2Частные производные, полный дифференциал
.doc
ЛЕКЦИЯ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Частные производные функции двух переменных. Зафиксируем значение одной из переменных функции , тогда становится функцией этой одной переменной и по ней можно брать производную или дифференциал (если они существуют). Такие производные и дифференциалы называются частными.
Определение 2.1. Частной производной первого порядка функции по переменной ( ) в точке называется предел отношения приращения функции по ( ) к приращению самой переменной при стремлении последнего к нулю:
( ).
Таким образом, частной производной по аргументу функции является производная этой функции по при постоянном , а частной производной по аргументу – производная этой функции при постоянном .
Обозначения: , , , .
Частная производная функции по переменной выражает скорость изменения функции в данном направлении ( ), или скорость изменения функции одной переменной .
Определение 2.2. Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка.
Они обозначаются: , , , , , , , .
Частные производные , называются смешанными частными производными второго порядка.
Отметим, что смешанные частные производные второго порядка равны между собой. Это замечание справедливо для смешанных производных любого порядка.
Таким образом, частная производная -го порядка функции есть первая частная производная от её частной производной -го порядка.
Аналогично определяются и вычисляются частные производные второго и высших порядков от функции трёх и большего числа переменных.
► Пример. Найти частные производные второго порядка функций:
а) ;
б) ;
в) в точке .
Решение. а) Найдем частные производные первого порядка:
; .
Найдем частные производные второго порядка:
; ; ; .
Действительно,
. ◄
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Графиком функции является некоторая поверхность (рис. 1). Уравнение задаёт плоскость, параллельную координатной плоскости . Линию пересечения функции и плоскости описывает функция или (функция одной переменной). Её производная в точке имеет вид:
.
Геометрический смысл этой производной:
,
где – угол между осью и касательной к кривой в точке .
Аналогично, , где – угол между осью и касательной к кривой в точке .
Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных
Определение 2.3. Полным приращением функции двух переменных называется изменение функции при заданных приращениях всех переменных.
В частности, полным приращением функции в точке является разность
.
Представим эту разность следующим образом:
.
Рассмотрим частную производную функции в точке по переменной : . По определению 2.1 частных производных
.
Тогда
,
где при .
Преобразуем последнее равенство:
,
где при , при .
Далее
,
где при , .
В итоге получаем
,
где при , .
Аналогично
,
где при , .
Запишем полное приращение функции в точке с учетом проведённых преобразований:
,
где , при , .
Сумма первых двух слагаемых в последнем равенстве представляет собой главную часть приращения функции.
Определение 2.4. Полным дифференциалом в точке функции называется главная линейная относительно и часть полного приращения функции в этой точке:
.
Дифференциалы независимых переменных равны их приращениям:
, ,
поэтому полный дифференциал функции находится по формуле:
,
где – частный дифференциал функции по переменной , – частный дифференциал функции по переменной .
Аналогично определяется полный дифференциал функции любого числа переменных. Функция, имеющая полный дифференциал в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Таким образом, если в данной точке и некоторой её окрестности частные производные функции непрерывны, то функция дифференцируема в этой точке (обратное также верно).
Полным дифференциалом второго порядка функции называется полный дифференциал её полного дифференциала:
.
Таким образом, получаем
.
► Пример. Найти полные дифференциалы первого и второго порядков функции .
Решение. Находим частные производные первого порядка:
, .
Полный дифференциал первого порядка данной функции имеет вид:
.
Находим частные производные второго порядка:
,
,
.
Полный дифференциал второго порядка данной функции имеет вид:
.◄
При достаточно малых и для дифференцируемой в точке функции верно приближенное равенство
или
,
откуда
Последняя формула для приближенных вычислений значения функции в точке .
► Пример. Найти изменение объема конуса с высотой 30 см и радиусом основания 10 см при увеличении этих измерений на 3 мм и на 1 мм соответственно.
Решение. Объем конуса есть функция двух переменных и . Для решения задачи используем приближенное равенство:
или .
Найдем значения частных производных и в точке :
, ;
, .
Так как см и см, то
(см3). ◄