новая папка 1 / 204985

11) ;

12) ;

13) огр .

Задача. Вычислить предел

lim

3

arctg2n.

n n2

Решение. Величина

3

представляет собой отношение ограниченной

n2

величины и бесконечно большой, поэтому

3

- бесконечно малая. Так как arctg2n -

n2

ограниченная величина (рисунок 2), то и

3

arctg2n - бесконечно малая. Получили,

n2

что

lim

3

arctg2n 0.

n n2

Кратко данное решение можно записать в символическом виде

lim	3		arctg2n	огр		огр	0 огр 0.
		2
n n

2 Раскрытие неопределенности вида 0/0

2.1Функция, стоящая под знаком предела является дробью, в числителе

изнаменателе которой находятся многочлены

11

Пусть при x a многочлены, находящиеся в числителе и знаменателе, равны

0. В этом случае в числителе и знаменателе можно выделить множители x a . Для

этого удобно использовать схему Горнера или деление «углом».
При стремлении x a		подразумевается, что переменная	x приближается к
a, всегда оставаясь	неравной	a. Таким образом, при x a	будет выполняться
неравенство x a 0	, поэтому числитель и знаменатель можно будет сократить на

общий множитель x a .

Задача. Вычислить предел

lim x3 x2 5x 3 .

x 1 x3 4x2 5x 2

Решение.
		lim			x3 x2 5x 3									0
						3	4x		2	5x 2
		x 1 x													0
►Так как при	x 1 числитель и знаменатель обращаются в ноль, то будем
делить их на x 1	до тех пор,				пока деление возможно без остатка. Разделим
многочлен x3 x2 5x 3 на двучлен x 1, используя схему Горнера.
				1			1			-5	3
		1		1			2			-3	0
		1		1			3			0
Получили: x3 x2 5x 3 x 1 2 x 3 .
Разделим многочлен x3 4x2							5x 2				на двучлен						x 1, используя схему
Горнера.

12

		1	-4	5	-2
	1	1	-3	2	0
Получили:	1	1	-2	0
x3 4x2 5x 2 x 1 2 x 2 .

Теперь в числителе и знаменателе запишем полученные разложения на

множители.◄

lim	x 1 2 x 3		lim	x 3		1 3	4.
x 1 x 1 2 x 2			x 1 x 2		1 2

2.2 В числителе и знаменателе находятся выражения с корнями

С помощью замены можно попытаться избавиться от корней.

Задача. Вычислить предел

lim

x 3

x

.

x 1

3 x 4

x

Решение.

3

0

x

x

lim

3

4

x

x

x 1

0

►Введем замену x t12 . Так как x 1, то и t

1.◄

lim

t6 t4

lim

t3

t

0

4

t

3

t 1 t

t 1 t 1

0

►Выделим из числителя множитель t 1 .◄

13

	lim	t t2 1		0		lim	t t 1 t 1		limt t 1 1(1 1) 2.
	t 1 t 1			0		t 1	t 1		t 1

Иногда бывает полезно умножение числителя и знаменателя на сопряженное

выражение.

Задача. Вычислить предел

x

lim . x 0 1 x 1 x

Решение.

x

0

x

lim

lim

1 x

1 x

x 0

1 x

1 x

0

x 0

1 x 1 x 1 x 1 x

x

x

lim

1 x

1 x

lim

1 x

1 x

2

2

1 x 1 x

x 0

1 x

1 x

x 0

lim x 1 x 1 x lim 1 x 1 x 1 0 1 0 1.

x 0

2x

x 0

2

2

2.3 Использование эквивалентных бесконечно малых

При 0 имеем

sin ~ , tg ~ , arcsin ~ , arctg ~ , e 1 ~ , ln 1 ~ ,

logc 1 ~		, c 1 ~ lnc, 1 cos ~	2	, 1 c 1 ~ c .
	lnc
		2
		14

Если бесконечно малая является делимым, делителем или сомножителем, то ее можно заменить на эквивалентную бесконечно малую.

Задача. Вычислить предел

lim sin3x . x 0 1 x 1

Решение.

lim

sin3

x

0

x 0

1 x 1

0

►Используем

эквивалентность

бесконечно

малых:

sin ~

и

1 c 1 ~ c . Тогда

sin3x ~ 3x и

1 ~

1

x,

и можно заменить sin3x

на

1 x

2

3x, а

1 на

1

x.◄

1 x

2

lim

3x

lim 6 6.

1

x 0

x

x 0

2

3 Раскрытие неопределенности вида ∞/∞

3.1 числитель и знаменатель являются многочленами

В данном случае числитель и знаменатель дроби следует разделить на наибольшую степень.

Задача. Вычислить предел

15

lim	n2	n 1	.
n 2n2		3n 3

Решение.

lim	n2		n 1
		2	3n 3
n 2n

►Разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень (n2 ).◄

	1	1				1					1	0 0		1
lim		n				n2									.
	3				3							0 0
n								2					2
	2
			n				n2

3.2 В числителе и знаменателе есть корни и дробные степени

В данном случае следует вынести из каждого множителя числителя и знаменателя такую степень переменной, чтобы полученное выражение стремилось к ненулевому конечному числу. После этого разделим числитель и знаменатель на наибольшую из полученных степеней.

Задача. Вычислить предел

lim xx3 1 43x 2 . n 3 2x2 5 x 4

Решение.

16

																																				x x3/2										1				1					x1/4 4 3															2
	x x3 1 4
													3x 2																																																									x
lim																											lim																									x3
				2x2 5 x 4																																		2/3															5											4
n 3																														n
																																					x				3				2													x 1
																																																					x2											x
																x1/4 4																																							1						4
			x5/2 1										1												3						2											1					1																3			2
lim																															x				lim												x3								x9/4											x
													x3
n					x	5/3									5											4											n 1																					5								4
							3					2						1																												3						2								1
																x2										x														x5/6																	x2									x
																																0 4															1
																									1 0													3 0
																																																					.
																						0					3
																														2 0 1 0																	0

3.3 Использование различный рост бесконечно больших

Определение. Будем говорить, что бесконечно большая f x имеет более высокий порядок роста, чем бесконечно большая g x , если

f x g x .

Обозначение этого факта: f (x) g(x).

При n выполняется

loga n np an n! nn.

Здесь a 1, p 0.

1.Если числитель - бесконечно большая, имеющая более высокий порядок роста, чем знаменатель, то предел равен .

2.Если знаменатель - бесконечно большая, имеющая более высокий порядок роста, чем числитель, то предел равен 0.

17

Задача. Вычислить предел

lim ln n .

n n

Решение.

Используя, что lnn n, получим

lim lnn 0. n n

Если в числителе или в знаменателе имеется сумма бесконечно больших, то числитель и знаменатель следует разделить на бесконечно большую, имеющую самый большой рост.

Задача. Вычислить предел

lim n! 4n3 .

n 5n

Решение.

lim n! 4n3 n 5n

►Используя, что n3 5n n!, разделим числитель и знаменатель на n!◄

	1 4		n3			1 4 0
lim			n!						.
		n					0
n 5

n!

18

4 Раскрытие неопределенности вида 0

4.1 Использование эквивалентных бесконечно малых

Задача. Вычислить предел

lim

x2 1

sin

1

.

2x

x x 1

Решение.

lim

x2 1

sin

1

0

2x

x x 1

►Используем эквивалентность

бесконечно

малых: sin ~ . Тогда

sin

1

~

1

, и можно заменить sin

1

на

1

.◄

2x

2x

2x

2x

lim

x2

1 1

lim

x2 1

x x 1 2x

x 2x(x 1)

►Разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень (x2 ).◄

	1		1				1 0		1
lim		x2								.
							2(1 0)
x	2(1		1		)			2

x

4.2 Один из множителей является разностью двух корней

В данном случае следует использовать умножение на сопряженное выражение.

Задача. Вычислить предел

19

													x																												.
							lim											x2						1										x2 1
						x
							x								Решение.																					0
			lim									x2			1												x2 1
			x
				x
						x2 1													x2 1														x			2 1								x		2 1
lim
x																		x	2					1									x			2		1
lim	x x2				1 x2										1														lim														2x
x x2					1								x2		1												x												x2 1								x2 1
lim												2																										2													1.
																																				1 0								1 0
x							1																	1
					1				2						1										2
								x
																							x

4.3 Сведение неопределенности 0 к неопределенности вида 0 или

0

Неопределенность 0 раскрывается в общем случае сведением к

неопределенностям вида		0		или			:
	0
	f x g x 0				f x						0
1)														;
				1/g x
											0
	f x g x 0			1/ f x
2)															.
					g x

20