0-LALect2

1 0 0 0

	5	6	7	8
формуле для определителя	9	10	11	12	: В итоге мы получаем
	13	14	15	16

	1		0		0		0											6		7			8																		6		7		8
	5		6		7		8
																		14		15			16																		14		15		16
	13		14		15		16		== 1									10		11			12				= (					1)1+1			= 1						10		11		12					:
	9		10		11		12
Используя						перестановку										столбцов, мы аналогично получаем
		5	6			7	8			=						6		5			7				8			= (					1)1+22							9			11	12					;
		0	2			0	0									2		0			0				0															5			7	8
		9	10			11	12									10		9			11				12
																																								13 15 16
		13	14			15	16									14		13			15				16
		0 0 3 0														0 3 0 0																				3 0 0 0
		5 6			7		8			=						5 7					6				8			= ( 1)								7			5 6					8				=
		9	10		11		12									9		11			10				12											11			9			10		12
																	5 6 8																5
		13	14		15		16																		16										6 8							14		16
																13		15			14															15			13
									1+3								9		10 12														9								;
						= ( 1) 3																				= 3									10 12
																	13		14			16											13		14 16
		0 0 0 4														0 0 4 0																				0 4						0 0
		5 6			7		8			=						5 6					8				7			= ( 1)								5 8						6		7				=
		9	10		11		12									9		10			12				11											9			12			10		11
		13	14		15		16									13		14			16				15											13			16			14		15
			=		(	1)(		1)				4				0		0			0			= (					1)1+44							9				10			11	:
												12				9		10			11
												8				5		6			7															5				6			7
																																				13 14 15
												16				13		14			15
																									(1), покажите,
		Упражнение. Используя																формулу																		что
							3 4				0 0 0													1 2								5 6 7
							1	2			0				0			0		=
							0 0				5 6 7													3		4						8 9 10									;
							0 0				8 9 10																					11 12 13
							0 0				11 12 13

21

	3	4	0	0	0
	1	2	0	0	0		= 0:
	5	6	0	0	0
	0	0	8	9	10
	0	0	11	12	13

Сформулируем результат, который, надеюсь, стал понятен на примере. Доказательство основано на таких же рассуждениях, как и в примере.

Теорема о разложении по строке или столбцу. Рассмотрим определитель общего вида с элементами aij. Имеем для любых i и j:

XX

= aijAij = aijAij:

ji

Правило Крамера. Теперь перейдем к обоснованию правила Крамера. Напомним правило Крамера: если дана система n линейных уравнений с n неизвестными

8 a21x1	+ a22x2	+		+ a2nx3	= b2
a11x1	+ a12x2	+	+ a1nxn = b1
>
>
<

>

>

: an1x1 + an2x2 + + annxn = bn

такая, что определитель системы

=	a21	a22		a2n
	a11	a12		a1n
	a	a		a
	n1	n2		nn

не равен нулю, то единственное решение системы имеет вид

xi = i ;

определитель i получается из определителя заменой i-столбца на столбец (bj), то есть

=		c21	c22		c2n
i		c11	c12		c1n
		c	c		c
		n1	n2		nn

22

где

	bj;	если k = i:
ckj =	akj;	если k 6= i;

Для доказательства этого правила мы снова вернемся к методу Гаусса. Чтобы не усложнять обозначения, рассмотрим лишь случай n = 4. Мы имеем следующую систему:

8

> a11x1 + a12x2

>

< a21x1 + a22x2 > a31x1 + a32x2

>

: a41x1 + a42x2

+a13x3 + a14x4 = b1

+a23x3 + a24x4 = b2

+a33x3 + a34x4 = b3

+a43x3 + a44x4 = b4

Решая ее методом Гаусса, мы сначала из 2-го уравнения вычитаем 1- е, умноженную на некоторый коэффициент таким образом, чтобы после вычитания коэффициент при x1 стал равен 0. (Для этого надо умножить 1-е уравнение на a11=a21.) Важно отметить, что эту операцию мы проводим не только с левой частью, но и с правой частью 2-го уравнения. А теперь посмотрим, что же при этом произошло с нашими определителями , 1, 2, 3, 4. Числа во второй строке этих определителей изменились, но эта операция привела к тому, что в каждом из указанных определителей мы вычли из второй строки первую, умноженную на некоторое (одно и то же) число. Как мы знаем, такая операция не меняет значения определителя. Значения определителей не меняются и при всех последующих наших действиях. В конечном итоге мы пришли к системе вида

8

> a11x1 + a12x2 + a13x3

>

<d22x2 + d23x3

>

d33x3

>

:

+a14x4

+d24x4

+d34x4 d44x4

=b1

=e2

=e3

=e4

Как мы уже видели, значение определителя новой системы

	011	d22	d23		d24
	a	a12	a13		a14
	0	0	d	33	d
					34
	0	0	0		d
					44

совпадает со значением. То же верно для четырех других определителей, содержащие свободные члены системы. Для упрощения ситуации мы еще

23

раз применим метод Гаусса, но снизу вверх вычтем из 3-го уравнения 4-е, убрав из 3-го уравнения d34x4, точно так же уберем x4 из 2-го и 1- го уравнений. При этом опять значения всех наших пяти определителей останутся прежними, по тем же соображениям. Что же мы получим? Систему вида (все время приходится использовать новые буквы)

8

> f1x1 = g1

>

< f2x2 = g2 > f3x3 = g3

>

: f4x4 = g4

Ее решение: x1 = g1=f1, x2 = g2=f2, x3 = g3=f3, x4 = g4=f4,

Но через буквы f и g легко вычисляются возникающие треугольные

определители:					= f f f f ; =											= g f f f ;
=	0	f2	0 0							g2	f2	0		0
	f1	0	0 0							g1	0	0		0
	0	0	f 0			1 2 3 4 1				g3	0	f	3	0			1 2 3 4
			3
	0	0	0 f	4						g4	0	0		f	4
						1		g1f2f3f4
				x1 =			=			= g1=f1:
								f1f2f3f4

То же верно про другие неизвестные.

Матрицы

Матрица это таблица, состоящая из конечного числа чисел. Мы будем обозначать матрицы, состоящие из m строк и n столбцов (разумеется, m и n натуральные числа) следующим образом:

A =	0 a21	a22		a2n	1:
	a11	a12		a1n
	B a	a		a	C
	B m1	m2		mn	C
	@				A

Есть общее правило умножения матриц A и B, где A матрица m n, а B матрица n p,

A =	0 a21	a22		a2n	1; B =	0 b21	b22		b2p	1:
	a11	a12		a1n		b11	b12		b1p
	B a	a		a	C	B a	a		a	C
	B m1	m2		mn	C	B n1	n2		np	C
	@				A	@				A

24

В результате получаем матрицу C = AB, в которой m строк и p столбцов, в которой число, находящееся на пересечении i-й строки и j-го столбца вычисляется по формуле:

								n
					cij	=	Xk		aikbkj:
								=1
Такое правило умножения называется умножение строк на столбцы.
	Пример.	1	2	3	4			0	4	5	6	1	=
									1	2	3
		5	6	7	8			B	7	8	9	C
								@				A
	5 1 + 6 4 + 7	7 + 8		10 5				B	10	11	12	C		3 + 6	6 + 7	9 + 8 12
=							2 + 6 5 + 7				8 + 8 11 5						=
	1 1 + 2 4 + 3 7 + 4 10 1 2 + 2 5 + 3 8 + 4 11 1 3 + 2 6 + 3 9 + 4 12

	=	70	80	90	:
		158	184	210

Другой пример.

0 1

1

B2 C

BC

1 2 3 4 5 B 3 C = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55 ;

B C

@4 A

5

0	2	1								0	2	4	6	8	10	1
B	1	C								B	1	2	3	4	5	C
	4							5	=		4	8	12	16	20
B		C								B						C
B	3	C		1	2	3	4			B	3	6	9	12	15	C	:
	5										5	10	15	20	25
B		C								B						C
@		A								@						A

Лекция 5. Матрицы. Продолжение Матрицы можно не только умножать, но и складывать, но только

одного порядка m n.

0 a21	a22		a2n	1	+	0 b21	b22		b2n	1 =
a11	a12		a1n			b11	b12		b1n
B a	a		a	C		B b	b		b	C
B m1	m2		mn	C		B m1	m2		mn	C
@				A		@				A

25

=

0 a21

+ b21

a22

+ b2n

a2n

+ b2n

1:

a11

+ b11

a12

+ b12

a1n

+ b1n

B a

+ b

m1

a

+ b

m2

a

+ b

mn

C

B m1

m2

mn

C

@

A

Если A, B матрицы порядка m n, C, D матрицы порядка n p, то

(A+B)C = AC+BC; A(C+D) = AC+AD; (A+B)(C+D) = AC+AD+BC+BD:

Дело в том, что при вычислении элемента AC на пересечении i-й строки и j-го столбца мы умножаем i-ю строку A на j-й столбец C (потом складываем произведения), при вычислении элемента BC на пересечении i-й строки и j-го столбца мы умножаем i-ю строку B на j-й столбец C (потом складываем произведения), после чего складываем два полученных числа и получаем элемент AC + BC на пересечении i-й строки и j-го столбца. Но мы можем сделать это и в обратном порядке, вычисляя элемент (A + B)C на пересечении i-й строки и j-го столбца сначала сложим i-ю строку A с i-й строкой в B, а потом умножим сумму на j-й столбец C, получим то же число.

Для матриц общего вида удобна краткая запись, которая может использоваться для вывода общих утверждений, верных для всех матриц:

0 a21		a22		a2n	1 = (aij)		:
a11		a12		a1n
B a		a		a	C	i m;j n
B	m1	m2		mn	C
@					A

Например,

	n
(aij)i m;j n (bjk)j n;k p =	j=1 aijbjk!			;
	X			i m;k p
(aij)i m;j n (bjk)j n;k p (ckl)k p;l s =	p	n	aijbjkckl!		:
	=1	j=1			i m;l s
	Xk	X

Последняя формула не зависит от расстановки скобок для трех множителей и показывает ассоциативность умножения матриц.

Наиболее интересна теория квадратных матриц n n, их всегда можно умножать и складывать, для них справедлив ассоциативный закон

26

((AB)C = A(BC)), но по прежнему несправедлив коммутативный закон (AB может быть не равно BA). существует аналог единицы матрица (которую мы будем обозначать E и называть единичной), в которой на диагонали все числа равны 1, а остальные числа равны 0:

0 0		1	0		0 1
B	1	0	0	1	0	C
	0		0		0		:
B						C
B	0		0	0	1	C
B						C
@						A

Легко проверяется, что для любой матрицы A имеет место равенство AE = EA = A Введем также матрицу 0, состоящую из одних нулей. 0 + A = A, 0A = A0 = 0. Важную роль играют также диагональные матрицы вида

0 01		2	0		0		1
B		0	0		0		C
	0		0		0			;
B				n 1			C
B	0		0	0		n	C
B							C
@							A

в которых все числа вне диагонали равны 0. Для краткой записи таких матриц очень удобен символ Кронекера

			ij =		0	;	если i 6= j:
0 0					1	;	если i = j;
		1	2	0			0		1
B			0	0			0		C
	0			0			0			= ( i ij)i n;j n
B					n 1				C
B	0			0	0			n	C
B									C
@									A

Пример 1 некоммутативности умножения для квадратных матриц.

0	0	1	0	=	0	0	;	1	0		0	0	=	1	1	:
1	1	1	0		2	0		1	0		1	1		1	1

Поэтому, если вместо обозначения AB мы говорим словами, что матрицу A мы умножили на матрицу B, надо всегда уточнять, как мы умножаем на B справа AB или слева BA.

27

Пример 2. Проверьте ассоциативность на простом примере:

2	1	2	2	0	1	=	2	1	2	2	0	1	:
1	1	1	2	2	1		1	1	1	2	2	1

Каждая квадратная матрица A имеет определитель, который будет обозначаться jAj. Следующее равенство устанавливает связь умножения матриц и умножения определителей:

jABj = jBAj = jAjjBj:

1) Легко проверяется, что формула верна, если матрица A является диагональной ( i ij)i n;j n, в AB i-я строка B для всех i умножается на i, по свойству 4) весь определитель jABj получается умножением определителя jBj на 1 n = jAj. Матрица BA получается умножением j-го столбца на j для всех j, по свойству 4) + 7) весь определитель jBAj получается умножением определителя jBj на 1 n = jAj:

0 0

2

0

0

1

a21

a22

a2n

2a21

2a22

2a2n

1

0

0

0

C0

a11

a12

a1n

1

= 0

1a11

1a12

1a1n

1:

B 0

0

0

B

0

0

n 1

CB a

a

a

C

B

a

a

a

C

B

0

n

CB

n1

n2

nn

C

B

n n1

n n2

n nn

C

B

C@

A

@

A

@

A

2) Общий случай сводится к диагональному с помощью операций со столбцами и строками в матрицах. При доказательстве удобно представить прибавление к l-му столбцу матрицы A умноженного на k-го столбца (l 6= k) той же матрицы как умножение ATkl( ) матрицы A справа на матрицу Tij( ), которую мы сейчас определим. Итак,

8

1 ; если j = i;

<

Tkl( ) = (tij)i n;j n ; где tij = ; если i = k; j = l;

: 0 ; в других случаях:

Убедиться в этом проще всего в случае матриц 2 2 (k = 1, l = 2):

a21	a22	0	1	=	a21	a22	+ a21	:
a11	a12	1			a11	a12	+ a11

28

Проверим также, что Tkl( )Tkl( ) = E:

0	1	0	1		0 1 + 1 0	0 ( ) + 1 1		0	1
1		1		=	1 1 + 0	1 ( ) + 1	=	1	0	:

Поэтому

AB = ATkl( )Tkl( )B; причем jAj = jATkl( )j; jBj = jTkl( )Bj;

второе и третье равенства следуют из свойств 4) + 7) определителей. Итак, мы можем заменить A на ATkl( ), при этом B заменяется на Tkl( )B. Мы начали действовать по Гауссу, правда для столбцов. Как мы уже видели, постепенно убирая недиагональные числа в A, мы заменим ее диагональной матрицей, при этом B также как-то изменится. Мы свели доказательство к первому пункту.

Обратная матрица. Матрицей, обратной к матрице A = (aij) n;j n, называется матрица A 1, удовлетворяющая равенствам:

AA 1 = A 1A = E:

(Например, если n = 1, A = (2), то A 1 = (1=2).) Обратная матрица существует не всегда, а лишь для матриц, определитель которых не равен 0. Любопытно, что не может быть двух различных матриц B и C таких, что BA = AC = E. Действительно,

B(AC) = (BA)C; B(AC) = BE = B; (BA)C = EC = C:

Поэтому B = C.

Теорема об обратной матрице.

A 1 = (cij)i n;j n ; где cij = Aj jij:

A

Напомним, что алгебраические дополнения Aij это числа, надо сейчас вспомнить, как они вычисляются по матрице A. Здесь немного изменилась терминология, определитель мы строим по матрице A и обозначаем не , a jAj.

Временно вместо обозначения A 1 будем использовать обозначение C = (cij)i n;j n (так как теорему мы пока не доказали). Также обозначим D = (dij)i n;j n = AC. Покажем, что D = E.

29

Сначала по формуле умножения матриц (строк на столбцы) вычислим все числа dii и покажем, что все эти числа равны 1. Это следует из теоремы о разложении определителя по i-й строке:

dii = aijcji =	n	= jAj = 1:
	Xj
n	aijAij
Xj	=1
	j j	j j
=1	A		A

Обратите внимание, что если cij = AjAjij, то cji = AjAijj. Теперь запишем dij

при i 6= j:

n	:
dij = aikckj = Xk
n	aikAjk
Xk	j j
=1

A

=1

Таким образом, в числителе мы раскладываем определитель jAj по j-й строке, но алгебраические дополнения элементов этой строки мы умножаем не на ajk, а на числа aik. По теореме о разложении мы вычислили в числителе не определитель jAj, а определитель, который отличается от jAj j-й строкой, которая совпадает в нем с i-й строкой. Согласно свойству 3) этот определитель равен 0, то есть dij = 0.

Итак, на диагонали в матрице AC находятся числа 1, а вне ее нули. Следовательно, D = E, C = A 1.

Пример.

01

	3	2	1	A
A	2	1	3		:
	= @ 2	0	2

Вычислим определитель

3 2 1

jAj = 2 1 3 = 3 1 ( 2)+( 2) 3 2 1 1 2 ( 2) ( 2) ( 2) = 12:

2 0 2

Теперь считаем алгебраические дополнения:

A11	= ( 1)1+1	1	3		= (1 ( 2) 3 0) = 2;
		0	2

30