новая папка 1 / 352925

	my amx b = 0:						(24)
	Выразим b из второго уравнения и подставим в первое; получаем:
		b = my amx;					(25)
	1;1[X:Y ] a 2[X] (my amx)mx = 0:						(26)
	Решая последнее уравнение, находим:
			[X; Y ]		m m
	a =	1;1			x y	:	(27)
		2[X] (mx)2

В принципе, поставленная задача уже решена. Однако полученные выражения для a и b можно упростить, если использовать не начальные, а центральные статистические моменты.

Учтем, что выполняется:

	2[X] (mx)2 = Dx;						1;1[X; Y ] mxmy = Kxy;	(28)
	где					n
	1
					Xi
	Kxy = n						(xi mx)(yi my):	(29)
					=1
	Тогда получаем:
	Kxy						b = my amx:
	a =					;		(30)
		Dx

Таким образом, мы получаем конечный результат искомая линейная зависимость имеет вид:

	Kxy			Kxy
y =		x + my			mx:	(31)
	Dx			Dx

На практике может оказаться удобнее производить вычисление Kxy не по формуле (29), а по второй формуле (28); при этом, как уже было сказано в предыдущем пункте, чтобы избежать разностей близких по значению и больших по величине приближенных чисел, вносящих большую погрешность в результат вычислений, удобно перенести начало координат в точку, не слишком далекую от средних значений (математических ожиданий) mx, my (см. пример 1 в Приложении I).

5. Определение коэффициентов квадратичной параболы

Пусть при измерениях получен набор значений (xi; yi), где i = 1; 2; :::; n и из теоретических соображений известно, что сглаживающей функцией должна быть квадратичная парабола:

y = '(x) = ax2 + bx + c:

(32)

Требуется методом наименьших квадратов определить значения коэффициентов a, b и c. Для частных производных находим:

@a = x2		;	@a i		= xi2;	(33)
@'			@'

11

@b = x;			@b i			= xi:
@'			@'
@c = 1;			@c i			= 1:
@'			@'

Подставляя (32)–(35) в уравнения (4)–(6), получаем:

n

X

[yi (ax2i + bxi + c)]x2i = 0;

i=1

n

X

[yi (ax2i + bxi + c)]xi = 0;

i=1

n

X

[yi (ax2i + bxi + c)] = 0:

i=1

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

Раскрывая скобки, производя суммирование и деление полученных уравнений на n, находим:

1

n

a

n

b

n

c

n

X

X

X

Xi

n

xi2yi

n

i=1

xi4

n

i=1

xi3

n

xi2 = 0;

(39)

i=1

=1

1

n

a

n

b

n

c

n

Xi

X

xi3

X

xi2

X

xiyi

xi = 0;

(40)

n

n

i=1

n

i=1

n

=1

i=1

1

n

a

n

b

n

X

X

Xi

n

i=1

yi

n

xi2

n

xi

c = 0;

(41)

i=1

=1

Нетрудно заметить, что, как и в случае линейной функции, коэффициенты при неизвестных a, b и c представляют собой начальные статистические моменты системы двух величин X, Y :

1

n

1

n

X

= m

=

Xi

= m

= [Y ];

xi

[X];

yi

(42)

n

x

1

n

y

1

i=1

=1

1

n

1

n

1

n

Xi

= 2[X];

X

xi3 = 3[X];

X

= 4[X];

xi2

xi4

(43)

n

=1

n

i=1

n

i=1

1

n

1

n

X

Xi

(44)

n

xiyi = 1;1[X; Y ];

n

xi2yi = 2;1[X; Y ]:

i=1

=1

Учитывая очевидные равенства 0[X] = 1 и 0;1[X; Y ] = 1[Y ], используя (42)–(44), запишем систему уравнений (39)–(41) в симметричном компактном виде:

4[X]a + 3[X]b + 2[X]c = 2;1[X; Y ];	(45)
3[X]a + 2[X]b + 1[X]c = 1;1[X; Y ];	(46)
2[X]a + 1[X]b + 0[X]c = 0;1[X; Y ];	(47)

Полученную систему уравнений (45)–(47) проще всего решать методом последовательного исключения переменных (метод треугольников Гаусса).

12

6. Определение коэффициентов сглаживающей параболы четвертой степени

Закономерность изменения порядка моментов, являющихся коэффициентами системы уравнений (45)–(47), очевидна по величине X порядок момента последовательно увеличивается на единицу от нулевого снизу вверх и справа налево, а по величине Y он неизменно остается первым. При этом в левой части участвуют только моменты величины X, а в правой моменты системы (X; Y ). Зная эту закономерность, можно без вывода записать систему уравнений для определения по методу наименьших квадратов коэффициентов сглаживающей параболы любой степени; в качестве примера мы сделаем это для параболы четвертой степени:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + h = 0:

(48)

Используя найденную закономерность, выписываем систему уравнений для нахождения коэффициентов a, b, c, d и h:

8[X]a + 7[X]b + 6[X]c + 5[X]d + 4[X]h = 4;1[X; Y ];	(49)
7[X]a + 6[X]b + 5[X]c + 4[X]d + 3[X]h = 3;1[X; Y ];	(50)
6[X]a + 5[X]b + 4[X]c + 3[X]d + 2[X]h = 2;1[X; Y ];	(51)
5[X]a + 4[X]b + 3[X]c + 2[X]d + 1[X]h = 1;1[X; Y ];	(52)
4[X]a + 3[X]b + 2[X]c + 1[X]d + 0[X]h = 0;1[X; Y ]:	(53)

7. Графический способ определения параметров, нелиненым образом входящих в сглаживающую функцию

Три приведенных выше примера определения методом наименьших квадратов коэффициентов, характеризующих сглаживающую функцию, достаточно просты, поскольку эти коэффициенты входят в функцию линейно. Поэтому задача их определения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

По другому обстоит дело, если коэффициенты входят в слаживающую функцию нелинейным образом. Рассмотрим, для простоты, случай одного коэффициента a. Примерами таких функций могут служить:

	y = e ax2 ;	y = sin ax;	y =	1	;
				ax

итак далее.

Втаких случаях для определения параметра a по методу наименьших квадратов поступают следующим образом. Задают дискретный ряд значений параметра a и для каждого такого значения вычисляют сумму квадратов отклонений yi от '(xi; a). Эта

P

сумма квадратов, в свою очередь, есть некоторая функция от a; обозначим ее (a):

X		n
		X
(a) =		[yi '(xi; a)]2:	(54)
		i=1
Далее вычерчивается график функции (a), и то значение a, для которого			(a)
принимает минимальное значение,	выбирается как подходящее для сглаживающей
		P	P

функции.

13

Аналогичным образом поступают и в ситуации, когда сглаживающая функция определяется не одним, а двумя параметрами, входящими в нее нелинейным образом:

y = '(x; a; b):

(55)

Соответственно, теперь нужно рассматривать уже два дискретных ряда для a и для b, а вместо (54) получаем:

X	n
	X
(a; b) =	[yi '(xi; a; b)]2:	(56)

i=1

В этом случае, однако, приходится рисовать не один график, а семейство параметрических кривых (например, для каждой такой кривой a изменяется как абсцисса, а b как параметр); из этого семейства выбирается кривая, для которой в ее миниму-

P

ме значение (a; b) принимает наименьшее значение из минимумов семейства кривых (см. рис. N). Отвечающее минимуму такой кривой значение a и соответствующий ей параметр b принимаются, как коэффициенты сглаживающей функции.

14

Приложение I. Примеры

Здесь мы приводим достаточно поучительные, на наш взгляд, примеры двух различных подходов к решению одной и той же задачи, дающих разные результаты.

Пример 1. Определение параметров сглаживающей прямой. В ходе заводских испытаний 23 мм снаряда автоматической пушки с различными навесками пороха была получена серия экспериментальных значений глубины проникновения боевой части в броню l в зависимости от ее удельной энергии E (энергии, приходящейся на квадратный сантиметр площади соударения), приведенная в таблице 3 (данные прямого эксперимента мы дополнили из очевидных соображений, что при E = 0 должно выполняться l = 0). Из теоретических соображений известно, что эта зависимость должна быть линейной. Необходимо по методу наименьших квадратов определить параметры сглаживающей прямой.

Таблица 3. Экспериментальные данные.

i	Ei (кгм / см2)	li (мм)
1	0	0
2	41	4
3	50	8
4	81	10
5	104	14
6	120	16
7	139	20
8	154	19
9	180	23
10	208	26
11	241	30
12	250	31
13	269	36
14	301	37

Прежде всего, применим к рассматриваемой задаче без изменений алгоритм, изложенный выше в пункте 4.

Вначале определим средние значения:

1

n

2137

1

n

274

Xi

X

mE = n

Ei = 14 ' 152:7;

ml = n

li = 14 ' 19:57:

(57)

=1

i=1

В связи со сказанным в пунктах 2 и 3, для обработки данных по начальным моментам переносим начало координат в близкую к средней точку:

E0 = 150;

l0 = 20:

(58)

В результате получаем новую таблицу значений величин (см. таблицу 4):

~	;	~	:	(59)
E = E E0		l = l l0

15

Таблица 4. Данные, полученные при перемещении начала отсчета в точку, близкую к средней.

i	~	2	)	~
	Ei	(кгм / см		li (мм)
1	150			20
2	109			16
3	100			12
4	69			10
5	46			6
6	30			4
7	11			0
8	4			1
9	30			3
10	58			6
11	91			10
12	100			11
13	119			16
14	151			17

Далее вычисляем интересующие нас моменты:

		~ 1			14	~2
					Xi	Ei ' 7986;
	2	[E] = 14					(60)
					=1

		DE = 7986 (m~ E)2 = 7986 (152:7 150)2 = 7978:5;
			~ ~	1	14	~ ~
			1;1[E; l] = 13		Xi	Eili ' 996:1;
					=1
		~ ~	m~l = 996:1 (152:7		150)(19:57 20) ' 996:1 + 1:16 = 997:3:
KE l	= 1;1	[E; l] mE~

В общих обозначениях уравнение прямой имеет вид (см. (31)):

		K
			E l
l ml	=			(E mE);
			DE

или, подставляя числовые значения, получаем:

l 19:57 = 0:125(E 152:7):

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

Таким образом, окончательно уравнение сглаживающей прямой выглядит так:

l = 0:125E + 0:4825:

(66)

Эта прямая (сплошная линия) и экспериментальные точки показаны на рисунке на титульной странице обложки. Как следует из графика, мы получили парадоксальный

16

результат при нулевой энергии E (пушка вообще не стреляла) снаряд проникает в броню на l ' 0:5 мм, т.е. легко пробивает кузов легкового автомобиля!

Попробуем избавиться от “плохого” поведения функции l = aE + b при E = 0, изначально рассмотрев случай b 0. Последовательно проводя рассуждения для этой ситуации и применяя формулы (15), (17), (19), (21), определяем:

		[E;~		~l]		996:1
a =	1;1				'			' 0:1247:	(67)
	2		~				7986
			[E]

Построенная по этому выражению прямая показана на рисунке на титульной странице обложки штрих–пунктирной линией.

Даже визуально заметно, что, несмотря на “правильное” поведение при E = 0, эта прямая значительно хуже приближается к экспериментальным точкам в диапазоне, где проводились опыты. Остается сделать единственный вывод вероятно, при малых значениях удельной знергии зависимость l(E) не является линейной.

Таким образом, изложенный в пункте 4 стандартный алгоритм дает более хорошие результаты для области значений E, в которой проводились эксперименты.

Приложение II. Задания для проведения самостоятельных работ

Задание 1.

В результате серии измерений были получены значения некоторой величины y, зависящей от параметра x, приведенные в таблице (номер варианта указывает преподаватель). Из теоретических соображений известно, что сглаживающей функцией '(x) является прямая, проходящая через начало координат. Найдите по методу наименьших квадратов числовые значения параметров, характеризующих эту прямую, запишите ее уравнение и определите тангенс угла ее наклона к оси абсцисс.

Вариант 1.

i	1	2	3		4	5	6	7	8
xi	0.5	1.0	1.5		2.0	2.5	3.0	3.5	4.0
yi	0.966	1.63	2.62		3.66	4.23	5.01	6.15	6.84
				Вариант 2.
i	1	2	3		4	5	6	7	8
xi	0.02	0.04	0.06		0.08	0.10	0.12	0.14	0.16
yi	0.022	0.038	0.061		0.081	0.09	0.11	0.14	0.17
				Вариант 3.
i	1	2	3		4	5	6	7	8
xi	1.5	2.0	2.5		3.0	3.5	4.0	4.5	5.0
yi	0.90	1.10	1.48		1.70	2.07	2.24	2.80	2.50

17

Список литературы

1.Идеология и алгоритм обработки результатов измерений: Методические указания для студентов и аспирантов / Калм. ун–т; Сост. В.М. Зотов, В.В. Мусцевой, А.С.Батырев, Р.А. Бисенгалиев, Р.А. Бисенгалиев. Элиста, 2012. 26 с.

2.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.

3.Кортнев А.В., Рублев Ю.В., Куценко А.Н. Практикум по физике. М.: ГИЗ “Высшая школа”, 1961.

4.Соловьев В.А., Яхонтова В.В. Элементарные методы обработки результатов измерений. Л.: Изд–во Ленингр. ун–та, 1977.

5.Дж. Сквайрс. Практическая физика. М.: Мир, 1971.

6.Андре Анго. Математика для инженеров. М.: Наука, 1965.

7.Данилина Н.В. и др. Численные методы. М.: “Высшая школа”, 1976.

8.Т.А. Агекян. Основы теории ошибок для физиков и астрономов. Гл. ред. физ.–мат. лит. М.: “Наука”, 1972.

9.Старовиков М.И. Введение в экспериментальную физику: учебное пособие. СПб.:Изд–во "Лань 2008, 240 с.

18