новая папка 1 / 270324
.pdfДизъюнкция ( операция «или», логическая сумма) двух элементарных высказываний А и В – новое высказывание, которое считается ложным, если оба высказывания ложны и истинным – во всех других случаях. Обозначается А ٧ В и читается «А или В», при этом разделительный смысл слова «или» исключается.
Логические значения дизъюнкции описываются таблицей истинности:
А |
В |
А v В |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
Пример1) ВысказываниеA: «Москва – столица России» B: «Минск - столица России»
А٧В истинно.
Пример 2) ВысказываниеA: «Для печати применяют матричный принтер»
B:«Для печати применяют струйный принтер»
C:«Для печати применяют лазерный принтер»
D:«Для печати применяют литерный принтер»
Тогда F= ( A٧B٧C٧D) отражают высказывание: «Для печати применяют матричный принтер, струйный принтер, лазерный принтер или литерный принтер».
Неравнозначность (исключающее, разделительное «или») двух элементарных высказываний А и В – новое высказывание, которое ложно, если оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны и истинно - в противном случае. Обозначается А В и читается: «либо А, либо В», «или А, или В». Понимается в разделительном смысле.
Логические значения неравнозначности описываются таблицей истинности:
|
|
А В |
А |
В |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
Пример: ВысказываниеA: Юноша – школьник B: Юноша – студент
Тогда: А В (или школьник или студент) ложно.
10
Отрицание (инверсия) высказывания А - новое высказывание, которое считается истинным, если высказывание А ложно, и ложным, если высказывание А истинно. Обозначается символом Ā и читается « не А» или «неверно, что А».
Логические значения неравнозначности описываются таблицей истинности:
А |
Ā |
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
Пример: А: «Волга впадает в каспийское море» Ā: «Волга не впадает в каспийское море»
!Ā : «Не верно , что Волга не впадает в каспийское море»
Ā: « 4 – простое число».
Импликация( логическое следование) ) двух высказываний А и В – новое высказывание, которое считается ложным, если А истинно, а В – ложно и истинным – во всех остальных случаях. Обозначается символом А → В и читается «если А, то В» или « изА следует В». При этом высказывание А называют условием или посылкой, а высказывание В – следствием или заключением.
Логические значения импликации описываются таблицей истинности
А |
В |
А → В |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Пример: 1) A: «Москва – столица России» B: «Москва – столица США»
Тогда А → В ложно, т. к. А истинно, а В – ложно.
Пример 2) Даны высказывания:
A:«По проводнику протекает электрический ток»
B:«Вокруг проводника есть магнитное поле»
Тогда формула F= (А → В) отражает высказывание «Если по проводнику протекает электрический ток, то вокруг проводника есть магнитное поле».
Пример 3) A:«На упругое тело оказывают влияние внешние силы»
B:«В упругом теле возникают внутренние силы, препятствующие изменению
формы»
тогда формула F= (А → В) отражает высказывание
«Если на упругое тело оказывают влияние внешние силы, то в нём возникают внутренние силы ,препятствующие изменению формы»
11
Двойная импликация ( эквивалентность) двух высказываний А и В – новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания А и В одновременно истинны. Либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях. Обозначается символом А↔В ( А~В, А ≡ В) и читается «А тогда и только тогда, когда В» или « А эквивалентно В» или «для того, чтобы А необходимо и достаточно, чтобы В» Логические значения двойной импликации описываются таблицей истинности:
А |
В |
А↔ В |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Пример:1)A: «Четырёхугольный параллелограмм»
B: «Четырёхугольный параллелограмм, у которого противолежащие стороны попарно параллельны»
А ↔В истинно.
Пример 2) Даны высказывания: A: «Быть чётным числом» B: «Число делится на 2»
Тогда F= (А ↔В) отображает высказывание «для того чтобы число было чётным надо, чтобы оно делилось на 2.
Пример 3) Даны высказывания:
A:«Выполнить загрузку операционной системы в компьютер»
B:«Вставить диск с записанной операционной системой»
Тогда F= (А ↔В) отображает высказывание «для того, чтобы выполнить загрузку операционной системы в компьютер, надо вставить диск с установленной операционной системой».
9. Вопросы для контроля
1.Что называется высказыванием?
2. Приведите примеры высказываний.
3.Приведите примеры предложений, которые не являются высказываниями.
4.Какие значения может принимать высказывание?
5.Перечислите виды логических операций над высказываниями и сформулируйте их определение.
6.Что представляет собой таблица истинности высказывания, как она строится?
12
10. Основные формулы и определения
Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью
Исходное множество будем называть универсальным множеством; подмножества, содержащие один элемент – единичными множествами; множество, не содержащее никаких элементов – пустым множеством и обозначать Ø .
Дополнением к множеству А называется множество элементов, которые не содержатся в А. Обозначают его А и читают «дополнение множества А к U».
Пересечением множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих и А и В, Обозначают А В и читают «пересечение А и В».
Объединением множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих либо А, либо В (либо обоим). Обозначают А U В и читают «объединение А и В».
Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих А и не принадлежащих В. Обозначают А \ В и читают «разность А и В».
Любое предложение, о смысле которого можно сказать, истинно оно или ложно,
называется высказыванием.
Высказывания, представляющие собой одно утверждение, называются простыми, или элементарными. Из элементарных высказываний по определённым логическим правилам составляют сложные высказывания.
Конъюнкция (операции «и», логическое произведение) двух элементарных высказываний
Аи В – новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания А и В истинны и ложным – во всех других случаях. Обозначается А ٨ В и читается « АиВ»
Дизъюнкция ( операция «или», логическая сумма) двух элементарных высказываний А и В
– новое высказывание, которое считается ложным, если оба высказывания ложны и истинным – во всех других случаях. Обозначается А ٧ В и читается «А или В», при этом разделительный смысл слова «или» исключается.
Неравнозначность (исключающее, разделительное «или») двух элементарных высказываний А и В – новое высказывание, которое ложно, если оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны и истинно - в противном случае. Обозначается А В и читается: «либо А, либо В», «или А, или В». Понимается в разделительном смысле
Отрицание (инверсия) высказывания А - новое высказывание, которое считается истинным, если высказывание А ложно, и ложным, если высказывание А истинно. Обозначается символом Ā и читается « не А» или «неверно, что А».
Импликация( логическое следование) ) двух высказываний А и В – новое высказывание, которое считается ложным, если А истинно, а В – ложно и истинным – во всех остальных случаях. Обозначается символом А → В и читается «если А, то В» или « изА следует В». При этом высказывание А называют условием или посылкой, а высказывание В – следствием или заключением.
Двойная импликация ( эквивалентность) двух высказываний А и В – новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания А и В одновременно истинны. Либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях. Обозначается символом А↔В ( А~В,
А≡ В) и читается «А тогда и только тогда, когда В» или « А эквивалентно В» или «для того, чтобы А необходимо и достаточно, чтобы В»
13
11.Рекомендуемая литература:
1.«Математика» С.Г. Григорьев, С.В. Задулина Москва2007.
2.«Дискретная математика» Ю.И. Галушкина Москва2008.
3.«Дискретная математика» С.А. Канцедал Москва2007.
4.«Математическая логика» В.Ф. Пономарёв Калининград2001.
14