3832
.pdfРассматривая импульсный модулятор с несущей в виде последователь-
ности мгновенных единичных импульсов /7/
|
|
(t ) (t nT ) |
(2.67) |
n
иогибающей входного непрерывного сигнала х(t), выходной сигнал модуля-
тора запишем в виде |
|
x* (t ) x(t ) (t ). |
(2.68) |
Функцию (2.67) называют функцией единичных импульсов и широко используют при исследовании импульсных систем.
Подставляя (2.67) в (2.68) и учитывая, что для физически реализуемых
систем х(t) = 0 при t < 0, получим
|
|
x* (t ) x[nT ] (t nT ). |
(2.69) |
n 0
где x[nT ] x(t )t nT – значение входного сигнала ИИЭ х(t) при t = nТ.
Уравнение (2.69) описывает ИИЭ во временной области. Найдем изо-
бражение по Лапласу (L-преобразование) выходной величины х*(t), т. е.
|
|
X* ( s ) L x* (t ) x[nT ]L{ (t nT )}. |
(2.70) |
n 0 |
|
Учитывая, что |
|
|
|
L (t nT ) (t nT )e sTdt e nsT , |
(2.71) |
0 |
|
из (2.70) получаем |
|
|
|
X* (s ) x[nT ]e nsT . |
(2.72) |
n 0
Это преобразование является дискретным аналогом прямого преобра-
зования Лапласа (2.27) функции х(t). Отличие заключается лишь в том, что интеграл в L-преобразовании заменен суммой, а вместо непрерывной функ-
ции х(t) в (2.72) фигурирует соответствующая решетчатая функция х[nТ].
Таким образом, выражение (2.72) можно рассматривать как преобразо-
101
вание решетчатой функции х[nТ] – так называемое прямое дискретное пре-
образование Лапласа (LD -преобразование). Нетрудно заметить, что L-
преобразование модулированной последовательности х*(t) мгновенных им-
пульсов на выходе ИИЭ равно дискретному преобразованию Лапласа (LD -
преобразованию) соответствующей решетчатой функции х[nТ], т. е.
X* ( s ) L{ x* (t )} L { x[nT ]}. |
(2.73) |
D |
|
Основные свойства дискретного преобразования Лапласа подробно рассмотрены в /20, 27/.
Связь между изображениями Х*(s) и Х(s) может быть установлена на основании теоремы свертки в комплексной области. Преобразование Лапласа
уравнения |
(2.68) |
можно |
записать |
как |
свертку функций |
Х(s) и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (s ) e nsT 1 e Ts e 2Ts |
, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X* ( s ) X( s ) X ( s ). |
(2.74) |
|||||||
При |
|
e sT |
|
1 |
этот ряд представляет собой убывающую геометриче- |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
скую прогрессию (сходится) и его сумма равна |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X (s) |
1 |
. |
|
|
(2.75) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 Ts |
|
|
|
||
С учетом (2.75) уравнение (2.74) можно записать в виде |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
X* ( s ) |
1 |
X( s p ) |
|
1 |
dp, |
(2.76) |
|||
|
|
|
|
|
2 j |
|
Tp |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ñ |
|
|
1 e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
где с1 — контур интегрирования на комплексной плоскости р, который включает все полюсы Х (s). Для вычисления контурного интеграла (2.76) ис-
пользуют теорему о вычетах /28/.
В отличие от изображений непрерывных функций, являющихся функ-
циями переменной s, изображения решетчатых функций являются функция-
ми переменной esT. Введем новую переменную
z esT |
(2.77) |
и сокращенное обозначение Х(z) для получающейся функции от z. 102
Тогда из (2.72) следует
|
(2.78) |
X(z ) x[nT ]z n . |
n 0
Уравнение (2.78) определяет математическую операцию, получившую название прямого z-преобразования (преобразование Лорана). Х(z) называет-
ся z-преобразованием от х(t) или, более точно, от х[nТ] и символически запи-
сывается в виде
X(z) Z{ x(t )} Z{ x[nT]}, |
(2.79) |
где Z – оператор z-преобразования. Связь между z-преобразованием и дис-
кретным преобразованием Лапласа можно записать в виде соотношения
Z{ x[nT ]} L{ x* (t )} LD{ x[nT ]} при s 1 lnz
T
Для нахождения z-изображения по заданному оригиналу х[nТ] можно использовать специальные таблицы соответствия между функциями времени
иих z-изображениями /27, 29/.
2.2.5.Передаточные функции разомкнутых линейных дискретных
стационарных (импульсных) систем
Дискретная система является стационарной только в том случае, когда действующие на систему значения входного возмущения следуют друг за другом через равные промежутки времени. Если значения входной перемен-
ной вводятся в систему через неравные интервалы времени, то дискретная система нестационарна. В дальнейшем рассматриваются дискретные систе-
мы, удовлетворяющие условию стационарности – импульсные системы.
Для разомкнутой линейной импульсной системы, представляющей со-
бой последовательное соединение амплитудного модулятора и линейной не-
прерывной части с весовой функцией g1(t, ) (рис. 2.12) выходная переменная в соответствии с /4/ определяется в виде:
103
T |
) ( )d . |
(2.80) |
gk (t ) g1 (t,tk |
||
0 |
|
|
где - функция, описывающая форму импульсов, вырабатываемых модуля-
тором; = -tk – переменная; Ти – длительность импульса; tk – время начала импульса.
Для дискретной линейной системы,
представляющей собой последовательное со-
Рис. 2.12. Структурная схема единение импульсного элемента, вырабаты-
импульсной системы
вающего последовательность равноотстоящих импульсов, и непрерывной стационарной линейной системы с весовой функ-
цией (t- )= g1(t, ) (рис. 2.12), формула (2.80) дает следующее выражение ве-
совых коэффициентов:
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(2.81) |
gk (t ) |
|
g0 |
(t |
|
kTn ) |
|
|
|
(t |
|
kTn |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
) ( |
|
)d |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Tn – период повторения импульсов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Полагая gk(t)=g0(t-kTn), (k=±1, ±2,…) /4/ при t=tl=lTn получим |
|
|||||||||||||||||
gk gk (tl |
) g0 |
(l k )Tn , |
k,l 1, 2, |
(2.82) |
||||||||||||||
Таким образом, весовые коэффициенты |
|
glk |
для импульсной линейной |
системы зависят только от разности индексов. В дальнейшем их будем обо-
значать n, (n=±1, ±2,…) по аналогии с весовыми функциями непрерывных систем.
На основании формул (2.81) и (2.82) весовые коэффициенты n после-
довательного соединения импульсного элемента и непрерывной стационар-
ной линейной системы определяются формулой
T |
|
(2.83) |
n (nTn ) ( )d , |
n 1, 2, |
|
0 |
|
|
Формула (2.62), выражающая последовательность значений выходной переменной через последовательность значений входной переменной, для
импульсной системы принимает вид
104
yl l k xk |
n xl n |
(2.84) |
k |
n |
|
Рассмотрим теперь действие на импульсную систему показательного возмущения x(t ) est . В этом случае
xl n |
e |
s( l n )Tn |
|
|
|
|
|
||
и формула (2.84) дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yl ne s( l n ) Tn |
eslTn |
ne snTn |
(2.85) |
|
n |
|
|
n |
|
Таким образом, реакция импульсной линейной системы на показатель-
ное возмущение est в момент t=lTn равна значению этого возмущения в тот же момент, умноженному на функцию
|
|
F( s ) ne snTn , |
(2.86) |
n
зависящую только от параметра s. Функция F(s) является передаточной функцией импульсной линейной системы.
В соответствии с (2.77) формулу (2.86) можно записать в виде
|
(2.87) |
W(z ) nz n |
|
n 0 |
|
или |
|
W( z ) Z W( s ) . |
(2.88) |
В предположении, что z-преобразованию подвергается импульсная пе-
реходная функция (t)=L-1{W(s)} или соответствующая ей решетчатая функ-
ция (nT).
Рассмотрим теперь определение импульсных передаточных функций системы с формирующим элементом типа фиксатора, имеющего передаточ-
ную функцию H(s) |
1 e sT |
|
|
. В соответствии с (2.88) импульсная переда- |
|
|
||
|
s |
точная функция системы определяется выражением
105
|
1 |
e |
sT |
|
|
W( z ) Z{ H( s )W ( s )} Z |
|
W( S ) . |
(2.89) |
||
|
s |
|
|||
|
|
|
|
|
Обозначив |
W(s) |
W (s); |
Z{W (s)} W (z) |
и учитывая |
(2.77), |
|||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
s |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окончательно имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W ( z ) (1 z 1 )Z{W1 |
( s )} |
z 1 |
W1( z ), |
(2.90) |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W1(z) 1(nT )z n , |
|
|
|
|
(2.91) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(nT ) |
|
(t ) |
|
|
L 1{W |
( s )} |
. |
(2.92) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
t nT |
1 |
|
t |
nT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.6. Модели «вход-состояние-выход». Понятие пространства состояний
и моделирование
Рассмотренные модели «вход-выход» удобны для описания достаточно простых одномерных объектов и элементов систем автоматического управ-
ления. Вместе с тем, существует значительный ряд устройств, имеющих не-
сколько входов и выходов, связи между которыми могут носить как прямой,
так и перекрестный характер. Использование моделей «вход-выход» (SISO
моделей) при описании подобных устройств усложняет их исследование, по-
скольку из-за увеличения числа вводимых в рассмотрение передаточных функций возникают трудности анализа объекта для разных каналов в фикси-
рованные моменты времени. В этой связи, в настоящее время широко разви-
ваются методы исследования многомерных систем автоматического управ-
ления, рассматривающие их состояние в любой текущий момент времени в некотором пространстве, задаваемом, чаще всего, аксиоматически, поскольку понятие состояния физической системы, физического процесса не поддается общему определению, так как для каждого конкретного реального процесса или системы оно различно. Вместе с тем, в теории управления, как и всякой точной науке, мы имеем дело с математическими моделями процессов и сис-
106
тем, состояние которых поддается общему определению в математических терминах /30/.
Состояние математической модели системы или процесса может быть представлено в виде элемента х множества возможных состояний X. Весьма важным является то, чтобы каждый элемент множества х Х характеризовал состояние рассматриваемой модели системы или процесса полностью, одно-
значно. В дальнейшем для краткости слово «модель» будет чаще всего опус-
каться, и множество будет отождествляться с множеством возможных со-
стояний системы или процесса, а каждый элемент этого множества отожде-
ствляется с состоянием системы или процесса (его исчерпывающим описани-
ем). Множество Х можно рассматривать как пространство состояний сис-
темы или процесса. Однако в математике (функциональном анализе) про-
странством обычно называют множество, в котором задано соотношение ме-
жду любыми его элементами, характеризующее «близость» между ними.
Пространство состояний в теории динамических систем вообще и, тео-
рии управления, в частности используется для исследования устойчивости,
оптимизации и др. Во всех этих случаях необходимо введение метрики (оп-
ределение расстояния) в этом пространстве. Действительно, для определения устойчивости невозмущенного состояния естественно рассматривать изме-
нение расстояния между возмущенным состоянием и невозмущенным, при оптимизации необходимо введение функционала (критерия), который, как правило, включает расстояние в пространстве состояний.
Так, метрическим пространством , называется множество элементов
{x, y, z, …}, если на множестве упорядоченных пар (x,y) элементов этого множества определена неотрицательная вещественная функция (x,у), назы-
ваемая расстоянием (или метрикой), такая, что /31/:
( x,y ) |
0 тогда и только тогда,когда x y, |
(2.93) |
||||
( x,y ) (y,x), |
x , |
y , |
(аксиома симметрии ), |
|||
( x,y ) |
( x,z ) |
(z,y ), |
x , |
y , |
z ,(аксиома треугольника ). |
|
107
Здесь следует обратить внимание на то, что состояние везде понимает-
ся как мгновенное, т.е. состояние в текущий или заданный момент времени.
Процесс, протекающий во времени, отображается как движение элемента в пространстве состояний. Понятие метрического пространства очень широ-
кое, хотя в математике оно является частным видом еще более общего поня-
тия топологического пространства /30/.
Для многих задач теории управления понятие пространства состояний как метрического пространства вообще является чрезмерно широким, и
удобнее пользоваться частными видами этого пространства, а для других за-
дач введение метрики вида (2.93) недостаточно. Так, при исследовании ус-
тойчивости, управляемости, оптимизации по квадратичному критерию обыч-
но достаточно самой естественной метрики – евклидовой и использования евклидова пространства состояний.
Элементами пространства состояний n размерности n служат векторы x=(x1, x2,…., xn), y= (y1,y2,….,yn) евклидова норма разности которых (расстоя-
ние) выражается формулой
( x, y ) |
(x1 - y1 )2 ... ( xn yn )2 |
|
( x y )T ( x y ) , |
(2.94) |
где «Т» – символ транспонирования.
Это расстояние удовле-
творяет аксиомам (2.93). Аб-
страктное евклидово про-
странство наиболее естест-
венное в том смысле, что при n=3 оно аналогично реально-
му трехмерному пространству
Рис. 2.13. Иллюстрация пространства состояний
(в евклидовом приближении).
Иллюстрация этого пространства состояний и траектории движения в нем
(фазовой кривой или фазовой траектории) приведена на рис. 2.13, а. Здесь
108
полагается х’=x(t1), х”=x(t2), t1< t2. Фазовая траектория описывается концом вектора х(t) при изменении времени t. Конец вектора х(t) называется изобра-
жающей точкой. Естественно, что изображающая точка имеет то же обозна-
чение, что и вектор (2.94).
Евклидово пространство достаточно универсально, и чаще всего будет использоваться в дальнейшем именно оно. Для оптимизации по сложным не квадратичным критериям метрики (2.93) иногда недостаточно, приходится
доопределять метрику различными дополнительными условиями.
Пространство состояний применяется как при описании замкнутых систем и процессов, не взаимодействующих (автономных) с другими систе-
мами и процессами (в частности, внешней средой), так и для систем и про-
цессов, в которых такое взаимодействие существует. В последнем случае не-
обходимо введение дополнительных множеств, таких как множество управ-
лений с элементами и u U, множество возмущающих воздействий с элемен-
тами f F. Эти множества также могут представлять собой метрические про-
странства с различными метриками.
Кроме того, каждая система, рассматриваемая в пространстве состоя-
ний х X, обычно может быть разделена на подсистемы (субсистемы), как правило, взаимосвязанные. В соответствии с этим пространство состояний Х может быть представлено в виде суммы субпространств являющихся, но су-
ществу сечениями пространства X. Состояние системы полностью определя-
ет лишь совокупность элементов всех указанных субпространств Х(1), X(2), ...,
Х(q), т. е. элемент полного пространства состояний: х Х = Х(1) X(2) ... Х(q).
Элементами пространства состояний могут быть конечные упорядоченные совокупности действительных чисел (конечномерные векторы). Подобный вектор в развернутой форме везде в дальнейшем будет обозначаться либо в виде вектора–строки, либо в виде вектора–столбца (матрицы–столбца)
x x1 ,x2 , ,xn , |
x x1 ,x2 |
, ,xn |
T |
, |
(2.95) |
|
|
|
|
|
|
|
109 |
|
|
|
|
где [x1, x2,…., xn],—матрица-строка. Элемент (2.95) пространства состояний называется конечномерным вектором состояния. Элементами пространства состоянии могут быть бесконечные совокупности действительных чисел
(счетные множества) – бесконечномерные векторы
T
x x1 ,x2 , , x x1 ,x2 , . (2.96)
Это обычно имеет место при описании дискретных математических моделей непрерывных в физическом пространстве систем (систем с распре-
деленными параметрами). Элемент пространства состояний (2.96) называется бесконечномерным вектором состояния. Наконец, элементами пространства состояний могут быть и функции некоторого числа аргументов (помимо вре-
мени). Последнее может встречаться при непрерывном описании систем с распределенными параметрами.
Случай конечномерного пространства состояний наиболее типичный,
наиболее разработанный в теоретическом и вычислительном аспектах, и ему уделяется основное внимание в данной книге. При рассмотрении движения системы (процесса) в пространстве состояний вектор состояния является функцией непрерывного или дискретного времени. Для случая непрерывного времени и конечномерного вектора состояния задание состояния во все мо-
менты времени означает задание векторной функции
x(t ) x1(t ),x2 |
(t ), ,xn |
(t ) x1 |
(t ),x2 |
(t ), ,xn |
(t ) T . |
(2.97) |
|
|
|
|
|
|
|
Соответствующее пространство состояний в теории динамических сис-
тем прежде именовалось фазовым пространством, а для двумерного случая (n = 2) - фазовой плоскостью. В значительной части литературы понятие фазо-
вого пространства и в настоящее время используется как синоним простран-
ства состояний вообще.
Дискретное время представляет собой последовательность моментов
времени
t0 ,t1 , ,tk 1 ,tk , . |
(2.98) |
110 |
|