Lektsia01_2013

Вывод волнового уравнения

F m 2U

t2

2U

dx t2

				2	1
		U			2
ds 1					dx
		x
				<<1

ds dx

m ds dx

F T sin( dx) sin

		Для малых
	T sin( dx) sin	sin tan	U
			x

Вывод волнового уравнения

U F T

x x dx

	U			U
					dx
	x x			x

2

2

2

2

2

F T

U

T

U

dx

U

dx

U

U

2

2

2

2

2

x

dx

x

t

x

T

t

T	c2		2U		1 2U			0	Волновое уравнение
			x2		c2 t2

Волновое уравнение

2U 1 2Ux2 c2 t2 0

Волновое уравнение, связывает ускорение гармонического осциллятора в среде со второй производной его смещения по координате х. В этом уравнении с - волновая (или фазовая) скорость, с которой перемещаются плоскости одинаковой фазы. Для данного примера

cф T

Здесь значением Т определяются упругие свойства среды распространения волны, а величиной - инерция среды, связанная с накоплением энергии. Связь волновой скорости со свойствами упругости среды (связанной с накоплением потенциальной энергии в среде) и ее инерционными свойствами (связанной с накоплением кинетической или индуктивной энергии) проявляется для всех типов волн, в том числе и для электромагнитных волн.

Решение волнового уравнения

Решением волнового уравнения является любая функция вида:

U	f1(ct x)	или	U f2(ct x)
Полное,	решение является суперпозицией частных решений:
	U f1(ct x) f2(ct x)
Производные по аргументу: U			x f1/ (ct x), 2U x2 f1// (ct x)
Производные по времени: U			t cf1/ (ct x), 2U t2 c2 f1// (ct x)

Подставляя значения частных производных по х и t в волновое уравнение, убеждаемся, что функция f1(ct-х) является его решением. Аналогично можно убедиться в том, что и функция f2(ct+x) является решением этого уравнения.

U A sin( t )

Основные понятия

Если возбуждать струну в точке х=0 внешней силой, совершающей гармоническое колебание

U A sin( t)

то по струне будут распространяться гармонические бегущие волны. При этом смещение и в точке с координатами х в момент времени t можно представить в виде:

Под действием волны, бегущей по струне вправо, осциллятор, расположенный в точке х справа, начинает движение с некоторым запаздыванием по фазе ( ) относительно осциллятора в точке х=0.

2 x

Здесь - длинна волны, или расстояние между любыми двумя осцилляторами, имеющими разность фаз 2 радиан.

Основные понятия

Для фиксированного х смещение U(x,t) является гармонической функцией времени, для фиксированного времени t функция U(x,t) представляет синусоиду в пространстве.

Эквивалентны следующие формы записи функции U=f(ct-x):

	2							x
U A sin			ct x	A sin		2	ft

A sin

x

A sin t kx

U

A e

i( t kx)

t

c

Здесь

k

2

- волновое число, которое определяется

скоростью

c

возрастания фазового угла, приходящейся на единицу длинны,

для фиксированного момента времени.

2 c 2 f

-круговая (циклическая) частота (рад/сек), f – линейная частота (Гц – сек-1).