новая папка 1 / 603898

Если же	1 , то	c1 c2 0 и	x(t) 0 . Следовательно,		1	не
	3				3
является собственным значением.
Кроме того,	0	также является собственным значением,				а

соответствующими собственными функциями являются все функции x(t) ,

для которых c1 1

sx(s)ds 0

и c2

1

x(s)ds 0 .

0

0

Пример 4. Найти спектр оператора сдвига Ax (0, x1 , x2 ,...) в l2 .

Решение. Прежде отметим,

что так как

A

1 , то

1 для

значений

( A) .

0 ( A) , так

как

оператор A

не

имеет

обратного

Заметим,

что

оператора в

пространстве

l2 .

Пусть

теперь

1

и

0 . Рассмотрим

уравнение ( A I )x y . Оно эквивалентно системе уравнений

xn

xn 1

yn ,

x0 0 (n 1,2,...) .

Отсюда xn ( yn xn 1 ) / .

Возьмем

y ( 1,0,...) l2 .

Тогда решение, если

оно существует, должно иметь вид

				x (			1		,		1	,...,	1	,...) ,
											2		n
		1
но ряд				расходится при						1		. Поэтому R(A I) l2 . Следовательно,
		2n
n 1

такие значения принадлежат спектру оператора A . Таким образом,

( A) C : 1 .

Задания для самостоятельного решения

1.Найти резольвентное множество, спектр и резольвенту оператора A , если:

а)	A : C[0,1] C[0,1] , где Ax(t) et x(t) ;
б)	A : C[0,1] C[0,1] , где Ax(t) a(t)x(t), a(t) - заданная непрерывная на
	[0,1] функция;
в)	A : C[1,2] C[1,2] , где Ax(t) ln t x(t) ;

21

г)	A : C[0, ] C[0, ] ,	где Ax(t) 4 cos t x(t) .
2. Найти спектр и		резольвентное множество оператора					A : l2 l2 ,
задаваемого соотношением Ax ( 1 x1 , 2 x2 ,..., n xn ,...) , где inf					n		0 .
3. Найти собственные числа и собственные функции оператора, если:
а)	A : C[0, ] C[0, ] ,	Ax(t) cos(t s)x(s)ds ;
			0
			2
б)	A : C[0,2 ] C[0,2 ] , Ax(t) sin tsin sx(s)ds ;
			0
в)	A : C[0,1] C[0,1] , Ax(t) 1		(2ts 4t 2 )x(s)ds .
		0

7. Компактные множества, компактные операторы

Пусть X - линейное нормированное пространство. Множество K X называется предкомпактным, если из любой последовательности элементов этого множества можно выделить сходящуюся в пространстве X подпоследовательность. Если предельный элемент x0 K , то K

называется компактным множеством. В случае конечномерного пространства X множество компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто.

Семейство функций K C[a, b] называется равномерно ограниченным, если существует R 0 , такое что для всех x( ) K и t [a, b] следует x(t) R . Равномерная ограниченность семейства функций K эквивалентна ограниченности множества K в C[a, b] .

Семейство функций K C[a, b] называется равностепенно непрерывным,

если для любого				0 существует		0			такое,	что для всех x( ) K и для
любых t1 ,t2 [a,b]				таких,	что		t1 t2		,	выполняется неравенство
	x(t1 ) x(t2 )		.
	Критерий Арцела. Семейство функций									K C[a, b] предкомпактно
тогда и только тогда, когда					K равномерно ограничено и равностепенно
непрерывно.
	Пример 1. Является				ли предкомпактным в пространстве C[0,1]

множество

22

			t
	K xn (t) n(1	cos		); n 1,2,...	?
			n

Решение. Воспользуемся критерием Арцела. Во-первых, семейство K равномерно ограничено, так как для любого n справедлива оценка

xn

(t)

2nsin 2

t

2n(

t

)2

t 2

1 .

2n

2n

2n

2

Кроме того, по формуле Лагранжа конечных приращений

x

n

(t

) x

n

(t

)

sin

t

t

t

t

при

1

2

2n

1

2

1

2

t1 t2

сразу для всех n . Здесь t1

t2 . Тем самым показано,

что K - предкомпактное множество.

Пример 2. Пусть K - множество непрерывно дифференцируемых функций x(t) таких, что выполнены два условия:

1)( L 0)( x( ) K)( t [a,b])[ x(t) L] ;

2)( x( ) K )( x [a,b]) :[x( x ) 0].

Доказать, что множество K предкомпактно в пространствеC[a, b] .

Решение. Покажем, что K равномерно ограничено. Из представления

t

x(t) x( x ) x(s)ds ,

x

учитывая, что x( x ) 0 , имеем для любых x( ) K

b

t [a,b].

x(t)

x(s)ds

L(b a)

a

Кроме того, семейство K равностепенно непрерывно, так как при

t1 t2

, выполнено соотношение

L

x(t1 ) x(t2 )

x( )

t1 t2

L

t1 t2

.

По теореме Арцела множество K предкомпактно.

23

Линейный ограниченный оператор A : X Y называется компактным, если он любое ограниченное множество M X переводит

впредкомпактное множество AM Y . Свойства компактных операторов:

1)линейная комбинация компактных операторов является компактным оператором;

2) если A - компактный, а B - ограниченный оператор, то операторы AB

и BA компактны;

3)в бесконечномерном пространстве компактный оператор не имеет ограниченного обратного оператора;

4)	если линейный ограниченный оператор A : X Y и пространства							X
или Y конечномерны, то оператор A является компактным;
5)	если Y - банахово пространство и		An A				0 при n , где A	-
линейный ограниченный оператор и An		- компактные операторы, то A -
компактный оператор.

Пример 3. Является ли оператор

Ax(t) x(0) tx(1)

компактным оператором в пространстве C[0,1] ?

Решение. Пусть M - произвольное ограниченное множество в C[0,1] , то есть существует R 0 , что для любых x M выполнено x C R . Тогда

семейство AM , во-первых, равномерно ограничено, так как для любых x M

Ax(t) R(1 t) 2R ,

и, во-вторых, равностепенно непрерывно, так как

Ax(t1 ) Ax(t2 )

t1 t2

x(1)

t1 t2

R

при значениях		t1 t2				.	По теореме Арцела	множество AM
					R		C[0,1] . Следовательно,	A - компактный
предкомпактно в пространстве
оператор.

Пример 4. Показать компактность оператора A : L2 [0,1] L2 [0,1]

Ax(t) 1 ets x(s)ds .

0

24

Решение. Пусть M - произвольное ограниченное множество в L2 [0,1] ,

то есть

x

L R для всех x M .

2

Учитывая неравенство Коши-Буняковского, получим

1

1

1

e

2

1

,

Ax(t)

ets

x(s)

ds ( e2s ) 2

x

L2 R

2

0

0

что показывает равномерную ограниченность семейства AM .

Кроме

того, пользуясь формулой Лагранжа, получим

1

1

Ax(t1 ) Ax(t2 )

et1s

et2 s

x(s)

ds se s

t1 t2

x(s)

ds

0

0

1

1

e

2

1

( e2s ) 2

x

t1

t2

(

1

) 2 R

L2

2

0

1

1

x( ) M . Это показывает,

при значении 2 2 (e2

1) 2 R 1 сразу для всех

что

A : L2 [0,1] C[0,1] L2 [0,1]

и

семейство

AM C[0,1]

является

равностепенно непрерывным.

По теореме Арцела семейство функций AM предкомпактно в C[0,1] . Это означает, что из любой последовательности yn AM можно выделить сходящуюся в C[0,1] подпоследовательность. Так как из равномерной

сходимости вытекает сходимость в среднем квадратичном, то эта подпоследовательность будет сходиться и в пространстве L2 [0,1] . Таким

образом, множество AM является предкомпактным в L2 [0,1] . Это доказывает компактность оператора A .

Задания для самостоятельного решения

1.	Какие из следующих операторов являются компактными в
	пространстве	C[0,1] :
	а) Ax(t) t	x(s)ds ; б) Ax(t) 1 t 2 sx(s)ds ;	в) Ax(t) x(t 2 ) .
	0	0
2.	Доказать компактность оператора A : L2 [0,1] L2 [0,1] :
	а) Ax(t) 1 ts(1 ts)x(s)ds ; б) Ax(t) 1 sin(t s)x(s)ds ; в) Ax(t) 1 et s x(s)ds .
	0	0	0

25