scherbo-sp2
.pdfМинистерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
для студентов специальности 1-70 02 01 «Промышленное и гражданское строительство»
В двух частях
Часть 2
Составители: А. Г. Щербо, В. К. Родионов
Под общей редакцией А. Г. Щербо
Новополоцк 2007
УДК 539.3/.4(075.8) ББК 30.121я73
С 64
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
С. И. Болбат, начальник технологического отдела ОАО «Нефтезаводмонтаж»; Ю. В. Попков, заведующий кафедрой железобетонных и каменных конструкций ПГУ, кандидат технических наук, доцент
Рекомендован к изданию советом инженерно-строительного факультета
Сопротивление материалов : учеб.-метод. комплекс для студ. спец. 1-70 02 01 С 64 «Промышленное и гражданское строительство». В 2 ч. Ч. 2 / сост. А. Г. Щербо,
В. К. Родионов ; под общ. ред. А. Г. Щербо. – Новополоцк : ПГУ, 2007. – 372 с. ISBN 978-985-418-432-6 (Ч. 2).
ISBN 985-418-433-1. ISBN 978-985-418-433-3.
Cодержит модули 2-й части лекционного курса, руководство к практическим и ла- бораторным занятиям, методические указания к расчетно-графическим работам, соот- ветствующие учебному плану дисциплины.
Предназначен для студентов вузов, специалистов.
УДК 539.3/.4(075.8) ББК 30.121я73
ISBN 978-985-418-432-6 (Ч. 2)
ISBN 985-418-433-1
ISBN 978-985-418-433-3
©Щербо А. Г., Родионов В. К., составление, 2007
©Оформление. УО «ПГУ», 2007
2
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ ...................................................................................................................... |
4 |
МОДУЛИ КУРСА.................................................................................................................... |
5 |
М-8. Определение перемещений в балках при изгибе ......................................................... |
6 |
М-9. Простейшие статически неопределимые системы и балки, лежащие |
|
на сплошном упругом основании......................................................................................... |
30 |
М-10. Сложное сопротивление............................................................................................. |
63 |
М-11. Теории прочности........................................................................................................ |
86 |
М-12. Основы расчета тонкостенных стержней открытого профиля .............................. |
99 |
М-13. Расчет кривого бруса ................................................................................................ |
133 |
М-14. Устойчивость сжатых стержней ............................................................................. |
144 |
М-15. Динамическое действие нагрузок ........................................................................... |
169 |
М-16. Концентрация напряжений....................................................................................... |
192 |
М-17. Прочность материалов при напряжениях, периодически |
|
меняющихся во времени...................................................................................................... |
204 |
М-18. Расчет тонкостенных сосудов ................................................................................. |
221 |
РУКОВОДСТВО К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ...................................................... |
235 |
ТЕМА № 10. Косой изгиб.................................................................................................... |
236 |
ТЕМА № 11. Внецентренное растяжение (сжатие) .......................................................... |
240 |
ТЕМА № 12. Изгиб с растяжением .................................................................................... |
244 |
ТЕМА № 13. Изгиб с кручением ........................................................................................ |
248 |
ТЕМА № 14. Расчет пространственного ломаного бруса................................................ |
252 |
ТЕМА № 15. Кручение брусьев круглого поперечного сечения..................................... |
258 |
ТЕМА № 16. Расчет стержней сплошного поперечного сечения на устойчивость ...... |
264 |
ТЕМА № 17. Расчет составных стержней на устойчивость............................................. |
272 |
ТЕМА № 18. Продольно-поперечный изгиб..................................................................... |
275 |
ТЕМА № 19. Инерционные нагрузки................................................................................. |
278 |
ТЕМА № 20. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы.................. |
284 |
ТЕМА № 21. Расчет на ударную нагрузку ........................................................................ |
290 |
ТЕМА № 22. Расчет простейших статически неопределимых балок............................. |
295 |
ТЕМА № 23. Расчет осесимметричных тонкостенных оболочек |
|
по безмоментной теории...................................................................................................... |
299 |
ТЕМА № 24. Кривые стержни ........................................................................................... |
305 |
РУКОВОДСТВО К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ........................................................ |
309 |
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторных работ............................................. |
310 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10. Определение центра изгиба тонкостенного |
|
несимметричного профиля.................................................................................................. |
311 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11. Определение величины опорной реакции |
|
для статически неопределимой балки опытным путем.................................................... |
320 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12. Исследование деформации консольной |
|
балки при косом изгибе....................................................................................................... |
323 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13. Опытная проверка теории внецентренного |
|
растяжения ....................................................................................................................................... |
329 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14. Исследование напряжений в кривом брусе........... |
335 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 15. Исследование продольного изгиба |
|
в упругой стадии .................................................................................................................. |
350 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 16. Исследование потери устойчивости |
|
при плоском изгибе ............................................................................................................. |
353 |
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 17. Испытание на ударную вязкость............................ |
356 |
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к расчетно-графическим работам............................... |
363 |
3 |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Сопротивление ма- териалов» (часть II) предназначен для студентов II курса очной формы обучения специальности 1-70 02 01 «Промышленное и гражданское строи- тельство».
Вместе с тем, комплекс может быть рекомендован в качестве учеб- ного пособия студентам заочной формы обучения указанной специально- сти, отдельные разделы комплекса могут быть полезны студентам других специальностей инженерно-строительного факультета.
Целью комплекса является оказание студентам методической помо- щи при изучении курса «Сопротивление материалов» на этапе самостоя- тельной работы. Комплекс основан на материалах учебников и учебных пособий по сопротивлению материалов и обобщает опыт преподавания дисциплины на кафедре сопротивления материалов и строительной меха- ники ПГУ, а также на родственных кафедрах других вузов.
Учебный объем II части курса составляет: лекции – 32 часов, практи- ческие занятия – 16 часов, лабораторные занятия – 16 часов.
Учебно-методический комплекс построен в соответствии с рабочей программой и содержит следующие разделы: лекционный курс, изложен- ный в виде модулей, руководство к практическим и лабораторным заняти- ям, методические указания к расчетно-графическим работам.
4
МОДУЛИ КУРСА
5
М-8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ ПРИ ИЗГИБЕ
8.0. Введение в модуль
Модуль содержит следующие структурные элементы:
1.Общие замечания.
2.Дифференциальные уравнения оси изогнутого бруса.
3.Интегрирование дифференциального уравнения и определение постоянных.
4.Метод начальных параметров.
5.Метод Мора для определения перемещений.
Цель модуля – изучить методы определения перемещений в балках.
8.1. Общие замечания
Для того чтобы судить о работе изгибаемых балок, недостаточно знать только напряжения, которые возникают в сечениях балки от задан- ной нагрузки. Вычисленные напряжения позволяют проверить прочность системы. Однако весьма прочные балки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жесткости. Если балка под нагрузкой сильно прогибается, то при эксплуатации сооружения, имеющего гибкие балки, появятся затруднения и, кроме того, могут возникнуть колебания балки с большими амплитудами, а вместе с тем и значительные дополни- тельные напряжения. Для проверки жесткости балки необходимо научить- ся определять перемещения отдельных точек ее оси.
В настоящем модуле рассмотрим только такие балки, у которых по- перечное сечение имеет ось симметрии, а все силы, действующие на балку, лежат в плоскости, совпадающей с этой осью.
На рис. 8.1, а показана изогнутая балка, заделанная одним концом. В результате изгиба ось балки становится криволинейной. Точка К, лежащая на оси в сечении, отстоящем на расстоянии z от начала координат, пере- местится в точку К′. Обозначим перемещение произвольной точки оси бруса в направлении оси у через v, а перемещение вдоль оси бруса – через u. Если в точке К′ провести касательную к оси изогнутой балки, то по от- ношению к первоначальной оси она будет повернута на некоторый угол ϕ. Три величины – v, u и ϕ – являются компонентами перемещения произ- вольного поперечного сечения балки. Определение этих компонентов во всех точках оси балки и составляет задачу настоящего модуля.
Проверка жесткости балок сводится к требованию, по которому наи- больший прогиб vmax не должен превышать определенной доли пролета:
Отношение прогиба к пролету балки устанавливается нормами про- ектирования примерно в пределах от 300 до 1000. Для ответственных со-
6
оружений, например, для железнодорожных мостов, величина m принима- ется около 1000.
Рис. 8.1
Отсюда видно, что прогибы при изгибе, как правило, малы по сравнению с пролетом балки.
Это позволяет ввести некоторые упрощения. Во-первых, при малых прогибах v угол наклона касательной к оси изогнутой балки можно опре- делять с помощью выражения
ϕ ≈ tgϕ = |
dv |
. |
(8.1) |
|
|||
|
dz |
|
Во-вторых, горизонтальными перемещениями u можно пренебречь, так как по сравнению с v они будут величинами второго порядка малости.
В самом деле, рассмотрим, например, балку длиной l, заделанную концом (рис. 8.2).
Предположим, что она изогнулась по окружности. Вертикальное и горизонтальное перемещения свободного конца равны:
v = R (1 − cos α); u = l − R sin α,
где R = lα – радиус кривизны;
α – угол поворота концевого сечения. Разложим cosα и sinα в ряд и ограни-
чимся ввиду малости α двумя членами ряда:
cos α ≈ 1− |
α2 |
; |
|
2 |
|||
|
Рис. 8.2 |
7
sin α ≈ α − α3 . 6
После подстановки получим:
v = |
|
lα |
|
|
|
|
|
; |
|
||
2 |
|
||||
|
|
|
(а) |
||
|
lα2 |
|
|||
u = |
|
|
|||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что v и α – величины одного порядка, а u имеет бо- лее высокий порядок малости.
Пусть, например, v = l100 , тогда α = 1/50, а u = l/15000, т. е. горизон-
тальное перемещение в 150 раз меньше, чем вертикальное. Поскольку до- пускаемый прогиб обычно меньше, чем l/100, разница между u и v в реаль- ных конструкциях еще больше, поэтому величиной u можно пренебречь.
На рис. 8.1, б показана условная схема перемещений. Считается, что каждая точка перемещается только по вертикали.
Для определения полной картины деформаций необходимо получить уравнение оси изогнутого бруса
v = v(z). |
(8.2) |
Если функция v(z) известна, то, определив прогибы в ряде точек, можно построить кривую прогибов и найти наибольший прогиб, который позволит судить о жесткости балки. Вместе с тем во многих задачах быва- ет необходимо определять углы поворота. Эта задача встречается главным образом при расчете статически неопределимых систем, которые имеют большое распространение в строительной практике.
8.2. Дифференциальные уравнения оси изогнутого бруса
При выводе формулы нормальных напряжений при изгибе была по- лучена связь между кривизной и изгибающим моментом:
1 |
= |
M |
. |
|
(8.3) |
|
|
ρ |
|
||||
|
|
EJ |
|
|||
Формула (8.3) показывает, что кривизна |
1 |
изменяется по длине балки |
||||
ρ |
по тому же закону, по которому изменяется величина M . Так, для балки по-
EJ
1
стоянного сечения, показанной на рис. 8.3, а, эпюра кривизны ρ (рис. 8.3, в)
имеет такой же вид, как и эпюра моментов (рис. 8.3, б). Если балка посто-
8
янного сечения испытывает чистый из- гиб (рис. 8.4), при котором момент по длине не меняется, то ее кривизна по- стоянна:
1 = M = const. ρ EJ
Отсюда следует, что радиус кривизны – также величина постоянная. Таким об- разом, при чистом изгибе балка изгиба- ется по окружности.
Однако в общем случае непосред- ственно применять закон изменения кривизны для определения прогибов не удается. Для аналитического решения задачи используют известное из матема- тического анализа выражение кривизны
|
|
|
|
d 2v |
|
|
|||
1 |
= ± |
|
|
|
dz2 |
|
|
. |
|
ρ |
|
dv |
2 3 2 |
||||||
|
|
1 + |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dz |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.3
Рис. 8.4
Подставляя значение кривизны в равенство (8.3), получим дифферен-
циальное уравнение оси изогнутого бруса
|
|
|
d 2v |
|
|
|
|
|
|||
± |
|
|
|
dz2 |
|
|
= |
M |
|
||
|
|
|
. |
(8.4) |
|||||||
|
dv 2 3 2 |
EJ |
|||||||||
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dz |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование этого нелинейного дифференциального уравнения связано с большими трудностями. Учитывая, что на практике приходится
иметь дело с малыми прогибами и что тангенсы углов наклона dv каса- dz
тельной к оси будут малы, квадратом первой производной в знаменателе
dv 2
по сравнению с единицей можно пренебречь.
dz
9
Тогда получим приближенное дифференциальное уравнение
|
|
|
|
d 2v |
= ± |
M |
. |
(8.5) |
|
|
|
|
|
dz2 |
|
||||
|
|
|
|
|
EJ |
|
|||
|
|
Два знака в уравнении (8.5) поставлены потому, что знак кривизны |
|||||||
1 |
≈ |
d 2v |
может не совпадать со знаком изгибающего момента. Знак кри- |
||||||
ρ |
dz2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
визны зависит от направления осей координат. Знак изгибающего момен- та был выбран в зависимости от того, где расположены растянутые волок- на. Так, например, для случая, когда ось оу направлена вверх, положи- тельному моменту (рис. 8.5, а) соответствует положительная кривизна, а отрицательному – отрицательная кривизна.
Рис. 8.5
Таким образом, в случае, когда ось оу направлена вверх, знаки кри- визны и изгибающего момента совпадают, поэтому в дифференциальном уравнении берется знак плюс:
d 2v = + M . dz2 EJ
Если ось оy направлена вниз, то знаки у кривизны и изгибающего момента различны (рис. 8.5, б), поэтому в правой части уравнения (8.5) бе- рется знак минус:
d 2v = − M . dz2 EJ
8.3.Интегрирование дифференциального уравнения
иопределение постоянных
Для того чтобы получить аналитическое выражение прогибов углов поворота, необходимо найти решение дифференциального уравнения (8.5).
Правая часть уравнения (8.5) является известной функцией от z, по- этому имеем простое дифференциальное уравнение.
10