новая папка 1 / 298007

Схема распределения импликации (ID) позволяет нам распространять одну импликацию на другую. Если высказывание φ имплицирует, что ψ имплицирует χ, тогда если φ имплицирует ψ, то φ имплицирует χ.

(φ (ψ χ)) ((φ ψ) (φ χ))

Схема реализации противоречия позволяет ввести высказывание, если отрицание этого высказывания имплицирует некоторое высказывание и его отрицание.

(¬φ ψ) ((¬φ ¬ψ) φ)

Эти три схемы аксиом в сочетании с удалением элиминации позволяют вывести все логические заключения из любого множества посылок. Записав посылки, и схемы аксиом и применяя правила вывода можно получить заключения, которые не могли быть выведены за один шаг. В этом заключается идея линейного вывода.

Линейный вывод заключения из множества посылок есть последовательность высказываний, завершающаяся заключением, в которой каждое высказывание есть или 1) посылка, или 2) пример схемы аксиом, или 3) результат приложения правила вывода к предыдущим высказываниям.

Рассмотрим пример. У нас имеются три посылки: p; (p q); (p q) (q r). Применяя Удаление импликации к первой и второй посылке, мы получаем q. Применяя Удаление импликации к второй и третьей посылке, мы получаем (q r). В итоге, используя полученные высказывания q и (q r) в качестве посылок, мы выводим заключение

1. p						Посылка
2. p		q				Посылка
3. (p q)				(q		r) Посылка
4. q						Удаление импликации: 2, 1
5. q		r				Удаление импликации: 3, 2
6. r						Удаление импликации: 5, 4

Рассмотрим более сложный пример, иллюстрирующий применение схем аксиом. Даны две посылки: (p q) и (q r). Требуется вывести (p r). В строчке 3 мы записываем пример Создания импликации. Из этого заключения и посылки 2мы, применяя Удаление импликации выводим высказывание (p (q r)). В строке 5 мы записываем пример Распределения импликации. Мы используем высказывания из строчек 4 и 5, чтобы получить высказывание (p q) (p r), которое записываем в строчке 6. Наконец, мы применяем Удаление импликации снова, чтобы получить требуемое заключение.

11

1. p	q									Посылка
2. q	r									Посылка
3. (q r)		(p		(q		r))				IC
4. p	(q	r)								IE: 3, 2
5. p	(q	r)	((p			q)		(p		r)) ID
6. (p q) (p				r)						IE: 5, 4
7. p										IE: 6, 1
	r

Основная литература

Бочаров В.А. Основы логики : учебник для студентов вузов, обучающихся по гуманитарным и естественнонаучным специальностям / В.А. Бочаров, В.И. Маркин. – М. : ИНФРА-М, 2009. – 333 с.

Гетманова А.Д. Логика : учебник для студентов вузов / А. Д. Гетма-

нова. – М. : Омега-Л, 2010. – 415 с.

Ивлев Ю.В. Логика : учебник / Ю.В. Ивлев. – М. : Проспект, 2010. –

296 с.

Ивин А.А. Логика : учебное пособие / А.А. Ивин. – М. : Оникс, 2008. –

335 с.

Дополнительная литература

Антонова О.А. Табличные методы в логике / О.А. Антонова ; С.-Петерб. гос. ун-т. – СПб. : Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. – 254 с.

Бродский И.Н. Элементарное введение в символическую логику / И.Н. Бродский. – Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1964. – 60 с.

Гетманова А.Д. Отрицания в системах формальной логики / А.Д. Гетманова. – М. : Изд-во МГПИ, 1972. – 139 с.

Гжегорчик А. Популярная логика. Общедоступный очерк логики предложений / А. Гжегорчик. – М. : Наука, 1979. – 110 с.

Зиновьев А.А. Логика высказываний и теория вывода / А.А. Зиновь-

ев. – М. : Б.и., 1962. – 151 с.

Логический вывод : сб. ст. – М. : Наука, 1979. – 311 с.

Смирнова Е.Д. Формализованные языки и проблемы логической семантики / Е.Д. Смирнова. – М. : Изд-во МГУ, 1982. – 181 с.

Субботин А.Л. Традиционная и современная формальная логика / А.Л. Субботин. – М. : Наука, 1969. – 160 с.

12

Упражнения

I. Какие из этих высказываний являются истинными, а какие ложными

a.Если 1+1 =2, то Париж есть столица Франции.

b.Если 1+1 > 2, то Париж есть столица Франции.

c.Если, Если 1+1 =2, то Рим есть столица Франции

II. 1. Какие из следующих пар пропозиций эквивалентны?

a.¬P Q , P Q

b.¬(P Q) , ¬P ¬Q

c.¬P ¬Q , ¬(P ¬Q)

d.¬(P Q) , ¬P ¬Q

e.¬(P (Q R)) , ¬(P Q) ¬(P R)

f.P (Q R) , (P Q) R

2.Какие из следующих пропозиций являются тавтологиями, необщезначимыми и тождественно-ложными высказываниями?

a.¬(p q) (¬p ¬q)

b.(p ¬p) (¬p p)

c.¬((p ¬q) (q r))

d.(p q) (¬p ¬q)

e.(p ¬q) ¬p q

f.(¬r t ¬s) (r s) ¬(r t)

g.(¬q (¬(h q) (¬q h))) (¬h ¬q) ¬(¬q ¬h)

3.Дан язык, состоящий из трех простых высказываний {p,q,r } . Рассмотрим множество высказываний Σ={r q , q r } . Будут ли истинными следующие соотношения:

a.Σ (p q)

b.Σ ( p r)

c.Σ (q r)

d.Σ (p q)

4.Выяснить, являются ли следующие рассуждения логически правильными; для этого формализовать предложения и проверить, является ли заключение логическим следствием множества посылок

(a) Если Джонс – коммунист, то Джонс – атеист. Джонс – атеист. Следовательно, Джонс – коммунист.

(b) Если строить противоатомные убежища, то другие государства будут чувствовать себя в опасности, а наш народ получит ложное представление о своей безопасности. Если другие страны будут чувствовать себя в опасности, то они смогут начать превентивную войну. Если наш народ получит ложное представление о своей безопасности, то он ослабит свои уси-

13

лия, направленные на сохранение мира. Если же не строить противоатомные убежища, то мы рискуем иметь колоссальные потери в случае войны. Следовательно, либо другие страны могут начать превентивную войну, и наш народ ослабит свои усилия направленные на сохранение мира, либо мы рискуем иметь колоссальные потери в случае войны.

(c)Если Джонс нс встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс нс встречал Смита этой ночью, и убийство имело место после полуночи. Если убийство имело место после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Следовательно, Смит был убийцей.

(d)Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы или возникнет безработица. Если правительственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложении останутся постоянными, то безработица не возникнет. Следовательно,. правительственные расходы возрастут.

5.Проверить совместимость по истинности каждого из множеств высказываний

(a)Либо свидетель не был запуган, либо, если Генри покончил жизнь самоубийством, то записка была найдена. Если свидетель был запуган, то Генри не покончил жизнь самоубийством. Если записка была найдена, то Генри покончил жизнь самоубийством.

(b)Если вечер скучен, то или Алиса начинает плакать, или Анатоль рассказывает смешные истории. Если Сильвестр приходит на вечер, то или вечер скучен, или Алиса начинает плакать. Если Анатоль рассказывает смешные истории, то Алиса не начинает плакать. Сильвестр приходит на вечер тогда и только тогда, когда Анатоль нс рассказывает смешные истории. Если Алиса начинает плакать, то Анатоль рассказывает смешные истории.

(c)Если курс ценных бумаг растет или процентная ставка снижается, то либо падает курс акций, либо налоги нс повышаются. Курс акций понижается тогда и только тогда, когда растет курс ценных бумаг и налоги растут. Если процентная ставка снижается, то либо курс акций не понижается, либо курс ценных бумаг не растет. Либо повышаются налоги, либо курс акций понижается и снижается процентная ставка.

6.Будет ли пропозиция (p q) (¬q r) истинной при следующих интерпретациях:

a.pi = 1 qi = 0 ri = 1

14

b.pj = 1 qj = 1 rj = 0

7.Записать следующие высказывания с помощью скобок

¬ p q p ¬q p q r p q r

p q r p q r

p ¬q r p

8. Рассмотрим логический оператор ↑ , который называется Нанд или штрих Шеффера. Он может быть определен следующей таблицей истинности

p q p↑q

0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

1)p↑q логически эквивалентно

a.¬p ¬q

b.¬(¬p ¬q)

c.¬(p q)

d.Ни одному из этих высказываний

2)¬p логически эквивалентно

a.¬p↑p

b.¬(p↑p)

c.p↑p

d.Ни одному из этих высказываний

3)p q логически эквивалентно

a.(p↑p)↑(q↑q)

b.p↑q

c.(p↑q)↑(q↑p)

d.Ни одному из этих высказываний

15

Учебное издание

ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Учебно-методическое пособие

Составитель Арапов Александр Владиленович

В авторской редакции

Подписано в печать 08.05.2014. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 0,9. Тираж 50 экз. Заказ 383

Издательский дом ВГУ 394000, г. Воронеж, пл. Ленина, 10

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского дома ВГУ 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3

16