новая папка 1 / 773161

2	2	2
x3	+ y3	= a3 .

Огибающей семейства прямых является не вся астроида, а только ее левая половина (так как из параметрических уравнений огибающей видно, что x ≤ 0) — рис. 2.2.

Рис. 2.2

3. УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА

Определение. Уравнением Лагранжа называется уравнение вида

=	ϕ	′	)	+y	′	),	(3.1)
y	x
		(y			(y
где ϕ и ψ — известные функции от							dy .
							dx

Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа при ϕ(y′)= y′.

Решается уравнение Лагранжа с помощью введения вспомогательного параметра p. Для этого положим y′ = p, тогда исходное уравнение

запишется в виде

11

y = xϕ(p)+y (p).

Продифференцируем по x:

y′ =ϕ(p)+ xϕ′(p)dpdx +y′(p)dpdx ;

p =ϕ(p)+ xϕ′(p)+ψ′						(p) dp		;
						dx
p	(p) x	′	(p)		′	(p)	dp	.	(3.2)
−ϕ	= ϕ			+ψ			dx

Это уравнение обращается в ноль при любом постоянном p = p0 , удовлетворяющем условию

p −ϕ(p)= 0.

Ясно, что dpdx = dpdx0 = 0.

Подставим в уравнение (3.1) p = p0 :

y = xϕ(p0 )+y (p0 ).

Это решение может быть особым. Если оно не получается из общего, то оно особое.

Найдем общее решение. Для этого запишем уравнение (3.2) в виде

dx	− x	ϕ′(p)		ψ′(p)
dp			=		.
		p −ϕ(p)		p −ϕ(p)

Это линейное уравнение относительно x. Переменная x рассматривается как функция от p.

Решением этого уравнения является функция

x = f (p;c).

12

Рассмотрим

x = f (p;c)

y = xϕ(p)+y (p)

Исключим параметр p из этих уравнений. Получим общий интеграл уравнения (3.1) в виде

φ(x; y;c)= 0.

Пример 1. Решить уравнение

y = x(y′)2 +(y′)2 .

Положив y′ = p, будем иметь:

y = xp2 + p2.

Дифференцируя по x, получим

p = p2 +	2 px dp	+ 2 p dp	;
	dx	dx
p − p2 = (x +1)2 p dp .
		dx
1) Пусть	p = const. Тогда dp = 0 и			p − p2 = 0. Отсюда p	= 0,	p =1.
			dx	1		2

Подставим их в y = xp2 + p2 ,

y = 0 — одно решение

y = x +1 — второе решение

Являются ли они особыми, проверим после нахождения общего решения.

2) Общее решение. Уравнение

13

p − p2 = (x +1)2 p dpdx

разделим на dpdx (p − p2 ). Получим

dpdx = (x +1) p2−pp2

или dpdx − x p2−pp2 = p2−pp2 . dpdx −12−xp = 12−pp .

Это линейное уравнение относительно x как функции от p. Решаем его. Положим x = uϑ. Продифференцируем

dpdx = dudp ϑ +u ddpϑ.

Подставим в уравнение

dudp ϑ +u ddpϑ −12−uϑp = 1−2 p ;

	du			2ϑ				2
		ϑ +u dϑ	−			=			.
	dp						1− p
		dp		1− p

Потребуем, чтобы ϑ удовлетворяло условию

ddpϑ −12−ϑp = 0. Тогда dudp ϑ = 1−2 p .

Отсюда имеем:

14

y = x +1

y = 0, y = x +1.

∫dϑ	= ∫	2dp	;	lnϑ = 2ln(1− p); ϑ = (1− p)2 .
ϑ	1− p

Подставим во второе уравнение:

du

(1− p)

2

=

2

;

∫du = ∫

2dp

;

u =

1

+c.

dp

1− p

(1− p)3

(1− p)2

Решение уравнения:

	1		(1	− p)	2	=1+с(1− p)	2
x =uϑ =		+c						.
	(1− p)2

Общее решение исходного уравнения:

x =1+с(1− p)2

y = xp2 + p2

Исключаем p из этих уравнений. Получаем общий интеграл

y =(c + x +1)2 .

Проверим решения

Решение получается из общего при c = 0. Это частное решение. Решение y = 0 не получается из общего ни при каком значении c. Следовательно, оно является особым.

Ответ: общее решение y =(c + x +1)2

особое решение y = 0. Пример 2. Решить уравнение

yy′ − yy′ = 2x.

15

	Запишем его в виде y =	2y′	x.
		1−(y′)2

Это уравнение Лагранжа.

Для того чтобы проинтегрировать, удобнее записать его в виде

x =	1−(y′)2	y или	x =	x′	−	y
	2y′					2x′
			2

и считать, что x есть функция аргумента y. Положим x′ = p, тогда

		yp		y			y		1
	x =		−		или	x =		p −		.
				2 p			2
	2								p

Продифференцировав по y, имеем

		1		1			y			1
	x′ =		p −			+		1	+		dp .
		2					2			2
				p						p	dy

Заменив x′ через p и произведя преобразования, получим

dyy = dpp .

Откуда y = cp. Общий интеграл в параметрической форме примет

вид

x = cp2 p − 1p

y = cp

Исключим p. Для этого из второго уравнения находим p = cy и подставляем в первое; получим

16

x = y2 − c

2c 2

или

2cx = y2 −c2.

Это семейство парабол.

УПРАЖНЕНИЯ (1)

1)y = xy′−(y′)4 .

2)y = xy′−ey′.

3)y = xy′+ y′.

4)y = xy′+ y1′.

5)y = xy′+ y′−(y′)2 .

6)y = xy′+ 1+(y′)2 .

7)y = xy′+sin y′.

8)y = 2xy′+ln y′.

9)y = 2xy′−(y′)2 .

10)y = x(y′)2 +(y′)2 .

11)yy′ = 2x(y′)2 +1.

12)y1+(y′)2 = a(x + yy′).

17

4. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

Определение. Если левая часть уравнения

M (x; y)dx + N (x; y)dy = 0

(4.1)

представляет собой полный дифференциал некоторой функции U (x; y) т.е. если

M (x; y)dx + N (x; y)dy =U (x; y),

то уравнение (4.1) называется уравнением в полных дифференциалах. В этом случае уравнение можно записать так:

dU (x; y)= 0,

откуда интегрированием получаем общий интеграл:

U (x; y)= c.

(4.2)

Если левая часть уравнения (4.1) является полным дифференциалом некоторой функции, то выполняется условие

∂M (x; y) = ∂N (x; y).

∂y ∂x

Функцию U (x; y)	по ее полному дифференциалу dU = M (x; y)dx +
+N (x; y)dy можно найти по формуле
x	y	N (x0 ; y)dy +c.
U (x; y)= ∫M (x; y)dx + ∫
x0	y0

Пусть M (x; y)= 2xcos2 y, N (x; y)= 2y − x2 sin 2y.

Так как

18

	∂M	= −4xcos ysin y = −2xsin 2y;	∂N	= −2xsin 2y,
	∂y		∂x

то условие ∂∂My = ∂∂Nx выполнено, и мы имеем уравнение в полных диф-

ференциалах.

Найдем функцию U (x; y):

U (x; y)= ∫x					2xcos2 ydx + ∫y (								2y − x02 sin 2y)dy =
				x0								y0
= x2 cos2 y − x						2 cos2			y + y2 + x2 cos2y − y2											− x2				cos2y0						=
					0								0		2				0		0					2
= x2 cos2 y + y						2 − x2 1+cos2y + x2 cos2y − y2																− x2					cos2y0						=
								0				2			0		2			0					0			2
= x	2	cos	2	y + y		2	−	x2		− x		2 cos2y		+ x		2 cos2y				− y			2		− x			2 cos2y						=
								0
								2			0		2		0		2					0					0			2
	2		2			2				x02		2		2 cos2y0							2					2					2
= x		cos		y + y			+ −					− y0	− x0						= x			cos						y + y				+c.
									2								2

c

Общее решение уравнения:

x2 cos2 y + y2 = c.

5. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ

Если уравнение ∂∂My = ∂∂Nx не выполнено, то дифференциальное уравнение (4.1) не является уравнением в полных дифференциалах. Од-

19

нако это уравнение можно превратить в уравнение в полных дифференциалах умножением на подходящую функцию µ(x; y). Такая функция

носит название интегрирующего множителя для данного дифференциального уравнения:

µM (x; y)dx + µN (x; y)dy = 0.

Для уравнения в полных дифференциалах должно быть выполнено условие

∂(µM ) = ∂(µN )

∂y ∂x

или
N	∂µ	−M	∂µ		∂M	−	∂N		(5.1)
				= µ				.
	∂x		∂x		∂y		∂x

Для нахождения μ надо проинтегрировать это дифференциальное уравнение.

Рассмотрим два случая:

1) Пусть µ = µ(x), тогда уравнение (5.1) принимает вид

∂µ

(

x

)

∂

∂

∂µ

(

x

)

∂M

−

∂N

N

= µ

M

−

N

или

=

∂y

∂x

dx,

∂x

∂y

∂x

µ(x)

N

откуда

∂M

− ∂N

ln µ(x)= ∫

∂y

∂x

dx +c,

N

∂M

−∂N

т.е. µ(x)

= e

∫

∂y

∂x

dx

(5.2)

N

20