточно близко к фактическому значению физической величины.
Помимо введенного символа порядка для характеристики скорости изменения функции относительно калибровочной функции вводится еще один символ o(g( )) определяемый следующим образом
|
|
f ( ) |
|
o(g( |
)) |
при |
0 , |
|
если |
|
lim |
|
f ( |
) |
|
0 . |
(7.2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 g( |
) |
|
|
|
||
|
|
Рекомендуется проверить следующие соответствия |
при |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
o(1) , |
|
cos |
o( |
1 ) , |
|
|
sin |
|
o( |
1 2) , |
|
cos |
o( |
1 2) , |
||||||||||||||
e |
1 x |
|
o(e |
e x |
) , |
ln1 |
|
|
o( |
0.001 |
, |
ln ln1 |
|
|
o(ln1 |
) . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
7.3. |
|
|
Пример асимптотического разложения. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Определение асимптотического ряда |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Сделаем оценку интеграла при больших |
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( ) |
|
|
|
|
|
e x dx. |
|
|
|
|
|
(7.3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложим в степенной ряд множитель при экспоненте в |
|||||||||||||||||||||||||||
подынтегральной функции. Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
x |
|
x 2 |
... |
|
( |
1)n |
x |
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(7.4) |
||||||
|
|
|
x |
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученный ряд (геометрическая прогрессия) сходится при x . Подставим разложение (7.4) в (7.3), найдем
234
|
|
|
|
f ( |
) |
|
|
|
|
|
( |
1)n |
|
|
|
xne x dx, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(n |
1) |
|
n! |
1 2 ... (n |
|
|
1) |
n, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( |
) |
|
|
|
( |
1)n n! |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(7.5) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для выяснения вопроса о сходимости ряда применим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
признак Даламбера к ряду (7.5), получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( 1)n |
|
1(n |
1)! |
|
|
n |
|
|
|
lim |
|
n |
1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
n |
1( |
|
1)n n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, ряд (7.5) расходится при всех значениях |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
. Получается так, |
|
что равенство (7.5) |
не имеет смысла. |
С |
|||||||||||||||||||||||||||||||
другой стороны, поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1, |
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
e |
x |
e x . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Далее имеем 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x dx |
e x |
0 |
1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Следует заметить, что расходимость ряда (7.5) связана с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
незаконностью почленного интегрирования ряда (7.4) |
|
вне |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
интервала его сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Однако формулу (7.5) все же можно использовать для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
вычисления функции |
|
|
f ( |
|
) после некоторой модификации. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Ограничимся в ряде (7.4) конечным числом членов |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
235
и найдем сумму, заметив, что отрезок ряда является геометрической прогрессией
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x N |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1)n |
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, |
|
можно |
|
записать |
|
|
в |
соответствии с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
формулой (7.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
1)n |
|
|
|
|
|
RN (x, |
) , |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где RN – остаток ряда определяется формулой |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
N |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
N |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
RN = |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( |
x) N |
1 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
N ( |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, формулу (7.4) запишем теперь в виде |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
( |
|
1)n |
|
|
x |
n + |
|
( |
x) N |
1 |
|
. |
|
|
|
(7.6) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим, как и ранее в подынтегральное выражение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(7.3), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f ( ) |
|
|
|
|
|
|
e x dx |
|
|
|
|
N ( |
1)n |
|
|
|
|
xne x dx RN ( ), |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
f ( |
) |
|
|
|
N |
( |
|
|
1)n n! |
|
RN ( |
) , |
|
|
|
(7.7) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где остаток |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) N 1 |
|
|
x N |
1 |
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
RN ( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
(7.8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
236
|
Для сходимости ряда необходимо, |
чтобы |
RN |
0 |
при |
|||||||
N |
. Но в |
нашем |
случае RN |
при |
N |
|
|
|
|
в |
||
соответствии с признаком |
Даламбера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Принципиальный момент заключается в том, что мы |
|||||||||||
зафиксируем номер |
N и оценим величину остатка |
RN ( |
) |
|||||||||
при |
0 . Так |
как |
и |
0 и x |
0 , |
то |
1 |
|
|
|
1 |
, |
|
x |
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
поэтому из (7.8) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RN ( ) |
|
1 |
|
x N 1 |
e |
x dx |
1 |
x N e |
x dx |
N! |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
N |
0 |
x |
|
N |
0 |
|
N |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Итак, ошибка, вызванная усечением ряда (7.5) на N - ом |
||||||||||||
члене, не |
превосходит первого отброшенного члена – ( N 1)- |
||||||||||||
го члена. |
К тому же при фиксированном N и |
|
имеем |
||||||||||
RN ( ) |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Поэтому, хотя ряд (7.5) и расходится, но для |
||||||||||||
фиксированного N первые N членов ряда приближают |
|||||||||||||
функцию |
f ( |
) c |
ошибкой, |
которую |
можно |
сделать сколь |
угодно малой выбором достаточно большого значения .
|
Такой ряд называется |
асимптотическим |
рядом типа |
|||||||||||
Пуанкаре и обозначается f ( |
) |
( |
1) |
n |
|
n! |
. |
|
||||||
|
|
n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. |
Ряд вида |
|
an |
|
, |
|
где an |
не зависит |
|||||
|
|
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
от |
, |
называется |
асимптотическим |
|
|
рядом |
и пишут |
|||||||
f ( |
) |
|
an |
при |
тогда |
и |
|
только тогда, когда |
||||||
|
n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
237
|
N |
|
an |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f ( ) |
|
|
o |
|
|
|
|
при |
. |
|
(7.9) |
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
N |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку |
N |
|
an |
|
o( |
|
N |
) |
N 1 an |
|
aN |
o( |
N |
) , |
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
N |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
то условие (7.9) можно записать в виде
|
N |
an |
|
|
|
|
|
|
f ( ) |
|
o( |
N |
) |
при |
. |
(7.10) |
|
|
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n0
Взаключении отметим, что полезность асимптотических
рядов основана на том, что ошибка, получаемая при усечении ряда быстро стремится к нулю при . В вычислениях обычно фиксируют достаточно большое значение параметра и пытаются уменьшить ошибку увеличением числа членов асимптотического ряда. Поскольку ряд расходится, то достигается такое N, за которым добавление новых членов лишь увеличивает ошибку, ведь - конечно. Таким образом, для заданного , существует оптимальное значение N, при котором ошибка минимальна. Практически такое значение N можно отследить, используя ПЭВМ.
Для справки приведем практически используемый асимптотический ряд для одной из функций Бесселя
|
|
|
|
|
J0 (x) |
1 |
x2 |
|
x4 |
|
|
x6 |
|
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
22 |
22 |
42 |
|
22 |
42 |
62 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
причем ряд |
сходится |
абсолютно и |
равномерно при |
|
всех |
||||||||||||||
значениях х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J0 (x) |
2 |
|
|
u(x) cos |
x |
|
|
|
v(x) sin |
x |
|
|
|
при |
x |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
4 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
238
u(x) 1 |
|
|
12 |
32 |
|
|
12 |
32 |
52 |
72 |
, |
|||
|
42 22 2!x 2 |
|
|
42 22 4! x 4 |
||||||||||
v(x) |
1 |
|
|
12 |
32 |
52 |
|
. |
||||||
4 2x |
43 23 3! x3 |
|||||||||||||
Ряды для u(x) |
и v(x) |
расходятся при всех значениях х. |
||||||||||||
Для малых |
х первые несколько членов ряда J 0 (x) дают |
хорошую точность. Например, J 0 (2) дают верные 11 значений цифр, если ограничиться девятью членами разложения.
При x 4 восемь членов ряда J 0 (2) дают точность до
3-й значащей цифры, в то время как такую же точность обеспечивает уже первый член асимптотического разложения.
7.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
Ранее для оценки скорости изменения функций были введены калибровочные функции. Вместе с тем для асимптотического представления заданной функции не обязательно ограничиваться перечисленными функциями сравнения. Вместо них можно использовать произвольную
последовательность |
функций |
общего |
вида |
n ( |
) , |
|
удовлетворяющих условию |
|
|
|
|
|
|
n ( ) |
o( n 1( )) при |
0 . |
|
(7.11) |
||
Определение. |
Последовательность |
функций |
n ( |
) , |
удовлетворяющих условию (7.11) называется асимптотической последовательностью. Через асимптотическую последовательность можно определить и асимптотическое разложение.
Определение. |
Сумма |
вида |
an n ( ) , где an не |
|
|
n |
0 |
зависит от , а |
n ( ) |
представляет собой асимптоти- |
239