0_practice_AIG_02_09

90	Глава 4. Векторные пространства

ведений производных порядка k вычисленных в точке t0,

Xn

(P; Q) = P (k)(t0)Q(k)(t0):

k=0

Доказать, что этим определено скалярное произведение.

1.8.В пространстве непрерывных функций C[¡1; 1] функциям f

èg сопоставляется число

Z1

(f; g) =

f(t)g(t)dt:

¡1

Доказать, что этим определено скалярное произведение.

Домашнее задание

1.9. Может ли скалярное произведение в пространстве Rn задаваться следующей функцией:

a) x1y1 + x2y3, åñëè n = 3;

b) 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2, åñëè n = 2?

1.10. Пусть n фиксированный ненулевой вектор в геометриче- ском пространстве V3. Сопоставим произвольной паре векторов x; y:

a) смешанное произведение (n; x; y);

b) скалярное произведение (x + n; y + n).

Можно ли принять такую функцию за скалярное произведение?

1.11.Пусть в вещественном линейном пространстве заданы два

скалярных произведения (x; y)1 è (x; y)2. Доказать, что для любых положительных чисел ¸ и ¹ функция (x; y) = ¸(x; y)1 + ¹(x; y)2 также скалярное произведение.

1.12.Пусть jxj длина вектора x в вещественном евклидовом про-

странстве. Доказать, что (x; y) = 12 (jx + yj2 ¡ jxj2 ¡ jyj2).

1.13.Пусть в вещественном линейном пространстве заданы два

скалярных произведения (x; y)1 è (x; y)2, и любой вектор имеет одинаковые длины в каждом из них: (x; x)1 = (x; x)2. Доказать, что скалярные произведения совпадают.

1.14.Может ли в пространстве квадратных матриц порядка n число (X; Y ) = tr X tr Y определять скалярное произведение?

Ÿ 4. Ортогональные системы векторов. Матрица Грама	91

1.15. В линейном пространстве вещественных многочленов степени не выше n двум многочленам P и Q сопоставлено число (P; Q). Доказать, что этим определено скалярное произведение:

a) (P; Q) сумма произведений коэффициентов при равных степенях, (P; Q) = Pn ®k¯k:

k=0

R1

b) (P; Q) = P (t)Q(t)dt:

¡1

Ÿ4. Ортогональные системы векторов. Матрица Грама

1.Пусть дана система векторов faigmi=1 евклидова пространства X. Матрица

G = 0

(a1

; a2)

(a2

; a2) : : : (am; a2)

1

(1.1)

B

(a1

; a1) (a2

; a1) : : : (am; a1)

C

(:a: 1:;:a: m: :): :

(:a:2:;:a:m: :): ::::::: :(:a:m: :;:a:m:):

B

C

@

Грама системы векторов

ai

m

f

A.

называется матрицей

i

m

gi=1

Система векторов fa

gi=1

будет линейно независимой тогда и

только тогда, когда ее матрица Грама будет невырожденной.

Пример 1. Выяснить, является ли система векторов линейно за-

висимой

a1

= (1; 2; 3);

a2 = (3; 6; 7):

Введем в пространстве R3 стандартное скалярное произведение и со-

ставим матрицу Грама второго порядка

; a2) ¶:

G =

µ (a1

; a2) (a2

(a1

; a1) (a2

; a1)

Вычислим элементы этой матрицы, получим

µ¶

G =	14	36	; det(G) =	14	36	= 14 ¢ 94 ¡ 36 ¢ 36 = 20:
	36	94		36	94

Таким образом, векторы a1; a2 линейно независимы.

Система векторов faigmi=1 называется ортогональной, если все векторы ai, i = 1; : : : ; m, íå íóëè è (ai; ak) = 0 ïðè i =6 k.

92 Глава 4. Векторные пространства

Матрица Грама ортогональной системы диагональная невырожденная матрица.

Система векторов faigmi=1 называется ортонормированной, если (ai; ak) = ±ik äëÿ i; k = 1; : : : ; m.

Матрица Грама ортонормированной системы единичная матрица. Все векторы ортонормированной системы имеют длину равную единице.

Процесс ортогонализации Грама Шмидта. По всякой линейно независимой системе faigmi=1 можно построить ортогональную систему векторов fhigmi=1 следующим образом:

h1 = a1;

h2 = ®2;1h1 + a2; ãäå ®2;1 = ¡(a2; h1)=(h1; h1);

h3 = ®3;1h1 + ®3;2h2 + a3; ãäå ®3;1 = ¡(a3; h1)=(h1; h1); ®3;2 = ¡(a3; h2)=(h2; h2);

: : :

hm = ®m;1h1 + ®m;2h2 + : : : + ®m;m¡1hm¡1 + am; ãäå ®m;j = ¡(am; hj)=(hj; hj):

Далее по ортогональной системе можно построить ортонормированную систему fbigmi=1, полагая bi = hi=jhij; i = 1; : : : m.

Пример 2. Применяя процесс ортогонализации, построить ортонормированную систему векторов по векторам

a1 = (1; 2; 2; ¡1); a2 = (1; 1; ¡5; 3); a3 = (3; 2; 8; ¡7):

Положим h1 = a1 = (1; 2; 2; ¡1). Найдем h2, для этого вычислим коэффициент

(a2; h1) 1 + 2 ¡ 10 ¡ 3

®2;1 = ¡(h1; h1) = ¡ 1 + 4 + 4 + 1 = 1:

Получим

h2 = (1; 2; 2; ¡1) + (1; 1; ¡5; 3) = (2; 3; ¡3; 2):

Заметим, что

®

=

¡

(a3; h1)

=

¡

30

=

¡

3; ®

=

¡

(a3; h2)

=

¡

¡26

= 1:

3;1

3;2

(h1; h1)

10

(h2; h2)

26

Ÿ 4. Ортогональные системы векторов. Матрица Грама	93

Тогда

h3 = ¡3(1; 2; 2; ¡1) + (2; 3; ¡3; 2) + (3; 2; 8; ¡7) = (2; ¡1; ¡1; ¡2):

Мы построили ортогональную систему векторов h1, h2, h3. Построим по этим векторам ортонормированную систему b1, b2, b3, разделив каждый вектор на его длину. Получим

b1 =		h1		1
				=	p		(1; 2; 2; ¡1);
		h1
j		h	2j	10
b2 =				1
				=			(2; 3; ¡3; 2);
		h2			p
j		h	3j	26
b3 =				1
				=			(2; ¡1; ¡1; ¡2):
	jh3j				p
						10

Пример 3. Даны полиномы

Q0(x) = 1; Q1(x) = x + 1; Q2(x) = x2 + x + 1

вещественной переменной x. Используя метод ортогонализации Грама Шмидта, построить ортонормированные полиномы в смысле скалярного произведения, определяемого формулой

n
Xk
(P; Q) = akbk;	(1.2)
=0

где P , Q многочлены степени не выше n; ak, bk коэффициенты многочленов P и Q соответственно.

Построим по полиномам Q0(x), Q1(x), Q2(x) ортогональные по-

~

~

~

линомы P0(x), P1(x), P2(x). Положим

~

P0(x) = Q0(x) = 1:

~

~

Найдем P1

(x) = ®1;0P0(x) + Q1(x), для этого вычислим коэффициент

~

1 + 0

(Q1; P0)

= ¡1:

®1;0 = ¡

= ¡

~ ~

1

(P0; P0)

Получим

~

~

P1(x) = ¡P0(x) + Q1(x) = x:

~

~

~

Вычислим P2

(x) = ®2;0P0

(x) + ®2;1P1(x) + Q2(x), ãäå

~

1 + 0 + 0

(Q2; P0)

®2;0

= ¡

= ¡

= ¡1;

~ ~

1

(P0; P0)

~

0 + 1 + 0

(Q2; P1)

= ¡

= ¡1:

®2;1

= ¡

~ ~

0

¢

0 + 1

¢

1

(P1; P1)

94			Глава 4. Векторные пространства
Тогда
~	~	~	2	:
P2	(x) = ¡P0	(x) ¡ P1	(x) + Q2(x) = x

Построим по найденным многочленам ортонормированную систему P0(x); P1(x); P2(x):

~~ ~ 1=2

P0(x) = P0(x)=(P0; P0)

~~ ~ 1=2

P1(x) = P1(x)=(P1; P1)

~~ ~ 1=2

P2(x) = P2(x)=(P2; P2)

=1;

=x;

=x2:

Пример 4. Доказать, что определитель матрицы Грама не изменится при применении к векторам a1, a2 процесса ортогонализации, т. е. если в результате ортогонализации линейно независимые векторы a1, a2 перейдут в векторы h1, h2, то определитель матрицы Грама системы векторов a1, a2 совпадет с определителем матрицы Грама системы векторов h1, h2.

Определитель матрицы Грама G1 системы векторов a1, a2 вычисляется по формуле

det(G1) =		(a1; a1)			(a2; a1)				(1.3)
		1	2	)	2	2	):
		(a	; a		(a	; a

Построим ортогональные векторы h1, h2:

h1 = a1;

h2 = ®h1 + a2:

Вычислим определитель матрицы Грама G2 системы векторов h1, h2:

det(G2) =		(h1; h1)			(h2; h1)				=		(a1; a1)				(®a1 + a2; a1)							:
		1	2	)	2	2	)				1	; ®a	1	2	) (®a	1	2	; ®a	1	2	)
		(h	; h		(h	; h					(a			+ a			+ a			+ a

Воспользуемся свойствами скалярного произведения и свойствами определителя. Упростим определитель матрицы G2 вычтем первую строку определителя, умноженную на ®, из второй строки, получим

det(G2) =		(a1; a1)			®(a1; a1) + (a2; a1)						:
		1	2	)	1	2	2	2	)
		(a	; a		®(a	; a	) + (a	; a

Вычтем первый столбец, умноженный на ® из второго столбца:

det(G2) =		(a1; a1) (a2; a1)							:	(1.4)
		1	2	)	2	2	)
		(a	; a		(a	; a

Из равенств (1.3), (1.4) видно, что det(G1) = det(G2). Напомним, что, если рассматривается пространство V3, то определитель (1.3)

Ÿ 4. Ортогональные системы векторов. Матрица Грама	95

матрицы G1 равен квадрату площади параллелограмма, построенного на векторах a1; a2, à det(G2) квадрату площади прямоугольника, построенного на векторах h1 è h2. Таким образом, в результате ортогонализации Грама Шмидта эта площадь остается неизменной.

Задания для самостоятельной работы

1.1.Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой a) a1 = (4; ¡2; 6), a2 = (6; ¡3; 9);

b) a1 = (2; ¡3; 1), a2 = (3; ¡1; 5), a3 = (1; ¡4; 3).

1.2.Найти матрицу Грама системы элементов 1; x; x2, если скалярное произведение задается формулой

Z1
(P; Q) = P (x)Q(x)dx:	(1.5)
0

1.3. Ортонормировать следующие системы векторов из R3 (èëè

èç R4) со стандартным скалярном произведением: a) a1 = (1; 3; ¡2), a2 = (3; 7; ¡2),

b) a1 = (1; 3; 1), a2 = (5; 1; 3), a3 = (1; 6; ¡8), c) a1 = (1; 2; 3), a2 = (2; 1; 1), a3 = (6; ¡7; ¡2),

d) a1 = (2; 1; 3; ¡1), a2 = (7; 4; 3; ¡3), a3 = (1; 1; ¡6; 0), a4 = (5; 7; 7; 8).

1.4. Даны полиномы Q0(x) = 1; Q1(x) = x; Q2(x) = x2 вещественной переменной x. Используя метод ортогонализации Грама

Шмидта, построить ортонормированные полиномы в смысле скалярного произведения, определяемого формулой

n
Xk
(P; Q) = P (k)(t0)Q(k)(t0);	(1.6)
=0

где P , Q многочлены степени не выше n; P (k)(t0), Q(k)(t0) производные порядка k, вычисленные в точке t0 = 1.

1.5. Пусть Q0(x) = 1, Q1(x) = x, Q2(x) = x2, Q3(x) = x3

полиномы вещественной переменной x. Используя метод ортогонализации Грама Шмидта, построить ортонормированные полиномы в смысле скалярного произведения (1.5).

96	Глава 4. Векторные пространства

Домашнее задание

1.6.Является ли система векторов линейно зависимой: a) a1 = (5; 4; 3), a2 = (3; 3; 2), a3 = (8; 1; 3);

b) a1 = (1; 0; 0; 2; 5), a2 = (0; 1; 0; 3; 4), a3 = (0; 0; 1; 4; 7), a4 = (2; ¡3; 4; 11; 12)?

1.7.Найти матрицу Грама системы элементов 1; x; x2; x3, если скалярное произведение задается формулой (1.5).

1.8.Ортонормировать следующие системы векторов из R3 (èëè

èç R4) со стандартным скалярном произведением: a) a1 = (2; 1; 0; ¡1), a2 = (3; 6; 2; 6);

b) a1 = (2; 1; 2), a2 = (6; 2; 2), a3 = (1; 4; ¡3);

c) a1 = (1; 2; 1; 2), a2 = (4; 0; 4; 1), a3 = (1; 13; ¡1; ¡3); d) a1 = (1; 1; ¡1; ¡2), a2 = (5; 8; ¡2; ¡3), a3 = (3; 9; 3; 8); e) a1 = (1; ¡1; ¡1; 1), a2 = (2; 3; 3; 2), a3 = (4; 4; 0; 2),

a4 = (1; ¡5; ¡5; ¡1).

1.9. Пусть Q0(x) = 1; Q1(x) = x ¡ 1; Q2(x) = x2 ¡ x + 1 полиномы вещественной переменной x. Используя метод ортогонализации

Грама Шмидта, построить ортонормированные полиномы в смысле скалярного произведения, определяемого формулой (1.2).

1.10. Пусть Q0(x) = 2; Q1(x) = x + 1; Q2(x) = x2 ¡x + 1 вещественной переменной x. Используя метод ортогонализации Грама

Шмидта, построить ортонормированные полиномы в смысле скалярного произведения, определяемого формулой (1.6).

1.11.* Доказать, что определитель матрицы Грама не изменится при применении к векторам a1, a2, a3 процесса ортогонализации. Более подробно, если в результате ортогонализации линейно независимые векторы a1, a2, a3 перейдут в векторы h1, h2, h3, то определитель матрицы Грама системы векторов a1, a2, a3 совпадет с определителем матрицы Грама системы векторов h1, h2, h3. Пользуясь этим, выяснить геометрический смысл определителя матрицы Грама системы из трех векторов a1; a2; a3. Предполагается, что векторы a1, a2, a3 линейно независимы.

Ответы и указания

1.1.Комплексные числа

1.1.x = ¡4=11, y = 5=11.

1.2. z1	= 1 + i, z2 = i.
	p
			7			i
1.3.* §					§		.
		2				2

1.4.4 + 2i; 4i; 7 + 4i; 1=5 + 8=5i; 2 ¡ 3i; 2 + i.

1.5.x = ¡2, y = 3=2, u = 2, v = ¡1=2.

1.6. z1 = 2 +

i, z2 = 2 ¡

i.

4

2

+ 2z

24z + 72

1.7.*

2 §

ip

2

,

2

§

2ip2. Разложить многочлен z

¡

¡2

2

+ cz + d).

на множители (z

+ az + b)(z

2.1. a)

§

(2 + 2i);

b)

§

(2

¡

i);

c)

§

(1 + 4i).

a

2

2

2ab

2.2.

¡ b

+ i

.

a2 + b2

a2 + b2

2.3. z1 = 3 ¡ i, z2 = ¡1 + 2i.

2.4. a) §(1 ¡ 2i); b) §(5 + 6i); c) §(1 + 3i); d) 2.

2.5. z1 = 2 + i, z2 = 1 ¡ 3i.

³

´3

¼

¼

3

¼

¼

3.1. a) cos

2

+ i sin

; b) 2

cos

+ i sin

3

;

c) p

p³2

³¡

¼

2

´

³¡

¼

2

´´

p

p

7

cos

arctan

+ i sin

arctan

.

h

³

´

³

2

´i

3.3. a)

3.2.

2

cos

2' ¡

12

+ i sin

2' ¡

12

.

Внутренность круга радиуса

с центром в начале координат;

b)внутренность и контур круга радиуса 1 с центром в точке (0; 1);

c)внутренность круга радиуса 1 с центром в точке (1,1).

3.4. ¡2i.

¼

¼

¼

¼

3.5. a) cos ¼ + i sin ¼;

b) cos

3

+ i sin

3

; c) p2

µcos

3

+ i sin

3

¶;

2

2

4

4

d) p2

µcos

74 + i sin 74

¶; e) 2

µcos

23 + i sin

23

¶;

¼

¼

¼

¼

f) 2

µcos 43

+ i sin

43

¶.

¼

¼

3.6. 29(1 ¡ ip

3).

3.7.

p

13 ¡ 1. Сделайте рисунок.

98

Ответы и указания

3.8. 1=2 + ip

=2.

3

2¼k

2¼k

4.1. a) 1+i, 1¡i, ¡1+i, ¡1¡i; b) cos

+i sin

; k = 0; : : : ; n¡1;

n

n

1

p

c) 1, ¡

3

; d) §1.

§ i

2

2

n

n x

n + 2

4.2. a)

S1 = 2

cos

cos

x; b)

2

2

p2

µ

72

¶

72

4.3. a)

1

cos

24k + 19

¼ + i sin

24k + 19

¼ , ãäå k = 0; 1; 2; 3; 4; 5;

12

p2 µ

96

96

¶

b)

1

cos

24k + 5

¼ + i sin

24k + 5

¼

,

ãäå k

=

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;

16

p2

µ

72

72

¶

c)

1

cos

24k + 17

¼ + i sin

24k + 17

¼

, ãäå k = 0; 1; 2; 3; 4; 5:

12

µcos

arctan

3

+ 2¼k

arctan 3 + 2¼k

¶,

10

2

4.4. p13

+ i sin

2

5

5

ãäå k = 0; 1; 2; 3; 4:

p

p

4.5. a)

1

3

b) §1, §i, §

2

§1, §

§ i

;

(1 § i).

2

2

2

4.6. a)

n

b)

n

¼

¡

;

¡

ctg

.

2

2

n

2k¼

2k¼

4.7. Имеем

z + 1

= wk, ãäå wk = cos

+ i sin

, k = 1; : : : ; m ¡1.

z ¡ 1

m

m

Отсюда z =

wk + 1

. Преобразование последнего выражения дает

k¼ wk ¡ 1

zk = i ctg

, k = 1; 2; : : : ; m ¡ 1:

m

1.2.Многочлены

1.1.1, ¡2 четвертой кратности.

1.2.a) (z + 1)4(z ¡ 2)2; b) (z ¡ 1)3(z + 3)2(z ¡ 3).

1.3.a) (z2 +2z+2)(z2 ¡2z+2); b) (z2 ¡zpa + 2+1)(z2 +zpa + 2+1).

1.4.¸ = §6.

1.5.Корень ¸ полинома z2 ¡z + 1 удовлетворяет уравнению ¸3 = ¡1. Следовательно, ¸3m ¡ ¸3n+1 + ¸3p+2 = (¡1)m ¡ (¡1)n¸ + (¡1)p¸2 =

= (¡1)m ¡ (¡1)p¸ + ¸[(¡1)p ¡ (¡1)n]. Последнее выражение может равняться нулю только в случае (¡1)m = (¡1)p = (¡1)n, ò.å. m; n; p

одновременно четные или одновременно нечетные числа.

1.6. a) (z + 1)4(z ¡ 4); b) (z ¡ 2)(z2 ¡ 2z + 2)2.

Ответы и указания

99

1.7. a) (z2 + 3)(z2 + 3z + 3)(z2 ¡ 3z + 3);

b) 0z2 + 2z + 1 + p2

2(z + 1)s

p

2+ 1

1

2

@

¡

A¢

0z2

+ 2z + 1 + p2 + 2(z + 1)s

1.

p

2+ 1

2

¢@

A

1.8.¸ = ¡3.

1.3.Определители второго и третьего порядков

1:1: a) ¡2;	2b) ¡1;1	c) ¡2b3; d) sin(® ¡ ¯); e) 0; f ) ¡1; g) ¡1.
1:2: a) x =	3 ; y = 3	; b) x = cos(¯ ¡ ®); y = sin(¯ ¡ ®):

1:3: При a = §6 система определенная, при a = 6; b = 14 неопределенная, при a = ¡6 противоречивая.

1:4: a) ¡5; b) 1; c) ¡2:

1:5: a) x = 3; y = ¡2; z = 2; b) x = 1; y = 2; z = ¡1.

1:6:¤ В определитель третьего порядка входят три слагаемых, которые при вычислении определителя подставляются без изменения своего знака. Если эти три слагаемые имеют одинаковый знак, то, оче- видно, сумма по абсолютному значению будет равна 3 нечетному числу, если два слагаемых имеют одинаковый знак, а третье противоположный, их сумма по абсолютному значению будет равна 1 также нечетному числу. Аналогично сумма других трех слагаемых может быть по абсолютному значению равна только 1 или 3. Таким образом, определитель представляет собой сумму двух нечетных чи-

сел, которая всегда является четным числом.

1:7: a) 0; b) 0; c) 1; d) cos1 2 :

1:8: a) x = 5; y = 2; b) x = 2; y = ¡3:

1:9: a) ¡3; b) 100; c) sin(¯ ¡ °) + sin(° ¡ ®) + sin(® ¡ ¯): 1:10: cos2 ® + cos2 ¯ + cos2 ° = 1:

1:11: a) x = y = z = 1; b) x = 2; y = ¡3; z = ¡2:

1.12.* 4. В определитель входят шесть слагаемых, каждый из которых либо +1, либо ¡1. Все шесть слагаемых одновременно не могут быть равными +1. Кроме того, такой определитель является четным числом (см. задачу 1.6), поэтому наибольшее возможное значение 4.

2:1: a) 0; b) 0; c) 0; d) 0; e) 0:

2:2: f ¤) Указание. К третьему столбцу определителя, стоящего в левой части равенства, прибавить второй, умноженный на a + b + c, и вычесть первый, умноженный на ab + bc + ca.

2:3: a) 0; b) 0; c) 0; d) 0: