новая папка 1 / 703778

Найдем µ =1−0,9 =0,1.

Посчитаем

						=		λ			(			2		+ y2 )					=				0,9		((6005400)2 +(6000)2 ) =
					µ							y
							2		y	2						2							2 (6005400)2
																=					32458378644000							≈0,45.
																					72129658320000
	λy												(				− y			)2					0,9 6000				35992800360000
µ =				2	+λ		(1−q)								y							=				+	0,9 0,5			≈0,23.
																2
1		y															2	y	2						6005400				72129658320000
																µ0 =					λ				y2 = 0,9 6000			≈0,0009.
																								y
																									6005400

Проверим выполнение условия µ0 < µ1 < µ: 0,0009 <0,23 <0,45 - условие выполнено.

В нашем случае µ (µ0 ,µ1], так как 0,1 (0,0009;0,23]. При таком значении µ богатые не будут устанавливать демократию (N ), а бедные не станут устраивать революцию (NR ).

Найдем τ2* .

			y2									1													2				y2								6000
τ2* =1−						−											(1−q − 2µ) +							y2			(1−q) +	2				q =1−									−
			y																										y							6005400
										1−q
																					λ		y
	1																	2 0,1					6000			2								6000
−						(1				−0,5							−				) +						(1−0,5) +2											0,5 ≈
																		0,9															6005400
	1−0,5
																					6005400
=0,999 −						1														≈0,25.
														0,2788
						0,5
		Покажем, что в данном случае соотношение																													y2				настолько мало,
																																y
																							11

что им можно пренебречь и посчитать τ2* по приближенной формуле.

τ2* ≈1− 11−q 1−q − 2λµ ≈0,25 .

Заметим, что приближенную формулу можно использовать, если со-

отношение y2 является величиной порядка 10−4 . y

Найдем теперь V1,V2 .

V1 =(1−q)V1(NR,τ2* ) +qy1 =0,5 (0,75 60000000 +0,125 6005400) +

+0,5 60000000 =0,5(45000000 +750675) [phone] =52875337,50 денеж-

ных единиц.

V2 =(1−q)V2 (NR,τ2* ) +qy2 =0,5(0,75 6000 +0,125 6005400) +

+0,5 6000 =0,5(4500 +750675) +3000 =380587,5денежных единиц.

Пример 3.

В некотором государстве доля бедных (λ) составляет 80 % населения, доход богатого гражданина ( y1) 120 тыс. денежных единиц, доход бедного гражданина(y2 ) 15 тыс. денежных единиц. q =0,6 - вероятность установления ставки налогообложения τ3 . Используя таблицу 1, предложить различные значения µ, которые приведут к изменению выбора бедных и богатых. В каждом случае рассчитать ставку налогообложения τ , а также выигрыш богатых (V1 ) и выигрыш бедных (V2 ).

Решение.

Найдем средний доход

y =λy2 +(1−λ) y1 =0,8 15000 +(1−0,8) 120000 =12000 + 24000 =36000 =36 103.

Посчитаем

12

	=	λ			(		2 + y2 ) =								0,8									(1521 106 ) = 0,8 1521						≈0,47 .
µ						y
		2	y	2						2			2 1296 106															2592
					λy										(				− y				)2		0,8 5			49
µ =										+λ(1−q)							y							=			+0,32		≈0,39.
									2													2
		1				y														2	y	2			12			288
										µ	0	=	λ y					2		=		0,8		15 103		≈0,33.
																							36 103
															y

Проверим выполнение условия µ0 < µ1 < µ: 0,33 <0,39 <0,47 - условие выполнено.

Рассмотрим различные значения µ .

Пусть µ =0,1. В этом случае µ [0;µ0 ] . При таком значении µ богатые не будут устанавливать демократию (N ), а бедные не станут устраивать революцию ( NR ).

Выгоднее выбрать ставку налогообложения τ2* =τ3* =0 .

Выигрыш богатого составит V1 = y1 =12 104 денежных единиц.

Выигрыш бедного составит V2 = y2 =15 103 денежных единиц.

Пусть µ =0,35. В этом случае µ (µ0;µ1]. При таком значении µ богатые не будут устанавливать демократию (N ), а бедные не станут устраи-

вать революцию

(NR ).

Выгоднее выбрать ставку налогообложения

1

2

y2

τ2* =1−

y2

−

(1−q −

2µ) +

y2

(1

−q) +2

q =

y

y

1−q

λ

y

13

	15	10	3	1					2			15	10	3	2		15	10	3
=1−			3 −					(1−0,6 −		0,35) +						(1−0,6) +2			3 0,6	=
	36 10											36 10		3			36 10
				1−0,6
										0,8

=1−125 − 0,41 −0,475 +14425 0,4 +1,2 125 =127 − 0,41 0,025 +14410 ≈0,11.

Выигрыш богатого составит

V1 =(1−q)V1(NR,τ2* ) +qy1 =0,4 ((1−0,11) 12 104 +(0,11− (0,112 )2 ) 36 103 ) + +0,6 12 104 =0,4(10,68 +3742,2) +72000 ≈73501,15денежных единиц.

Выигрыш бедного составит

V2 =(1−q)V2 (NR,τ2* ) + qy2 =0,4((1−0,11) 15 103 +(0,11− (0,112 )2 ) 36 103 ) + +0,6 15 103 =0,4(13350 +3742,2) +9000 =15836,88 денежных единиц.

Пусть µ =0,4 . В этом случае µ (µ1;µ]. При таком значении µ богатые вынуждены будут установить демократию (D ), а бедные не станут устраивать революцию (NR ).

Выгоднее выбрать ставку налогообложения

	τ* =	y − y2	=	36 103 −15 103	=		7	≈0,58
		y		36 103		12
	1

Выигрыш богатого составит

V1(NR,τ1* ) = 21y (2y1 y2 + y2 − y22 ) = 72 1103 (2 12 15 107 +1296 106 −225 106 ) =

	=	106		4671 =64875денежных единиц.
		72	103

Выигрыш бедного составит

14

V2 (NR,τ1* ) = 21y (y2 + y22 ) = 72 1103 (1296 106 +225 106 ) = 21125денеж-

ных единиц.

Пусть µ =0,95. В этом случае µ (µ;1]. При таком значении µ в независимости от того установят богатые демократию (D ) или нет (N ), бедные устроят революцию (R ).

Таким образом, вне зависимости от ставки налогообложения выигрыш богатого будет равен нулю денежных единиц, а выигрыш бедного со-

ставит	V	=	µ	y	=	0,95 36 103	= 42750 денежных единиц.
				λ		0,8
	2

Представим полученные результаты в виде таблицы.

Таблица 2. Выигрыш бедных и богатых при различных значениях µ

µ	0,1 [0;0,33]	0,35 (0,33;0,39]	0,4 (0,39;0,47]	0,95 (0, 47;1]
Выбор бога-	N	N	D	D или N
тых
Выбор бед-	NR	NR	NR	R
ных
τ	τ2* =τ3* = 0	0,11	0,58	-
Выигрыш	12 104	73501,15	64875	0
богатых V1
Выигрыш	15 103	15836,88	21125	42750
бедных V2

15

Задачи для самостоятельного решения

В некотором государстве доля бедных составляет λ, доход богатого гражданина y1 денежных единиц, доход бедного гражданина y2 денежных единиц. q - вероятность установления ставки налогообложения τ3 .

Используя таблицу 1, предложить различные значения µ, которые приведут к изменению выбора бедных и богатых. В каждом случае рассчитать ставку налогообложения τ , а также выигрыш богатых V1 и выигрыш бедных V2 .

Литература

1.Daron Acemoglu. Economic origins of dictatorship and democracy/ Daron Acemoglu, James A. Robinson. – Cambridge university press, 2006. – 416 p.

2.Захаров А.В. Теория игр в общественных науках: учебник для вузов/ А.В. Захаров; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». – М.: Изд. дом Высшей школы экономики, 2015. – (Учебники Высшей школы экономики). – 304 с.

3.Петросян Л.А. Теория игр: учебник/ Л.А. Петросян, Н.А. Зенкевич,

Е.В. Шевкопляс. – 2-е изд., перераб. и доп. – Спб.: БХВ – Петербург,

2012 – 432 с.

16

У ч е б н о е и з д а н и е

Михайлова Ирина Витальевна, Логинова Екатерина Александровна

ДИКТАТУРА, ДЕМОКРАТИЯ, РЕВОЛЮЦИЯ

Учебно-методическое пособие

Издано в авторской редакции

Подписано в печать 02.03.2018. Формат 60×84/16 Уч.-изд. л. 0,8. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 20 экз. Заказ 79

Издательский дом ВГУ 394018 Воронеж, пл. им. Ленина, 10

Отпечатано с готового оригинал-макета

втипографии Издательского дома ВГУ 394018 Воронеж, ул. Пушкинская, 3