новая папка 1 / 231726

Решение:

1 Для определения траектории, из уравнений движения, нужно исключить время t. Поскольку t входит в уравнение движения под знаком тригонометрических функций, то для его исключения воспользуемся известной из тригонометрии формулой:

sin 2 α + cos2 α =1.

(20)

Для данной задачи:

π

x

π

x

2

π

2

x =

3сos

t

= сos

t

= сos

t

3

3

3

3

3

2 (21)

π

y - 3

π

2

y - 3

π

y = 3

- 5sin

t

= -sin

t

5

=

- sin

t

3

3

5

3

Сложив левые и правые части уравнений (21) и применив тождество (20),

получим уравнение траектории

x

2

y - 3

2

+

=1.

(22)

5

3

Это уравнение эллипса с полуосями а = 3, b = 5 и с центром в точке О1(0; 3) (рисунок 11).

2 Координаты точки в заданный момент времени t1.

При t1 = 1 с

x = 3сos π = 3 ×		1	=1,5	см
3	2
y = 3 - 5sin π = 3 - 5 ×
					3	= -1,33 см
	3			2

Положение точки М в заданный момент времени показано на рисунке11. 3 Определение скорости. Так как движение точки задано координатным

способом, то скорость определяем по соответствующим формулам (3), (4):

Vx	&	= -3	×	π	πt	πt
	= x			3	× sin	= -π × sin
					3	3
Vy	&		×	π	πt
	= y = -5			3	× cos
					3

21

При t1 = 1 с

Vx

= -π × sin π = -π ×

3

= -2,72 см/ с,

3

2

Vy

= -5 × π × cos π = -5 × π ×

1

= -2,62 см/ с,

2

3

3

3

V =

=

= 3,77 см/ с.

Vx2

+ Vy2

2,722 + 2,622

Составляющие

Vx и

Vy

показаны на рисунке 11. Вектор V строим по

составляющим Vx и Vy , причем этот вектор должен по направлению совпадать с

касательной к траектории.

4 Ускорение точки находим по формулам (6), (7):

ax

&

= -

π 2

πt

= Vx

3

× cos

,

3

ay

&

= 5 ×

π 2

πt

= Vy

9

× sin .

3

При t1 = 1 с

ax

= -π 2

× cos π = -π 2

×

1

= -1,64 см/ с2 ,

2

3

3

3

= 5 × π 2

×sin π = 5 × π 2

ay

×

3

= 4,74 см/ с2 ,

9

3

9

2

a =

=

= 5,02 см/ с2 .

аx2

+ ay2

1,642 + 4,742

Составляющие

и

показаны на рисунке 11. Вектор

строим по

a

x

a

y

a

составляющим

x и

и затем раскладываем его на составляющие

и

n .

a

a

y

aτ

a

5 Касательное ускорение находим по формуле (17)

а =

dV

=

Vx × ax +Vy × ay

=

(- 2,72)× (-1,64)+ (- 2,62)× 4,74

=

- 2,11

= 2,11 см/ с

2

τ

dt

V

3,77

Знак «–»

при

dV

означает, что движение точки замедленное, направление

dt

aτ противоположно направлению V .

22

6 Нормальное ускорение точки определяем по формуле (18)

an =

a2 − aτ2

=

5,022 − 2,112

= 4,55 см/ с2

Вектор

n

и направлен в сторону вогнутости траектории.

a

aτ

Совпадение величин

aτ и an , найденных из чертежа, с их значениями,

полученными аналитически, служит контролем правильности решения.

7 Радиус кривизны траектории находим из формулы (14)

ρ =

V 2

=

3,772

= 3,12 см

an

4,55

Ответ: V = 3,77 см/с,

a = 5,02 см/с2,

aτ = - 2,11 см/с2, an = 4,55 см/с2, ρ = 3,12 см.

Рисунок 11

23

5 Примеры нахождения уравнения траектории по заданным

уравнениям движения точки

По заданным уравнениям движения точки найти уравнение траектории.

П р и м е р

1 .

Дано:

уравнения движения точки

π

x = 3сos

t + 2

6

π

y = 1 + 3sin

t

6

Найти:

уравнение траектории.

Решение

π

π

2

π

2

x = 3сos

t

+ 2

x

− 2 = 3сos

t

(x − 2)

= 3сos

t

6

6

3

(23)

π

π

π

2

2

y = 1

+ 3sin

6 t

y

− 1 = 3sin 6 t

(y − 1)

= 3sin

t

3

Сложив левые и правые части уравнений (23) и применив тождество (20),

получим уравнение траектории

(x − 2)2 + (y − 1)2 = 32

(24)

Это уравнение окружности с R = 3 и с центром в точке О1(2; 1) (рисунок 12).

Рисунок 12

24

П р и м е р 2 .
Дано:	уравнения движения точки
		x = 3t
		= 6 − 5t	2
	y

Найти:

уравнение траектории.

Решение

x = 3t

t

=

x

3

(25)

2

x

2

y = 6 - 5t

y = 6 - 5 ×

9

Траекторией точки является парабола

y = 6 - 5 ×

x2

(рисунок 13).

9

Для её построения зададим значения:

x, см

0

± 1

± 2

± 3

y, см

6

5,4

3,8

1

Рисунок 13

25

П р и м е р 3 .
Дано:	уравнения движения точки
			2			5
	x = 5t			+			t − 3
						3
		= 3t		2	+ t + 3
	y

Найти: уравнение траектории.

Решение

Для того, чтобы исключить параметр t из уравнений движения, уравняем коэффициенты при переменной t. Для этого умножим первое уравнение на 3, а

второе – на 5:

	2			5				3x =15t		2	+ 5t − 9
x = 5t		+			t − 3
				3					2		,
			+ t + 3				5 y =15t				+ 5t +15
y = 3t		2

затем вычтем из первого уравнения второе:

3x − 5 y =15t 2 + 5t − 9 −15t 2 − 5t −15

или

3x − 5 y = −24

Это уравнение прямой (рисунок 14). Для её построения надо знать две точки:

1)	при	х = 0,	y = 4,8		(0; 4,8);
2)	при	y = 0,	x = - 8		(- 8; 0).

Рисунок 14

26

П р и м е р 4 .

Дано:	уравнения движения точки
	x = 3 - 5t 2
	y = 4t 2
Найти:	уравнение траектории.

Решение

									y
	x = 3 - 5t 2			x = 3		- 5 ×
									4
		y = 4t					y
			2
					t 2	=
						4

Таким образом, получили уравнение траектории: x = 3 - 5 × y . 4

Это уравнение прямой (рисунок 15). Для её построения надо знать две

точки:

1)	при	х = 0,	y = 2,4		(0; 2,4);
2)	при	y = 0,	x = 3		(3; 0).

Рисунок 15

27

6 Литература, рекомендуемая для изучения дисциплины

1 Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике:

учебное пособие для студ. втузов /А. А. Яблонский [и др.]; под общ. ред.

А. А. Яблонского. - 11-е изд., стер.-М.: Интеграл-Пресс, 2010. - 382 с.

2 Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики: учеб. для втузов /

С. М. Тарг. - 15-е изд., стер. - М.: Высш. шк.,2010.- 416 с.

3 Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики: учебное пособие для студ.

вузов по техн. спец. В 2 т. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. - 5-ое изд.,

испр. - СПб.: Лань, 1998. - Т. 2 - 729 с.

4 Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 т. / М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. - 9-е изд.,

перераб.-М.: Наука, 1990. - Т. 2 - 670 с.

5 Мещерский, И. В. Задачи по теоретической механике [Электронный ресурс] : учеб. пособие / И. В. Мещерский. – Электрон. текстовые дан. – СПб.:

Лань, 2012. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=2786.

6 Куча, Г. В. Учебное пособие для лабораторных работ по теоретической механике [Электронный ресурс] / Г. В. Куча, И. И. Мосалева; М-во образования и науки Рос. Федерации, Федер. гос. бюджет. образоват. учреждение высш. проф.

образования «Оренбург. гос. ун-т». - Электрон. текстовые дан. – Оренбург : ОГУ, 2013.

Помимо указанных в списке, могут быть использованы любые учебники и пособия по теоретической механике.

28

Список использованных источников

1 Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учебное

пособие для студ. втузов /А. А. Яблонский [и др.]; под общ. ред.

А. А. Яблонского. - 11- е изд., стер.- М.: Интеграл-Пресс, 2010. - 382 с.

2 Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 т. /М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. - 9-е изд., перераб. - М.: Наука, 1990. - Т. 1 - 670 с.

3 Сборник коротких задач по теоретической механике: учебное пособие для втузов / О. Э. Кепе [и др]; под ред. О. Э.Кепе. – М.: Высш. шк., 1989. – 368 с.

4 Попов, М. В. Теоретическая механика. Краткий курс: учебник для втузов /

М. В. Попов. – М.: Наука, 1986. – 336 с.

5 Дырдина, Е. В. Теоретическая механика в таблицах и схемах: учебное пособие для студ.: в 2 ч. / Е. В. Дырдина, Т. И. Коршунова. – Оренбург: ОГУ, 2001. – Ч. 1 – 40 с.

29