Грудцына Л.Ю. ТВиМС Метод. указания

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание 1. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Наудачу отобраны 5 деталей. Вычислить вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 3 стандартных.

Решение. Событие А – среди отобранных ровно три стандартных детали. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу

способов, которыми можно извлечь 5деталей из 10 деталей, т.е. С105 - числу

сочетаний из 10 элементов по 5.

Подсчитаем число исходов, благоприятных событию А. Три стандартных детали можно взять из семи стандартных деталей С37 способами; при этом оставшиеся 5-3=2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартных детали из 10-7=3 нестандартных деталей можно С32

способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно С37 ×С32 .

Согласно классическому определению, вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятных событию А, к общему числу

элементарных исходов: Р(А) = С73 ×С32

=

35×3

» 0,42 .

С105

252

Число сочетаний вычисляется по известной формуле:

Сnk =

n!

=

(n - k +1)×...×(n -1) ×n

.

(n - k)!×k!

1×2×...×k

С73 =

7!

=

5×6×7

= 35 ;

(7

- 3)!×3!

1× 2×3

С32 =

3!

=

2 ×3 = 3;

(3

- 2)!× 2!

1× 2

С105 =

10!

= 6×7 ×8×9×10

= 252 .

(10 - 5)!×5!

1× 2×3×4×5

Ответ: Р(А) ≈ 0,42

11

Задание 2. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятности попадания при первом, втором, третьем выстрелах соответственно равны 0,4; 0,5; 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов окажется:

а) одно попадание в мишень; б) хотя бы одно попадание.

Решение.

а) Событие А – одно попадание в мишень. А1 – попадание при первом выстреле, А2 – попадание при втором, А3 – попадание при третьем выстреле.

Р(А1)=0,4; Р(А2)=0,5; Р(А3)=0,7.

Ситуация “попадание в мишень” означает:

(1) стрелок попал при первом выстреле, а при втором и третьем не попал; или (2) попал при втором выстреле, а при первом и третьем не попал; или (3) попал при третьем выстреле, а при первом и втором не попал.

Тогда А = А1 × A2 × А3 + А1 × А2 × А3 + А1 × А2 × А3 ,

где А1, А2 , А3 – события, противоположные (промах при выстреле) событиям

А1, А2, А3 соответственно.

По следствию из теоремы сложения:

Р( А1 )=1-Р(А1)=1-0,4=0,6; Р( А2 )=1-0,5=0,5; Р( А3 )=1-0,7=0,3.

События (1), (2), (3) – несовместны, а события А1, А2, А3 – независимы. Следовательно,

Р(А) = Р(А1)× Р(A2)× Р(А3) + Р(А1)× Р(А2 )× Р(А3) + Р(А1)× Р(А2 )× Р(А3) = =0,4·0,5·0,3+0,6·0,5·0,3+0,6·0,5·0,7=0,36.

б) Событие В – хотя бы одно попадание в мишень. Ситуация “хотя бы одно попадание” (как минимум одно попадание) означает: одно попадание или два или три попадания в мишень.

По следствию из теоремы сложения, вероятность некоторого события можно определить через событие противоположное: Р(В)=1-Р( В ).

Событие В (противоположное событию В) – ни одного попадания в мишень: В = А1 × A2 × А3 . Вероятность его вычисляется как вероятность произведения независимых событий: Р(В) = Р(А1) × Р(A2 ) × Р(А3 ) .

Тогда Р(В)=1-Р( В )=1- 0,6×0,5×0,3 = 0,91.

Ответ: а) Р(А) = 0,36 ; Р(В)=0,91.

12

Задание 3. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25%, второй – 35%, третий – 40% всех замков. Брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Найти вероятность того, что: а) случайно выбранный замок является дефектным; б) этот дефектный замок был изготовлен в третьем цехе.

Решение.

а) Обозначим события: А – замок является дефектным, Н1 – замок изготовлен в первом цехе, Н2 – замок изготовлен во втором цехе, Н3 – замок изготовлен в третьем цехе.

По условию Р(Н1)=0,25 (т.к первый цех производит 25% всех замков),

Р(Н2)=0,35(второй – 35%), Р(Н3)=0,40 (третий – 40%).

Событие А может наступить только при условии появления одного из событий Н1, Н2, Н3. Эти события образуют полную группу, т.к.

Р(Н1)+Р(Н2)+Р(Н3)=0,25+0,35+0,4=1.

Следовательно, воспользуемся формулой полной вероятности для вычисления Р(А):

Р(А) = Р(Н1)× Р(А/ Н1) + Р(Н2 )× Р(А/ Н2 ) + Р(Н3)× Р(А/ Н3) .

Определим условные вероятности события А:

Р(А/Н1)=0,05 (замок дефектен при условии, что он изготовлен в первом цехе, в 5% случаев), Р(А/Н2)=0,04 (во втором цехе – в 4% случаев),

Р(А/Н3)=0,02 (в третьем цехе – в 2% случаев). Тогда, согласно формуле полной вероятности:

Р(А)=0,25·0,05+0,35·0,04+0,4·0,02=0,0345.

б) Используя введенные обозначения, запишем событие, вероятность которого нужно вычислить: Н3/А – замок изготовлен в третьем цехе, если стало известно, что выбран дефектный замок.

По формуле Байеса: Р(Н3 / А) = Р(Н3)× Р(А/ Н3) = 0,4×0,02 » 0,23 . P(A) 0,0345

Таким образом, после наступления события А вероятность гипотезы Н3 уменьшилась с Р(Н3)=0,4 до Р(Н3/А)≈0,23.

Ответ: а) Р(А) = 0,0345 ; б) Р(Н3/А)≈0,23.

13

Задание 4. Вероятность того, что бухгалтерский баланс составлен безошибочно, равна 0,7. Аудитору на заключение представлено 3 баланса. Пусть случайная величина Х – число положительных заключений на проверяемые балансы. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины X и простроить многоугольник полученного распределения; б) вычислить М(Х) и D(X).

Решение.

а) Случайная величина Х – число положительных заключений (а именно, число безошибочных балансов). Она может принимать следующие значения: Х=0 (ни одного положительного заключения из трех), Х=1 (одно из трех положительно), Х=2 (два из трех положительны),

Х=3 (все три заключения положительны).

Можно считать, что имеется схема n=3 испытаний Бернулли с

вероятностью	успеха	р=0,7.	Тогда	по	формуле	Бернулли
Pn (m) = P(X = m) = Cnm × pm ×qn−m .			Следовательно,		Х – случайная величина,

имеющая биномиальное распределение с параметрами р и q.

При n=3, р=0,7, q=1-0,7=0,3 получим:

p1 = P(X = 0) = C03 ×(0,7)0 ×(0,3)3 = (0,3)3 = 0,027 ;

p2 = P(X = 1) = C13×(0,7)1 ×(0,3)2 = 3×0,7×(0,3)2 = 0,189 ; p3 = P(X = 2) = C32 ×(0,7)2 ×(0,3)1 = 3×(0,3)2 ×0,3 = 0,441;

p4 = P(X = 3) = C33 ×(0,7)3 ×(0,3)0 = (0,7)3 = 0,343 .
Проверим		сумму		полученных		вероятностей:		р1+р2+р3+р4=
=0,027+0,189+0,441+0,343=1.
Тогда ряд распределения примет вид:
	Х			0	1	2		3
	р			0,027	0,189	0,441		0,343

На рисунке построен многоугольник полученного распределения (на горизонтальной оси отмечены значения Х, а на вертикальной – соответствующие им значения вероятностей).

14

б) Для вычисления математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X) случайной величины Х можно воспользоваться общими формулами. Однако удобнее применить формулы, специально составленные для случайной величины, имеющей биномиальное распределение: М(Х)=np, D(X)=npq.

Случайная величина Х – число положительных заключений имеет биномиальное распределение с параметрами р=0,7 и q=0,3.

При n=3 получим: М(Х)=3·0,7=2,1; D(X)=3·0,7·0,3=0,63.

Ответ: а) см. рис. б) М(Х)=2,1; D(X)=0,63.

Задание 5. Случайная величина X задана функций распределения

	ì	0,	x £ 2;
F(x) =	ï(х - 2)2,		2 < x £ 3;
	í
	ï	1,	x > 3.
	î

Требуется: а) найти функцию плотности вероятности;

б) вычислить М(Х) и D(Х); в) найти вероятность попадания случайной величины в интервал (2,5; 3,5).

Решение.

а) Плотность вероятности находим по формуле φ(х) = F′(x):

ϕ(x)= íì	0,	если х £ 2 или х > 3;
î	2×(x - 2), если 2 < x £ 3.

Здесь мы построчно вычисляем производную функции F(x): 0′ = 0, ((х-2)2)′ = 2·(х-2), 1′ = 0.

15

б)

По

определению

вычисляем

математическое

ожидание:

+∞

М (Х ) = ò х×ϕ(x)dx .

−∞

2

3

+∞

3

М (Х ) = ò х × 0dx + ò х × 2(х - 2)dx + ò х ×0dx =0 + 2 × ò х ×(x - 2)dx + 0 =

−∞

2

3

2

3

æ

х3

ö

3

æ

33

æ

23

öö

8

= 2 × ò(х2 -

2x)dx =2 ×ç

- х

2 ÷

=

2 ×ç

- 32 -ç

- 2

2 ÷÷ =

;

3

3

3

3

2

ç

÷

ç

ç

÷÷

è

ø

2

è

è

øø

+∞

Дисперсию находим по формуле D(Х ) =

ò х2 ×ϕ(x)dx - (M (X ))2 :

−∞

3

æ 8

ö2

æ

х4

х3

ö

3

64

2

ç

÷

D(Х ) = ò х

×2(x - 2)dx - ç

÷

= 2

×ç

- 2

÷

-

» 0,056

2

è 3

ø

è

4

3

ø

2

9

При проведении вычислений применяли известные формулы математического анализа:

с′=0, с – постоянная величина;

( f1(x) + f2 (x))¢ = f1¢(x) + f2¢(x) ;

(xn )¢ = n× xn−1 ;

b	b
òc × f (x)dx =c ×ò f (x)dx ;
a	a
b	b	b

ò( f1(x) + f2(x))dx =ò f1(x)dx +ò f2 (x)dx ;

a

a

a

b

æ xn+1

ö

b

bn+1

an+1

ò xndx =ç

÷

=

-

.

n +1

n +1

a

ç n +1

÷

è

ø

a

в) Вероятность попадания случайной величины в интервал находим по формуле Р(a < X < b) = F(b) - F(a) :

Р(2,5 < X < 3,5) = F(3,5) - F(2,5) = 1- (2,5 - 2)2 = 0,75

(значения F(x) определяем в зависимости от того, какому числовому промежутку принадлежит х).

	Ответ: а)			ϕ(x)= íì	0,	если х £ 2 или х > 3;
				î	2×(x - 2), если 2 < x £ 3;
	б) М (Х ) =	8	,	D(Х ) » 0,056 ;		в) Р(2,5 < X < 3,5) = 0,75 .
		3

16

Задание 6. Текущая цена ценной бумаги (актива) распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 100 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 3 ден. ед. Найти вероятность того, что цена актива: а) находится в границах от 96 до 106; б) меньше 96; в) больше 106.

Решение.

а) По условию задачи Х – цена актива является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами а=100 и σ=3. Нужно вычислить вероятность Р(96<Х<106).

По формуле Р(х < X < х ) =

1

(F(t

2

) - F(t )), где F(x) =

2

× x e−t2

/ 2dt -

1

2

2

1

2π

ò

0

функция Лапласа, t =

x1 - a

, t

2

=

x2 - a

.

1

σ

σ

1

æ

æ

106 -100 ö

æ

96 -100öö

Имеем : Р(96 < X < 109) =

çFç

÷

- Fç

÷÷

=

2

ç

è

3

ø

è

3

÷

è

øø

= 12 (F(2) - F(-1,33))= 12 (F(2) + F(1,33)) = 12 (0,9545 + 0,8165)= 0,8855 .

Здесь воспользовались свойством функции Лапласа: F(-x) = -F(x) ;

значения F(2) = 0,9545 и F(1,33) = 0,8165 определили по таблице значений функции Лапласа – см. Приложения.

б) Требуется вычислить вероятность Р(X < 96) . Воспользуемся приведенной выше формулой (по условию задачи цена актива Х>0):

1

æ

æ

96 -100 ö

æ

0 -100 öö

Р(Х < 96) = Р(0 < X < 96) =

çFç

÷

- Fç

÷÷ =

2

ç

è

3

ø

è

3

÷

è

øø

=

1

(F(-1,33) - F(-33,3)) =

1

(- F(1,33) + F(33,3))=

1

(- 0,8165 +1)» 0,092

2

2

2

Здесь воспользовались свойством функции Лапласа: при x > 4

F(x) »1.

в) Аналогично предыдущему случаю:

1

æ

æ + ¥ -100 ö

æ106 -100

öö

Р(106 < X ) = Р(106 < X < +¥) =

çFç

÷

- Fç

÷÷

=

2

ç

è

3

ø

è

3

÷

è

øø

=

1

(F(+¥) - F(2)) =

1

(1- 0,9545) » 0,023.

2

2

Ответ: а) Р(96<X<109)=0,8855; б) P(X<96)≈0,092; в) Р(106<X) ≈0,023.

17

Задание 7. В магазине за день было продано 40 пар мужской обуви. Имеется выборка значений случайной величины Х – размера обуви:

39	41	40	42	41	40	42	44	40	43
42	41	43	39	42	41	42	39	41	43
41	38	43	42	41	40	41	38	44	40
39	41	40	42	40	41	42	43	38	43.

Требуется: а) построить дискретный статистический ряд и изобразить его графически в виде полигона; б) определить размах выборки; вычислить выборочные среднее и среднее

квадратическое отклонение, а также моду и медиану.

Решение.

а) Для построения дискретного статистического ряда различные значения признака располагаем в порядке возрастания и под каждым значением записываем его частоту.

Номер i	1	2		3			4		5		6	7
Варианты хi	38	39		40			41		42		43	44
Частоты ni	3	4		7			10		8		6	2
			7
Проверим объем выборки: n = åni = 3					+ 4		+ 7 +10		+ 8 + 6 + 2		= 40 .
			i=1

Полигон данного распределения – ломаная линия, соединяющая точки с координатами (xi, ni), i=1, 2, … 7.

б) Размах выборки R=xmax–xmin=44–38=6.

18

					m
					å xi ni
Выборочное среднее вычисляем по формуле x =					i=1			.
						n
х =	38×3 + 39× 4 + 40×7 + 41×10 + 42×8 + 43×6 + 44× 2			= 41,05 .
40
			m	2ni
			å xi
Среднее квадратическое отклонение: s =			i=1			- (х)2 .
			n

s2 = 382 ×3 + 392 ×4 + 402 ×7 + 412 ×10 + 422 ×8 + 432 ×6 + 442 ×2 - (41,05)2 » 2,5 ; 40

s = 2,5 » 1,6 .

Следовательно, среднее по выборке значение размера обуви – 41 со средним отклонением 1,6 размера.

~ = =

Мода Мо х4 41 – вариант, которому соответствует наибольшая частота n4=10.

Для статистического ряда с четным числом членов (n=40) медиана равна

полусумме			двух			серединных		вариантов		упорядоченного	ряда:
~	х	+ х		41	+ 41
Ме =	20	21	=				= 41.
		2			2
Ответ: а) см. рис.						б) R=6; х = 41,05 ; s ≈1,6 ;			~	~
									Мо = 41; Ме = 41.

Задание 8. В ходе проведения эксперимента получен следующий набор данных.

27	45	48	25	36	31	27	27	40	32	51
43	19	31	33	40	17	33	23	26	26	31
35	22	35	34	35	30	36	35	23	16	28
23	28	43	27	21	37	33	32	19	44	39
44	49	32	37	25	32	30	28

Требуется: а) построить интервальный статистический ряд и изобразить его графически в виде гистограммы и кумуляты; б) определить размах выборки; вычислить выборочные среднее и среднее

квадратическое отклонение, а также моду и медиану.

19

Решение.

а) По данным выборки: xmin=16; xmax=51. Размах выборки: R=xmax–xmin=35-51=35.

Разобьем множество значений n=52 на интервалы. Число интервалов по формуле Стерджеса: m=1+1,4·ln n=1+1,4·ln 52≈6,53. Для удобства вычислений выберем m=7, т.к. R=35 делится нацело на 7. Длина каждого интервала равна

	k =	xmax − xmin	=	35	= 5 .
		7		7

Подсчитывая число вариантов, попадающих в каждый интервал, получим следующий интервальный статистический ряд.

	Номер i	1	2	3	4	5	6	7
	Интервалы	[16, 21)	[21, 26)	[26, 31)	[31, 36)	[36, 41)	[41, 46)	[46, 51]
	[ai, ai+1)
	Частоты ni	4	7	10	16	7	5	3
	Накопленные	4	11	21	37	44	49	52
	частоты nх
	i

По данным таблицы строим гистограмму – ступенчатую фигуру, отмечая на горизонтальной оси концы частичных интервалов ai, на вертикальной оси

– соответствующие частоты ni.

20