новая папка 1 / 603891
.pdf
|
|
|
|
a0 |
|
∞ |
|
kπx |
|
|
|
kπx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
+ |
ak cos |
|
+ bk |
sin |
= |
f (x) |
||||
|
|
|
2 |
|
l |
|||||||||||
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
l |
|
|||||
для всех x ≠ l(2k + 1) , k = 0,±1,±2, Кроме того, |
|
|
(x) для x (−l, l) . |
|||||||||||||
f (x) = f |
||||||||||||||||
Следствие 2. Если |
|
f (x) – непрерывная |
на отрезке [−l, l] функция, |
|||||||||||||
имеющая кусочно-непрерывную производную, причем |
f (−l) = f (l) , то ее ряд |
|||||||||||||||
Фурье сходится к значению |
f (x) на этом отрезке, |
то есть для любого |
||||||||||||||
x [−l,l] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
∞ |
|
|
kπx |
|
|
kπx |
|
|
||||
|
|
+ ak cos |
|
+ bk sin |
|
|
= f (x) . |
|||||||||
2 |
l |
|
l |
|||||||||||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Доказательство следствия основано на том факте, что периодическое |
||||||||||||||||
продолжение непрерывной на отрезке [−l,l] функции |
f (x) является функция |
|||||||||||||||
непрерывная на всей числовой оси функция, если f (−l) = f (l) . |
||||||||||||||||
|
|
|
5. Неполные ряды Фурье |
|
||||||||||||
Определение. Функция |
f (x) , определенная на отрезке [−l, l], называет- |
ся нечетной, если для любого x (0,l] справедливо равенство f (− x) = − f (x) . Определение. Функция f (x) , определенная на отрезке [−l,l], называет-
ся четной, если для любого x (0,l] справедливо равенство |
f (− x) = f (x) . |
|||||||
Теорема 3. |
Пусть |
f (x) – четная, |
абсолютно интегрируемая на про- |
|||||
межутке (−l, l) функция, тогда ее ряд Фурье имеет вид |
|
|||||||
|
f (x) |
|
|
a0 |
+ ak cos kπx , |
где |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
k =1 |
l |
|
|
|
ak = 2 |
l |
πkx dx , |
a0 = 2 |
l |
|
|
k N . |
|
f (x) cos |
f (x)dx , |
bk |
= 0 , |
|||||
l |
0 |
l |
|
l |
0 |
|
|
|
Доказательство теоремы вытекает из лемм 5 и 6 в силу того, что функ- |
ция |
f (x) cos πkx – четная, а |
f (x) sin πkx – нечетная. Следовательно, коэффици- |
||||||||
|
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
енты bk = 0 , а коэффициенты ak = 1 |
l |
πkx dx = 2 |
|
l |
πkx dx . |
|||||
f (x) cos |
f (x) cos |
|||||||||
|
|
|
l |
−l |
l |
|
l |
0 |
l |
|
|
Теорема 4. Пусть f (x) – нечетная, абсолютно интегрируемая на про- |
|||||||||
межутке (−l, l) функция, тогда ее ряд Фурье имеет вид |
|
|||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
kπx |
|
|
||
|
f (x) |
|
ak |
sin |
, |
|
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
k =1 |
|
l |
|
|
|
|
|
где bk = 2 |
l |
|
|
|
|
|
k N . |
|
|
|
f (x) sin πkx dx , a0 |
= ak = 0 , |
|
|||||||
|
l |
0 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3.
11
Предположим, что функция f (x) задана на отрезке [0,l], в этом случае
можно получить для нее ряд Фурье по косинусам или по синусам. Для этого функциюнеобходимопродолжитьнаотрезок [−l,l] соответствующимобразом.
Определение. |
Функция |
~ |
f (x), |
если x [0,l] |
называется про- |
f |
(x) = |
если x [−l,0) |
|||
|
|
|
f (− x), |
|
|
должением функции f (x) , определенной на отрезке [0, l] , по четности. |
|||||
Определение. |
Функция |
~ |
f (x), |
если x [0,l] |
называется про- |
f (x) = |
если x [−l,0) |
||||
|
|
|
− f (− x), |
|
должением функции f (x) , определенной на отрезке [0, l] , по нечетности.
Если функция f (x) абсолютно интегрируема на отрезке [0, l] , то ее
продолжения по четности |
~ |
и по нечетности |
~ |
абсолютно интегри- |
f (x) |
f (x) |
руемы на отрезке [−l,l]. Каждой из них можно поставить в соответствие ряд
Фурье. |
|
|
~ |
|
– четная функция, то |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
+ ak cos kπ x |
, |
(6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
l |
|
|
|
|||
где ak = |
2 l ~ |
|
πkx |
dx = |
2 l |
|
πkx |
dx , a0 |
= |
2 l |
~ |
|
2 l |
||||||
l |
f (x) cos |
l |
l |
f (x) cos |
l |
|
f (x)dx = |
f (x)dx . |
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
l 0 |
|
|
l 0 |
||||||
~ |
Определение. Ряд Фурье (6) для продолжения функции по четности |
||||||||||||||||||
называется рядом Фурье функции f (x) |
по косинусам. |
||||||||||||||||||
f (x) |
|||||||||||||||||||
|
Теорема |
5. Если |
|
f (x) – |
непрерывная |
на |
отрезке [0,l] функция, |
имеющая кусочно-непрерывную производную, то ее ряд Фурье по косинусам сходится к значению f (x) на [0,l] , то есть для любого
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
∞ |
|
kπx |
|
|
|
||
|
|
|
|
f (x) = |
+ |
ak cos |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
k =1 |
|
|
|
~ |
||||
|
Для доказательства достаточно заметить, что функция |
|||||||||||||||||
|
f (x) , которая |
|||||||||||||||||
является продолжением функции |
|
f (x) |
по четности, является непрерывной |
|||||||||||||||
функцией на |
отрезке |
|
[−l,l], |
производная ее |
кусочно-непрерывна, и |
|||||||||||||
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (−l) = f (l) (смотри следствие 2 к теореме 2). |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Поскольку |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) – нечетная функция, то ей ставится в соответствие ряд |
|||||||||||||||||
Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
sin kπ x , |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
bk |
где |
(7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
l |
|
|
|
||
|
|
bk = |
2 l ~ |
|
πkx |
dx = |
2 l |
πkx |
dx . |
|
||||||||
|
|
l |
f (x) sin |
|
l |
|
|
l |
f (x) sin |
l |
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
12
Определение. Ряд Фурье (7) для продолжения функции f (x) по нечет-
ности |
~ |
называется рядом Фурье функции f (x) по синусам. |
f (x) |
Теорема 6. Если f (x) – непрерывная на отрезке [0,l] функция, имеющая кусочно-непрерывную производную, то ее ряд Фурье по синусам схо-
дится к значению f (x) |
для любого x (0,l) , то есть |
(8) |
|||
|
f (x) = bk sin kπx . |
||||
|
∞ |
|
|
|
|
Если, кроме того, |
k =1 |
l |
|
|
|
f (0) = f (l) = 0 , то ряд (8) сходится на всем отрезке |
|||||
[0,l] . |
|
|
|
~ |
|
Для доказательства теоремы достаточно заметить, что функция |
|||||
f (x) – |
нечетная функция. Она может иметь разрыв в точке x = 0 и является непре-
рывной функцией на отрезке [−l,l] только при выполнении условия f (0) = 0 . |
|
~ |
|
Для сходимости ряда Фурье (8) к функции f (x) на отрезке [−l,l] по следст- |
|
~ |
~ |
вию из теоремы 2 требуется выполнение условия f (−l) = f (l) , которое вы- |
полняется только, если f (l) = 0 .
6. Примеры
Рассмотрим примеры построения рядов Фурье, а также выясним, в каких точках эти ряды сходятся. На вопрос о равномерной сходимости рядов ответ дается в последнем разделе.
Ряд Фурье периодической функции
Пример 1. |
f (x) = arcsin(cos x) |
Эта функция непрерывна на всей числовой оси, 2π -периодическая и имеет кусочно-непрерывную производную (она не дифференцируема толь-
ко в |
точках |
x = kπ , |
|
k Z ). В |
самом |
|
|
деле, |
если x [0,π ] , то |
||||||
|
|
π |
|
= |
π |
− x , если |
x [−π ,0], |
|
в |
силу |
четности функции |
||||
f (x) = arcsin sin |
− x) |
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ x , |
кроме того |
f (π ) = f (−π ) = −π / 2 . |
|
|
|
|
Следовательно, ряд Фурье |
||||||||
2 |
|
|
|
f (x) в каждой точке |
x (−∞,+∞) . |
Учитывая четность |
|||||||||
сходится к функции |
|||||||||||||||
функции, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
bk = 0 , k N , |
|
2 |
π |
|
π |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a0 = |
|
|
|
|
|
− x dx = 0 . |
|||||
|
|
|
|
π |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
13
|
2 |
π π |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
2 π |
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
π |
2 π |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ak = |
|
|
|
|
− x cos kxdx = |
|
|
sin kx |
|
|
− |
|
|
|
xd(sin kx) = |
|
x sin kx |
|
+ |
|
sin kxdx = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
0 2 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
0 |
|
πk 0 |
|
|
|
|
|
πk |
|
|
0 |
πk 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
|
2((−1) |
k |
− 1) |
0, |
|
|
|
|
если |
k = 2n |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
cos kx |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
k = 2n − 1 , |
n N . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= −πk 2 |
|
= − |
|
|
πk 2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
, если |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π (2n − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Получаем разложение функции в ряд Фурье |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
∞ |
((−1) |
k |
− 1)) |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
arcsin(cos x) = − |
|
|
|
cos kx = |
|
cos(2n − 12)x для любого x R . |
||||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
k |
2 |
|
π |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
(2n − 1) |
|
|
|
|
|
||||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
f (x) = sgn(sin x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция 2π -периодическая, нечетная. Ее можно представить в виде
|
1, |
если |
x (2πn,π + 2πn) |
|
0, |
если |
x = πn , n Z . |
f (x) = |
|||
|
|
если |
x (−π + 2πn,2πn) |
− 1, |
Эта функция является кусочно-дифференцируемой и терпит разрывы в точках x = πn . Ряд Фурье такой функции в точках разрыва сходится к значе-
нию |
f (πk + 0) + f (πk − 0) |
= 0 , но функция в этих точках тоже равно нулю. По- |
|
2 |
|||
|
|
этому ряд Фурье сходится во всех точках числовой оси. В силу нечетности функции имеем a0 = ak = 0 ,
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
π |
|
|
2((−1) |
k |
− 1) |
|
|
0, |
|
|
если |
k = 2m |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
bk = |
|
1 sin kxdx |
= |
cos kx |
|
|
= − |
|
= |
|
4 |
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
π 0 |
πk |
|
πk |
|
|
, |
если |
k = 2m − 1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
π (2m − 1) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
m N . Получаем разложение в ряд Фурье |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
∞ |
|
(−1) |
k |
− 1 |
|
|
|
|
4 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sgn(sin x) = − |
|
|
sin kx = |
sin(2m − 1)x |
для любого x R . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
π m=1 |
|
2m − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Ряд Фурье функции, заданной на промежутке |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
f (x) = x , |
|
x [a, a + 2l] |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Функция непрерывна на отрезке [a, a + 2l] . |
Если мы продолжим эту |
||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию с полуинтервала [a, a + 2l) |
периодическим образом, |
то продолже- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x) |
будет кусочно-дифференцируемой функцией, имеющей разрывы |
||||||||||||||||||||||||||||||
ние f |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
первого рода в точках a + 2kl , |
k Z . В этих точках ряд Фурье будет схо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
диться к значению |
f (a + 0) + f (a + 2l − 0) |
= |
f (a) + f (a + 2l) |
= |
2a + 2l |
= a + l . На ин- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
тервале (−l,l) ряд Фурье будет сходиться к функции f (x) = f (x) . Вычисляем коэффициенты Фурье,
14
|
|
1 |
a+ |
2l |
|
|
|
|
x |
2 |
|
a+2l |
|
|
(a + |
|
2l) |
2 |
|
− a |
2 |
|
|
= 2(a + l) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a0 |
= |
xdx = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l |
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a+2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ak |
= |
|
1 a+2l x cos kπx dx = |
|
|
|
1 |
|
|
a+2l xd(sin kπx ) = |
|
x |
|
sin |
kπx |
|
|
− |
1 |
a+2l sin kπx dx = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
l a |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
a |
|
|
|
|
|
|
kπ |
|
a |
l |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a + 2l |
|
|
kπ |
(a + 2l) |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
kπa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
kπx |
|
a+2l |
|
a |
+ 2l |
|
|
|
kπa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
kπ |
|
|
|
l |
|
|
k 2π 2 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
a |
|
kπ |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
a |
|
|
|
|
kπa |
+ |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
kπ |
(a + 2l) |
|
− cos |
kπa |
|
= |
|
|
2l |
|
|
|
|
|
kπa |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
kπ |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
kπ |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 a+2l |
|
|
πkx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 a+2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πkx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
πkx |
|
a+2l |
|
|
|
|
1 a+2l |
|
πkx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
bk |
= |
|
|
|
|
x sin |
|
|
|
|
|
|
|
dx = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xd cos |
|
|
|
|
|
|
|
dx = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
dx = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
l a |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
πk |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πk |
|
|
|
|
|
|
l |
|
a |
|
|
|
|
πk |
a |
|
|
l |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − a + 2l cos kπ (a + 2l) |
|
+ |
|
a |
|
|
cos |
kπa |
|
+ |
|
|
|
|
l |
|
|
sin πkx |
|
a+2l |
= − |
|
2l |
cos |
kπa |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
πk |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 k 2 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
a |
|
|
|
|
πk |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Для всех x (a, a + 2l) справедливо разложение функции в ряд Фурье, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
kπa |
|
|
|
|
|
|
kπx |
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
kπa |
|
|
|
|
|
|
kπx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2l |
|
1 |
|
|
kπ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
есть x = a + l + |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
= a + l + |
|
|
|
sin |
|
|
(a − x) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
l |
|
|
l |
|
|
π |
k |
l |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (a, a + 2l) .
|
Пример 4. |
|
|
f (x) = sin ax , |
x (−π ,π ) , |
|
a R / N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Функция непрерывно дифференцируема на интервале, нечетная, по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
этому |
|
|
a0 |
= ak = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
π |
|
|
1 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin(a − k)x |
|
sin(a + k)x |
|
π |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
bk = |
|
|
|
sin ax sin kxdx = |
|
(cos(a − k)x − cos(a + k)x)dx |
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
π |
0 |
|
|
π 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
a − k |
|
|
|
|
a |
+ k |
|
|
|
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin(a − k)π |
|
sin(a + k)π |
1 |
(−1) |
sin aπ |
|
|
(−1) |
sin aπ |
|
(−1) |
2k sin aπ |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a − k |
|
a + k |
|
a − k |
|
|
|
a + k |
|
π (a |
2 |
−k |
2 |
) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд Фурье сходится к функции на всем интервале, то есть функция раскладывается в ряд Фурье
|
∞ |
(−1) |
k |
|
|
sin ax = |
2 sin aπ |
|
|
sin kx , x (−π ,π ) . |
|
2 |
|
2 |
|||
|
π k =1 |
a − k |
|
|
|
Пример 5. |
f (x) = x sin 2x , x [−π ,π ] |
Функция четная, непрерывная на отрезке, непрерывно дифференцируема на интервале (−π ,π ) , причем f (−π ) = f (π ) = 0 , поэтому ряд Фурье схо-
дится к функции на всем отрезке. В силу четности имеем bk |
= 0 , |
|
|
|
||||||||||||
a0 = |
2 |
π x sin 2dx = − |
1 |
π xd(cos 2x) = − |
x cos 2x |
|
|
π |
+ |
1 |
π cos 2xdx = −1 |
+ sin 2x |
|
π |
= −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
π |
0 |
π |
0 |
π |
|
0 |
|
π |
0 |
2π |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
15
|
|
|
Если k ≠ 2 , |
k N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ak |
= |
2 |
π |
x sin 2x cos kxdx = |
1 |
|
π x(sin(k + 2)x + sin(2 − k)x)dx = |
|
|
|
− 1 |
|
|
|
π |
xd(cos(k + 2)x)− |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π (k + 2) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
− |
|
1 |
|
|
π xd(cos(2 − k)x) = |
− x cos(k + 2)x |
|
π |
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
π cos(k + 2)xdx − |
x cos(2 − k)x |
|
|
π |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π (2 − k) |
π (k + 2) |
|
|
|
|
|
|
π (k + |
2) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π (2 − k) |
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)k |
|
sin(k + 2)x |
|
π |
|
(−1)k |
|
|
|
sin(2 − k)x |
|
π |
(−1)k 4 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
cos(2 − k)xdx |
= − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
π (2 − k) |
|
(k + 2) |
|
π (k + 2) |
|
|
|
|
(2 − k) |
π (2 |
− k) |
k |
2 |
− 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Коэффициент a2 вычислим отдельно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
a2 |
= |
2 |
π |
x sin 2x cos 2xdx = |
1 |
|
π |
x sin 4xdx = |
− 1 |
π |
|
xd(cos 4x) = − |
x cos 4x |
|
|
π |
+ |
|
1 π |
cos 4xdx = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π |
0 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
0 |
|
|
|
|
4π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
0 |
|
|
4π 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= − 1 |
+ sin 4x |
|
= − |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
4 |
|
|
16π |
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Выпишем разложение функции в ряд Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(− |
1) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x sin 2x = − 1 |
+ 4 cos x − |
1 cos 2x + 4 |
|
|
cos kx , |
x [−π / π ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k =3 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неполные ряды Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 6. |
|
|
|
f (x) = |
x, |
|
если |
|
|
|
|
|
x [0,π / 2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2, |
|
если |
|
|
|
|
|
x (π / 2,π ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Построить ряд Фурье функции а) по синусам, б) по косинусам крат- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ных дуг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
а) Функция |
~ |
, продолжение функции f (x) |
по четности, является не- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f (x) |
прерывной на отрезке [−π ,π ], производная ее кусочно-непрерывна, причем
~ |
|
|
|
= |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (−π ) |
f (π ) , поэтому ряд Фурье по косинусам сходится к функции f (x) на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
всем отрезке [0,π ]. Вычислим коэффициенты ряда Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 π |
|
|
2 |
π / 2 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 |
|
|
π / 2 |
π |
π |
|
|
|
|
2 x2 |
|
π / 2 |
|
π |
|
|
3π |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a0 |
= |
|
|
f (x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
xdx |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
π |
π |
|
f (x)dx + f (x)dx |
|
π |
|
|
|
2 |
dx = |
|
π |
2 |
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
π / 2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
π / 2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ak |
= |
|
|
f (x) cos kxdx = |
|
|
|
|
f (x) cos kxdx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
π |
|
π |
|
f (x) cos kxdx = |
π |
x cos kxdx + |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
2 π / 2 |
|
|
|
|
|
|
sin kx |
|
π |
|
|
|
|
|
2x sin kx |
|
π / 2 |
|
|
2 π / 2 |
|
|
|
|
sin πk |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
xd(sin kx))+ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
sin kxdx + |
|
|
|
− |
|||||||||||||||||
+ π / 2 cos kxdx |
πk |
k |
|
|
|
|
πk |
|
|
|
|
|
πk |
|
k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
sin |
2 k |
= |
sin 2 k |
+ 2 cos kx |
|
π / 2 |
− |
sin |
2 k |
= |
2 |
|
|
cos πk |
− 1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
πk 2 |
|
|
|
|
|
k |
πk 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = 2m − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
− |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
π (2m − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
(−1)m − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, m N . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
если |
|
k = 2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2πm |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Получаем разложение в ряд Фурье функции по косинусам на отрезке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0,π ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
2 |
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
− |
1 cos kx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
π |
k |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π 1 |
∞ |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)m |
− 1 |
|
|
|
|
, |
|
|
[0,π ] . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
cos(2m − 1)x + |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
(2m |
− 1) |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
cos 2mx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
б) |
|
Функция |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по нечетности, |
|
является непре- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (x) , продолжение f (x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рывной на отрезке [−π ,π ] |
функцией, ее производная – кусочно непрерывна, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
но на концах отрезка ее значения |
|
различны, |
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f (−π ) = − f (π ) = −π / 2 . Следова- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельно, ряд Фурье функции |
~ |
|
|
сходится на интервале (−π ,π ) , |
а ряд Фурье |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
по синусам сходится к функции |
f (x) |
|
на полуинтервале [0,π ) . В точке x = π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд Фурье сходится к нулю. Определяем коэффициенты ряда Фурье. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|||||||
bk = |
|
|
f (x)dx = |
|
|
|
|
|
|
f (x) sin kxdx + f (x) sin kxdx |
|
|
= |
|
|
|
|
x sin kxdx + π |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
/ 2sin kxdx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
− 2 π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos kx |
|
π |
|
|
|
|
2x cos kx |
|
π / 2 |
|
|
|
2 |
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosπk |
|
|
|
cos 2 k |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
xd(cos kx)− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
cos kxdx − |
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||
πk |
|
|
|
|
k |
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
πk |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
πk |
k |
|
|
|
k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
cosπ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosπ k |
|
|
2sin π k |
|
|
|
cos |
π k |
|
(−1) |
2 |
, если k = 2m −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2sinkx |
|
|
(−1) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
π (2m −1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||
|
k |
|
|
|
π k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
π k |
2 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
(−1)m |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
если k = 2m |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
||||||
m N . Получаем для любого x [0,π ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)m+1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(2m − |
1)x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
π (2m − 1) |
|
|
2m |
|
sin 2mx . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Ряд Фурье функции, интегрируемой с квадратом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Определение. Функция |
|
|
f (x) |
|
называется интегрируемой с квадратом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на промежутке (a,b) , если сходится интеграл |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f 2 (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
a
17
Так как справедливо неравенство | f (x) |≤ |
1 + f 2 (x) , в силу признака |
|
2 |
b
сравнения, если сходится интеграл f 2 (x)dx , то сходится и интеграл
a
b
| f (x) | dx . Это означает, что функция, интегрируемая с квадратом на конеч-
a
ном промежутке, является абсолютно интегрируемой на нем, и для нее можно построить ряд Фурье.
Теорема 7. Пусть функция f (x) интегрируема с квадратом на интервале (−π ,π ) , тогда справедливо неравенство
a02 |
+ ∞ (ak2 + bk2 )≤ |
1 |
|
π f 2 (x)dx (неравенство Бесселя), |
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
k =1 |
π −π |
|
|
||
где a0 , |
ak , bk – коэффициенты Фурье функции f (x) . |
|
||||
В частном случае неравенство Бесселя переходит в равенство. |
||||||
Теорема 8. Пусть функция |
f (x) непрерывна на |
отрезке [−π ,π ] , |
||||
f (−π ) = f (π ) , a0 , ak , |
bk |
– коэффициенты Фурье функции |
f (x) , тогда спра- |
|||
ведливо равенство |
|
|
|
|
|
|
a02 |
+ ∞ (ak2 + bk2 )= |
1 |
|
π f 2 (x)dx |
( равенство Парсеваля). |
|
2 |
|
|
||||
k =1 |
π −π |
|
|
Ряд Фурье функции, интегрируемой с квадратом, сходится к функции в среднеквадратическом смысле, то есть справедлива следующая теорема.
Теорема 9. Пусть функция f (x) интегрируема с квадратом на интер-
вале
Sn (x)
(−π ,π ) , тогда lim π ( f (x) − Sn (x))2 dx = 0 , где
n→∞ −π
= a0 |
n |
+ (ak cos kx + bk sin kx) – частичная сумма ряда Фурье функции f (x) . |
|
2 |
k =1 |
8. Коэффициенты Фурье. Дифференцирование ряда Фурье
Теорема 10. |
Пусть функция f (x) абсолютно интегрируема на проме- |
|
жутке |
(a, a + 2l) , |
и ak , bk – коэффициенты Фурье этой функции, тогда |
lim ak = lim bk = 0 . |
|
|
k →∞ |
k →∞ |
|
Доказательство теоремы следует непосредственно из теоремы Римана.
18
Теорема 11. Пусть функция |
f (x) |
непрерывна на отрезке |
[a, a + 2l] , |
||||||
f (a) = f (a + 2l) , ее производная |
f |
(x) – кусочно-непрерывна, и ряд Фурье |
|||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
функции f (x) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
∞ |
|
|
kπx |
|
kπx |
|
|
f (x) = |
|
+ ak cos |
l |
+ bk sin |
, |
(9) |
|||
2 |
|||||||||
|
k =1 |
|
|
|
l |
|
тогда ряд Фурье ее производной получается формальным почленным дифференцированием ряда (9) , то есть
|
′ |
|
∞ |
|
|
kπ |
|
kπx |
|
kπ |
|
kπk |
||
f |
(x) |
|
|
- |
l |
ak sin |
|
+ |
|
bk cos |
|
. |
||
l |
l |
l |
||||||||||||
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
Замечание. Равенство (9) справедливо в силу следствия 2 к теореме 2.
Теорема 12. Пусть функция |
f (x) непрерывна вместе с производными |
до порядка m − 1 включительно, |
f ( j) (a) = f ( j ) (a + 2l) j = 0,1,..., m − 1, ( m ≥ 1), |
имеет кусочно-непрерывную на отрезке [a, a + 2l] производную порядка m , |
и ряд Фурье функции f (x) |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
∞ |
|
|
|
kπx |
|
|
|
kπx |
|
|
|
|
||||
|
|
|
f |
(x) = |
|
|
|
+ ak |
cos |
l |
+ bk sin |
l |
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
θ k |
|
|
|
|
θ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
||
тогда |
| ak |≤ |
, |
| bk |≤ |
|
|
, k = 1,2,3,... , где θ k |
≥ 0 |
и ряд θ k2 |
сходится. |
|||||||||||||||
m |
m |
|||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
9. Равномерная сходимость ряда Фурье |
|
||||||||||||||||||||
Теорема 13. |
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке |
[a, a + 2l] , |
||||||||||||||||||||||
f (a) = f (a + 2l) , |
ее производная |
′ |
– кусочно-непрерывна, и ряд Фурье |
|||||||||||||||||||||
f |
(x) |
|||||||||||||||||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
∞ |
|
|
kπx |
|
|
kπx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
f (x) |
= |
|
+ ak |
cos |
l |
|
+ bk sin |
l |
, |
|
(10) |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно на отрезке [a, a + 2l] .
Напомним, что равномерная сходимость ряда Фурье означает следую-
|
|
a0 |
n |
|
kπx |
|
kπx |
|
||
щее. Пусть |
Sn (x) = |
|
+ ak cos |
|
+ bk sin |
|
|
– частичная сумма ряда Фу- |
||
2 |
l |
l |
||||||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
рье. Ряд (10) сходится равномерно на отрезке [a, a + 2l] , по определению, ес-
ли для любого ε > 0 найдется номер N такой, что для всех натуральных n ≥ N и для любого x [a, a + 2l] выполняется неравенство | f (x) − Sn (x) |< ε .
Теорема 13 дает достаточные условия равномерной сходимости ряда Фурье. Можно уточнить теорему, указав скорость сходимости ряда в зависимости от свойств функции.
19
Теорема 14. |
Пусть функция |
f (x) непрерывна вместе с производными |
до порядка m − 1 |
включительно |
на отрезке [a, a + 2l] , f ( j) (a) = f ( j ) (a + 2l) |
j = 0,1,..., m − 1, ( m ≥ 1 ), имеет кусочно-непрерывную производную порядка m
на отрезке, тогда ряд Фурье функции сходится абсолютно и равномерно на отрезке [a, a + 2l] к самой функции, причем для любого x [a, a + 2l] спра-
ведливо неравенство
| f (x) − Sn |
(x) |< |
η n |
, |
|
nm−1/ 2 |
||||
где η т – числовая последовательность, |
|
|
||
limη n = 0 . |
|
|||
|
n→∞ |
|
|
Вернемся к рассмотренным выше примерам. Так, в примерах 1 и 5 ряды Фурье, а также ряд Фурье по косинусам в примере 6 сходятся равномерно.
Отметим, что сумма равномерно сходящегося тригонометрического ряда является непрерывной функцией. Поэтому ряд Фурье в примере 2 не может сходиться равномерно, так как сумма его является разрывной функцией.
Задания для домашней контрольной работы:
Вариант 1.
1. Построить ряд Фурье функции |
1, |
если |
0 |
≤ x ≤ π |
на от- |
f (x) = |
если |
− π ≤ x < 0 |
|||
|
0, |
|
резке [−π ,π ] . Определить, в каких точках сходится ряд, и чему равна его сумма. Сходится ли ряд равномерно на отрезке [−π ,π ] ?
2. Построить ряд Фурье по синусам функции f (x) = eax на отрезке [0,π ]. Определить, в каких точках сходится ряд, и чему равна его сумма. Сходится ли ряд равномерно на отрезке [0,π ]?
Вариант 2.
1. Построить ряд Фурье функции f (x) = π − 2 | x | на отрезке [−π ,π ] .
Определить, в каких точках сходится ряд, и чему равна его сумма. Сходится ли ряд равномерно на отрезке [−π ,π ] ?
2. |
Построить |
ряд |
Фурье |
по |
косинусам |
функции |
1, |
если |
0 < x ≤ π / 2 |
на интервале (0,π ) . Определить, в каких точ- |
|||
f (x) = |
если − π / 2 ≤ x < π |
|||||
0, |
|
|
|
|
ках сходится ряд, и чему равна его сумма. Сходится ли ряд равномерно на интервале (0,π ) ?
20