8Определение ДИ. Свойства ДИ
.doc
РАЗДЕЛ VIII. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ЛЕКЦИЯ 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА, ВЫЧИСЛЕНИЕ В ПДСК
З адача, приводящая к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Тело, ограниченное замкнутой областью плоскости , непрерывной над поверхностью , цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , направляющей служит граница области , называется цилиндрическим (рис. 1). Найдём его объём.
Разобьём цилиндрическое тело на элементарных цилиндрических тел с основаниями ( ) произвольной формы (получим столбики с криволинейным верхом). Площадь каждого основания равна . Одно из элементарных цилиндрических тел выделено цветом на рис. 1.
Ясно, что объём цилиндрического тела равен сумме объёмов элементарных цилиндрических тел:
.
Найдём , заменив элементарное цилиндрическое тело цилиндром с основанием . Высота цилиндра равна значению функции в произвольно выбранной точке области (цилиндр имеет вид столбика с плоским верхом; исходное цилиндрическое тело получит ступенчатую поверхность).
Объём элементарного цилиндрического тела приближённо равен объёму цилиндра. Найдём объём цилиндра, умножив площадь его основания на высоту цилиндра :
.
Понятно, что сумма таких произведений выражает объём ступенчатого цилиндрического тела и приближённо равна объёму данного тела:
.
Сумма называется интегральной Римана функции в области .
Конечный предел последовательности интегральных сумм , , …, , …, составленных для различных разбиений области и различного выбора точки в основании , при и ( – наибольшая из хорд оснований ), называется двойным интегралом функции по области .
Обозначение:
.
Читается: (двойной) интеграл по области эф от икс игрэк дэ эс.
называется областью интегрирования, – подынтегральной функцией, и – переменными интегрирования, – элементом площади.
Другое обозначение
с вязано с возможностью разбиения области произвольным образом (рис. 2), в том числе и прямыми, параллельными осям координат и (рис. 3).
Геометрический смысл двойного интеграла состоит в следующем: двойной интеграл функции по области равен объёму цилиндрического тела с основанием , ограниченного сверху поверхностью .
Свойства двойного интеграла. Определения определённого и двойного интеграла очень похожи, поэтому похожи и их свойства.
1. , где и – константы.
2. Если область интегрирования разбита на две непересекающиеся области и такие что , то
.
3. Если в области , то .
Если в области , то .
4. , так как
,
где – площадь области .
5. Если в области выполняется неравенство , то , где – площадь области .
6. В области существует такая точка , что
,
где – площадь области . Величина называется средним значением функции в области .
Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах. Пусть область есть прямоугольник, определяемый неравенствами , , и непрерывна в этом прямоугольнике. Тогда двойной интеграл функции равен объёму тела с основанием , ограниченного сверху поверхностью , с боков – плоскостями , , , :
.
С другой стороны, объём тела по известной площади любого его поперечного сечения (на рис. 4 выделено цветом) находится по формуле , где – площадь сечения данного тела плоскостью, проходящей через точку и перпендикулярной к оси (рис. 4). То есть
.
Так как сечение является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции , где фиксировано, , то по формуле имеем .
Из этих рассуждений следует, что
.
Т аким образом, нахождение двойного интеграла сводится к вычислению двух определённых. При вычислении «внутреннего» интеграла (записанного в квадратных скобках) считается постоянным.
Повторный интеграл можно записать так:
.
Аналогично можно показать, что
,
и записать повторный интеграл следующим образом:
.
Понятно, что
.
Последнее равенство означает, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.
► Пример. Вычислить двойной интеграл , где область определяется неравенствами , , в различном порядке интегрирования.
Р ешение. Область построена на рисунке 5.
Первый способ:
.
Второй способ:
. ◄
Рассмотрим случай, когда ограничена слева и справа прямыми , соответственно; снизу и сверху кривыми и соответственно; каждая из которых пересекается с прямыми , только в одной точке (рис. 6).
Т огда в сечении получим криволинейную трапецию, ограниченную линиями , где фиксировано, , , (на рисунке 7 сечение выделено цветом).
Площадь этой трапеции находим с помощью определенного интеграла
.
Объём цилиндрического тела равен:
.
Значит,
,
г де при вычислении интеграла величину полагают постоянной.
Если область ограничена снизу и сверху прямыми , соответственно; слева и справа кривыми и соответственно; каждая из которых пересекается с прямыми , только в одной точке (рис. 8), то двойной интеграл равен повторному интегралу вида:
,
г де при вычислении интеграла величину полагают постоянной.
Понятно, что
.
► Пример. Вычислить двойной интеграл где область ограничена линиями , .
Решение. Область построена на рисунке 9. Линии , пересекаются в точках и . Полученная область интегрирования является областью первого вида, для которой , , , . Тогда
.
Вычислим сначала внутренний интеграл, стоящий в скобках, считая постоянной величиной:
=
.
Вычислим внешний интеграл, интегрируя полученную функцию по в пределах от -3 до 3:
.
Итак, . ◄
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Ч то выражает произведение в выражении ?
На рисунке 10 показан один из способов уменьшения площади области . Какое требование из определения двойного интеграла не выполняется в этом случае?
Выполните рисунки, отражающие свойства 2, 3, 5, 6 двойного интеграла.
Двумя способами вычислите по области , ограниченной линиями , , .